2020年广东省中考数学试卷(附答案解析)

一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑．

1．（3分）9的相反数是（　　）

A．﹣9    B．9    C．    D．

2．（3分）一组数据2，4，3，5，2的中位数是（　　）

A．5    B．3.5    C．3    D．2.5

3．（3分）在平面直角坐标系中，点（3，2）关于x轴对称的点的坐标为（　　）

A．（﹣3，2）    B．（﹣2，3）    C．（2，﹣3）    D．（3，﹣2）

4．（3分）若一个多边形的内角和是540°，则该多边形的边数为（　　）

A．4    B．5    C．6    D．7

5．（3分）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）

A．x≠2    B．x≥2    C．x≤2    D．x≠﹣2

6．（3分）已知△ABC的周长为16，点D，E，F分别为△ABC三条边的中点，则△DEF的周长为（　　）

A．8    B．2    C．16    D．4

7．（3分）把函数y＝（x﹣1）2+2图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为（　　）

A．y＝x2+2    B．y＝（x﹣1）2+1    C．y＝（x﹣2）2+2    D．y＝（x﹣1）2﹣3

8．（3分）不等式组的解集为（　　）

A．无解    B．x≤1    C．x≥﹣1    D．﹣1≤x≤1

9．（3分）如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点E，F分别在边AB，CD上，∠EFD＝60°．若将四边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD边上，则BE的长度为（　　）

A．1    B．    C．    D．2

10．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是x＝1，下列结论：

①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③8a+c＜0；④5a+b+2c＞0，

正确的有（　　）

A．4个    B．3个    C．2个    D．1个

二、填空题（本大题7小题，每小题4分，共28分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上．

11．（4分）分解因式：xy﹣x＝______．

12．（4分）如果单项式3xmy与﹣5x3yn是同类项，那么m+n＝______．

13．（4分）若|b+1|＝0，则（a+b）2020＝______．

14．（4分）已知x＝5﹣y，xy＝2，计算3x+3y﹣4xy的值为______．

15．（4分）如图，在菱形ABCD中，∠A＝30°，取大于AB的长为半径，分别以点A，B为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交AD边于点E（作图痕迹如图所示），连接BE，BD．则∠EBD的度数为______．

16．（4分）如图，从一块半径为1m的圆形铁皮上剪出一个圆周角为120°的扇形ABC，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面圆的半径为______m．

17．（4分）有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉．把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，∠ABC＝90°，点M，N分别在射线BA，BC上，MN长度始终保持不变，MN＝4，E为MN的中点，点D到BA，BC的距离分别为4和2．在此滑动过程中，猫与老鼠的距离DE的最小值为______．

三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）

18．（6分）先化简，再求值：（x+y）2+（x+y）（x﹣y）﹣2x2，其中x，y．

19．（6分）某中学开展主题为“垃圾分类知多少”的调查活动，调查问卷设置了“非常了解”、“比较了解”、“基本了解”、“不太了解”四个等级，要求每名学生选且只能选其中一个等级，随机抽取了120名学生的有效问卷，数据整理如下：

（2）若该校有学生1800人，请根据抽样调查结果估算该校“非常了解”和“比较了解”垃圾分类知识的学生共有多少人？

20．（6分）如图，在△ABC中，点D，E分别是AB、AC边上的点，BD＝CE，∠ABE＝∠ACD，BE与CD相交于点F．求证：△ABC是等腰三角形．

四、解答题（二）（本大题3小题，每小题8分，共24分）

21．（8分）已知关于x，y的方程组与的解相同．

（1）求a，b的值；

（2）若一个三角形的一条边的长为2，另外两条边的长是关于x的方程x2+ax+b＝0的解．试判断该三角形的形状，并说明理由．

22．（8分）如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠DAB＝90°，AB是⊙O的直径，CO平分∠BCD．

（1）求证：直线CD与⊙O相切；

（2）如图2，记（1）中的切点为E，P为优弧上一点，AD＝1，BC＝2．求tan∠APE的值．

23．（8分）某社区拟建A，B两类摊位以搞活“地摊经济”，每个A类摊位的占地面积比每个B类摊位的占地面积多2平方米．建A类摊位每平方米的费用为40元，建B类摊位每平方米的费用为30元．用60平方米建A类摊位的个数恰好是用同样面积建B类摊位个数的．

