高中文科数学高考模拟试卷(含答案)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．

1．如果复数

)()2(R

a i ai ∈+的实部与虚部是互为相反数，则a 的值等于 A ．2 B ．1 C ．2- D ．1- 2．已知两条不同直线1l 和2l 及平面α，则直线21//l l 的一个充分条件是

A ．α//1l 且α//2l

B ．α⊥1l 且α⊥2l

C ．α//1l 且α⊄2l

D ．α//1l 且α⊂2l 3．在等差数列}{n a 中，69327a a a -=+，n S 表示数列}{n a 的前n 项和，则=11S

A ．18

B ．99

C ．198

D ．297

4．右图是一个几何体的三视图，根据图中数据， 可得该几何体的表面积是

A ．π32

B ．π16

C ．π12

D ．π8

5．已知点)4

3

cos ,43(sin

ππP 落在角θ的终边上，且)2,0[πθ∈，则θ的值为 A ．4

π

B ．43π

C ．45π

D ．47π

6．按如下程序框图，若输出结果为170，则判断框内应补充的条件为

A ．5i >

B ．7i ≥

C ．9i >

D ．9i ≥

7．若平面向量)2,1(-=与的夹角是︒180，且||=b A ．)6,3(- B ．)6,3(- C ．)3,6(- 8．若函数)(log )(b x x f a +=的大致图像如右图，其中则函数b a x g x

+=)(的大致图像是

A B C D

9．设平面区域D 是由双曲线1422

=-x y 的两条渐近线和椭圆12

22

=+y x 的右准线所围成的三角形（含边界与内部）．若点D y x ∈),(，则目标函数y x z +=的最大值为

A ．1

B ．2

C ．3

D ．6

10．设()11x

f x x +=-，又记()()()()()11,,1,2,,k k f x f x f x f f x k +=== 则()2009=f x

A ．1x -

B ．x

C ．11x x -+

D ．11x x

+-

俯视图

11. 等差数列{}n a 中，8776

,S S S S ><，真命题有__________(写出所有满足条件的序号)

①前七项递增，后面的项递减 ② 69S S <

③1a 是最大项 ④7S 是n S 的最大项 A ．②④

B ．①②④

C ．②③④

D ．①②③④

12. 已知()f x 是定义在R 上的且以2为周期的偶函数，当01x ≤≤时，2()f x x =，如果直线y x a =+与曲线

()y f x =恰有两个交点，则实数a 的值为 A ．0 B ．2()k k Z ∈ C ．122()4k k k Z -

∈或 D ．1

22()4

k k k Z +∈或 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分。

13．某大型超市销售的乳类商品有四种：纯奶、酸奶、婴幼儿