（1）求每个A，B类摊位占地面积各为多少平方米？

（2）该社区拟建A，B两类摊位共90个，且B类摊位的数量不少于A类摊位数量的3倍．求建造这90个摊位的最大费用．

五、解答题（三）（本大题2小题，每小题10分，共20分）

24．（10分）如图，点B是反比例函数y（x＞0）图象上一点，过点B分别向坐标轴作垂线，垂足为A，C．反比例函数y（x＞0）的图象经过OB的中点M，与AB，BC分别相交于点D，E．连接DE并延长交x轴于点F，点G与点O关于点C对称，连接BF，BG．

（1）填空：k＝______；

（2）求△BDF的面积；

（3）求证：四边形BDFG为平行四边形．

25．（10分）如图，抛物线yx2+bx+c与x轴交于A，B两点，点A，B分别位于原点的左、右两侧，BO＝3AO＝3，过点B的直线与y轴正半轴和抛物线的交点分别为C，D，BCCD．

（1）求b，c的值；

（2）求直线BD的函数解析式；

（3）点P在抛物线的对称轴上且在x轴下方，点Q在射线BA上．当△ABD与△BPQ相似时，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标．

2020年广东省中考数学试卷

参与试题解析

一、选择题

1．【分析】根据相反数的定义即可求解．

【解答】解：9的相反数是﹣9，

故选：A．

2．【分析】中位数是指一组数据从小到大排列之后，如果数据的总个数为奇数，则中间的数即为中位数；如果数据的总个数为偶数个，则中间两个数的平均数即为中位数．

【解答】解：将数据由小到大排列得：2，2，3，4，5，

∵数据个数为奇数，最中间的数是3，

∴这组数据的中位数是3．

故选：C．

3．【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答即可．

【解答】解：点（3，2）关于x轴对称的点的坐标为（3，﹣2）．

故选：D．

4．【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°列式进行计算即可求解．

【解答】解：设多边形的边数是n，则

（n﹣2）•180°＝540°，

解得n＝5．

故选：B．

5．【分析】根据二次根式中的被开方数是非负数，即可确定二次根式被开方数中字母的取值范围．

【解答】解：∵在实数范围内有意义，

∴2x﹣4≥0，

解得：x≥2，

∴x的取值范围是：x≥2．

故选：B．

6．【分析】根据中位线定理可得DFAC，DEBC，EFAC，继而结合△ABC的周长为16，可得出△DEF的周长．

【解答】解：∵D、E、F分别为△ABC三边的中点，

∴DE、DF、EF都是△ABC的中位线，

∴DFAC，DEBC，EFAC，

故△DEF的周长＝DE+DF+EF（BC+AB+AC）16＝8．

故选：A．

7．【分析】先求出y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标，再根据向右平移横坐标加，求出平移后的二次函数图象顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可．

【解答】解：二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象的顶点坐标为（1，2），

∴向右平移1个单位长度后的函数图象的顶点坐标为（2，2），

∴所得的图象解析式为y＝（x﹣2）2+2．

故选：C．

【点评】本题主要考查的是函数图象的平移，求出平移后的函数图象的顶点坐标直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．

8．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．

【解答】解：解不等式2﹣3x≥﹣1，得：x≤1，

解不等式x﹣1≥﹣2（x+2），得：x≥﹣1，

则不等式组的解集为﹣1≤x≤1，

故选：D．

9．【分析】由正方形的性质得出∠EFD＝∠BEF＝60°，由折叠的性质得出∠BEF＝∠FEB'＝60°，BE＝B'E，设BE＝x，则B'E＝x，AE＝3﹣x，由直角三角形的性质可得：2（3﹣x）＝x，解方程求出x即可得出答案．

【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB∥CD，∠A＝90°，

∴∠EFD＝∠BEF＝60°，

∵将四边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD边上，

∴∠BEF＝∠FEB'＝60°，BE＝B'E，

∴∠AEB'＝180°﹣∠BEF﹣∠FEB'＝60°，

∴B'E＝2AE，

设BE＝x，则B'E＝x，AE＝3﹣x，

∴2（3﹣x）＝x，

解得x＝2．

故选：D．

10．【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点判定系数符号及运用一些特殊点解答问题．

【解答】解：由抛物线的开口向下可得：a＜0，

根据抛物线的对称轴在y轴右边可得：a，b异号，所以b＞0，

根据抛物线与y轴的交点在正半轴可得：c＞0，

∴abc＜0，故①错误；

∵抛物线与x轴有两个交点，

∴b2﹣4ac＞0，故②正确；

∵直线x＝1是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴，所以1，可得b＝﹣2a，

由图象可知，当x＝﹣2时，y＜0，即4a﹣2b+c＜0，

∴4a﹣2×（﹣2a）+c＜0，

即8a+c＜0，故③正确；

由图象可知，当x＝2时，y＝4a+2b+c＞0；当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，

两式相加得，5a+b+2c＞0，故④正确；

∴结论正确的是②③④3个，

故选：B．

二、填空题

11．【分析】直接提取公因式x，进而分解因式得出答案．

【解答】解：xy﹣x＝x（y﹣1）．

故答案为：x（y﹣1）．

12．【分析】根据同类项的定义（所含字母相同，相同字母的指数相同）可得m＝3，n＝1，再代入代数式计算即可．

【解答】解：∵单项式3xmy与﹣5x3yn是同类项，

∴m＝3，n＝1，

∴m+n＝3+1＝4．

故答案为：4．

13．【分析】根据非负数的意义，求出a、b的值，代入计算即可．

【解答】解：∵|b+1|＝0，

∴a﹣2＝0且b+1＝0，

解得，a＝2，b＝﹣1，

∴（a+b）2020＝（2﹣1）2020＝1，

故答案为：1．

14．【分析】由x＝5﹣y得出x+y＝5，再将x+y＝5、xy＝2代入原式＝3（x+y）﹣4xy计算可得．

【解答】解：∵x＝5﹣y，

∴x+y＝5，

当x+y＝5，xy＝2时，

原式＝3（x+y）﹣4xy

＝3×5﹣4×2

＝15﹣8

＝7，

故答案为：7．

15．【分析】根据∠EBD＝∠ABD﹣∠ABE，求出∠ABD，∠ABE即可解决问题．

【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，

∴AD＝AB，

∴∠ABD＝∠ADB（180°﹣∠A）＝75°，

由作图可知，EA＝EB，

∴∠ABE＝∠A＝30°，

∴∠EBD＝∠ABD﹣∠ABE＝75°﹣30°＝45°，

故答案为45°．

16．【分析】求出阴影扇形的弧长，进而可求出围成圆锥的底面半径．

【解答】解：由题意得，阴影扇形的半径为1m，圆心角的度数为120°，

则扇形的弧长为：，

而扇形的弧长相当于围成圆锥的底面周长，因此有：

2πr，

解得，r，

故答案为：．

17．【分析】如图，连接BE，BD．求出BE，BD，根据DE≥BD﹣BE求解即可．

【解答】解：如图，连接BE，BD．

由题意BD2，

∵∠MBN＝90°，MN＝4，EM＝NE，

∴BEMN＝2，

∴点E的运动轨迹是以B为圆心，2为半径的弧，

∴当点E落在线段BD上时，DE的值最小，

∴DE的最小值为22．

故答案为22．

三、解答题

18．【分析】根据整式的混合运算过程，先化简，再代入值求解即可．

【解答】解：（x+y）2+（x+y）（x﹣y）﹣2x2，

＝x2+2xy+y2+x2﹣y2﹣2x2

＝2xy，

当x，y时，

原式＝22．

19．【分析】（1）根据四个等级的人数之和为120求出x的值；

（2）用总人数乘以样本中“非常了解”和“比较了解”垃圾分类知识的学生占被调查人数的比例．

【解答】解：（1）x＝120﹣（24+72+18）＝6；

（2）18001440（人），

答：根据抽样调查结果估算该校“非常了解”和“比较了解”垃圾分类知识的学生共有1440人．

20．【分析】先证△BDF≌△CEF（AAS），得出BF＝CF，DF＝EF，则BE＝CD，再证△ABE≌△ACD（AAS），得出AB＝AC即可．

【解答】证明：∵∠ABE＝∠ACD，

∴∠DBF＝∠ECF，

在△BDF和△CEF中，，

∴△BDF≌△CEF（AAS），

∴BF＝CF，DF＝EF，

∴BF+EF＝CF+DF，

即BE＝CD，

在△ABE和△ACD中，，

∴△ABE≌△ACD（AAS），

∴AB＝AC，

∴△ABC是等腰三角形．

四、解答题

21．【分析】（1）关于x，y的方程组与的解相同．实际就是方程组的解，可求出方程组的解，进而确定a、b的值；

（2）将a、b的值代入关于x的方程x2+ax+b＝0，求出方程的解，再根据方程的两个解与2为边长，判断三角形的形状．

【解答】解：（1）由题意得，关于x，y的方程组的相同解，就是程组的解，

解得，，代入原方程组得，a＝﹣4，b＝12；

（2）当a＝﹣4，b＝12时，关于x的方程x2+ax+b＝0就变为x2﹣4x+12＝0，

解得，x1＝x2＝2，

又∵（2）2+（2）2＝（2）2，

∴以2、2、2为边的三角形是等腰直角三角形．

22．【分析】（1）证明：作OE⊥CD于E，证△OCE≌△OCB（AAS），得出OE＝OB，即可得出结论；

（2）作DF⊥BC于F，连接BE，则四边形ABFD是矩形，得AB＝DF，BF＝AD＝1，则CF＝1，证AD、BC是⊙O的切线，由切线长定理得ED＝AD＝1，EC＝BC＝2，则CD＝ED+EC＝3，由勾股定理得DF＝2，则OB，证∠ABE＝∠BCH，由圆周角定理得∠APE＝∠ABE，则∠APE＝∠BCH，由三角函数定义即可得出答案．

【解答】（1）证明：作OE⊥CD于E，如图1所示：

则∠OEC＝90°，

∵AD∥BC，∠DAB＝90°，

∴∠OBC＝180°﹣∠DAB＝90°，

∴∠OEC＝∠OBC，

∵CO平分∠BCD，

∴∠OCE＝∠OCB，

在△OCE和△OCB中，，

∴△OCE≌△OCB（AAS），

∴OE＝OB，

又∵OE⊥CD，

∴直线CD与⊙O相切；

（2）解：作DF⊥BC于F，连接BE，如图所示：

则四边形ABFD是矩形，

∴AB＝DF，BF＝AD＝1，

∴CF＝BC﹣BF＝2﹣1＝1，

∵AD∥BC，∠DAB＝90°，

∴AD⊥AB，BC⊥AB，

∴AD、BC是⊙O的切线，

由（1）得：CD是⊙O的切线，

∴ED＝AD＝1，EC＝BC＝2，

∴CD＝ED+EC＝3，

∴DF2，

∴AB＝DF＝2，

∴OB，

∵CO平分∠BCD，

∴CO⊥BE，

∴∠BCH+∠CBH＝∠CBH+∠ABE＝90°，

∴∠ABE＝∠BCH，

∵∠APE＝∠ABE，

∴∠APE＝∠BCH，

∴tan∠APE＝tan∠BCH．

23．【分析】（1）设每个B类摊位的占地面积为x平方米，则每个A类摊位占地面积为（x+2）平方米，根据用60平方米建A类摊位的个数恰好是用同样面积建B类摊位个数的这个等量关系列出方程即可．

（2）设建A摊位a个，则建B摊位（90﹣a）个，结合“B类摊位的数量不少于A类摊位数量的3倍”列出不等式并解答．

【解答】解：（1）设每个B类摊位的占地面积为x平方米，则每个A类摊位占地面积为（x+2）平方米，

根据题意得：，

解得：x＝3，

经检验x＝3是原方程的解，

所以3+2＝5，

答：每个A类摊位占地面积为5平方米，每个B类摊位的占地面积为3平方米；

（2）设建A摊位a个，则建B摊位（90﹣a）个，

由题意得：90﹣a≥3a，

解得a≤22.5，

∵建A类摊位每平方米的费用为40元，建B类摊位每平方米的费用为30元，

∴要想使建造这90个摊位有最大费用，所以要多建造A类摊位，即a取最大值22时，费用最大，

此时最大费用为：22×40×5+30×（90﹣22）×3＝10520，

答：建造这90个摊位的最大费用是10520元．

五、解答题（三）（本大题2小题，每小题10分，共20分）

24．【分析】（1）设点B（s，t），st＝8，则点M（s，t），则ks•tst＝2；

（2）△BDF的面积＝△OBD的面积＝S△BOA﹣S△OAD，即可求解；

（3）确定直线DE的表达式为：y，令y＝0，则x＝5m，故点F（5m，0），即可求解．

【解答】解：（1）设点B（s，t），st＝8，则点M（s，t），

则ks•tst＝2，

故答案为2；

（2）△BDF的面积＝△OBD的面积＝S△BOA﹣S△OAD82＝3；

（3）设点D（m，），则点B（4m，），

∵点G与点O关于点C对称，故点G（8m，0），

则点E（4m，），

设直线DE的表达式为：y＝sx+n，将点D、E的坐标代入上式得，解得，

故直线DE的表达式为：y，令y＝0，则x＝5m，故点F（5m，0），

故FG＝8m﹣5m＝3m，而BD＝4m﹣m＝3m＝FG，

则FG∥BD，故四边形BDFG为平行四边形．

25．【分析】（1）先求出点A，点B坐标，代入交点式，可求抛物线解析式，即可求解；

（2）过点D作DE⊥AB于E，由平行线分线段成比例可求OE，可求点D坐标，利用待定系数法可求解析式；

（3）利用两点距离公式可求AD，AB，BD的长，利用锐角三角函数和直角三角形的性质可求∠ABD＝30°，∠ADB＝45°，分∠ABP＝30°或∠ABP＝45°两种情况讨论，利用相似三角形的性质可求解．

【解答】解：（1）∵BO＝3AO＝3，

∴点B（3，0），点A（﹣1，0），

∴抛物线解析式为：y（x+1）（x﹣3）x2x，

∴b，c；

（2）如图1，过点D作DE⊥AB于E，

∴CO∥DE，

∴，

∵BCCD，BO＝3，

∴，

∴OE，

∴点D横坐标为，

∴点D坐标（，1），

设直线BD的函数解析式为：y＝kx+b，

由题意可得：，

解得：，

∴直线BD的函数解析式为yx；

（3）∵点B（3，0），点A（﹣1，0），点D（，1），

∴AB＝4，AD＝2，BD＝22，对称轴为直线x＝1，

∵直线BD：yx与y轴交于点C，

∴点C（0，），

∴OC，

∵tan∠COB，

∴∠COB＝30°，

如图2，过点A作AK⊥BD于K，

∴AKAB＝2，

∴DK2，

∴DK＝AK，

∴∠ADB＝45°，

如图，设对称轴与x轴的交点为N，即点N（1，0），

若∠CBO＝∠PBO＝30°，

∴BNPN＝2，BP＝2PN，

∴PN，BP，

当△BAD∽△BPQ，

∴，

∴BQ2，

∴点Q（1，0）；

当△BAD∽△BQP，

∴，

∴BQ4，

∴点Q（﹣1，0）；

若∠PBO＝∠ADB＝45°，

∴BN＝PN＝2，BPBN＝2，

当△BAD∽△BPQ，

∴，

∴，

∴BQ＝22

∴点Q（1﹣2，0）；

当△BAD∽△PQB，

∴，

∴BQ22，

∴点Q（5﹣2，0）；

综上所述：满足条件的点Q的坐标为（1，0）或（﹣1，0）或（1﹣2，0）或（5﹣2，0）．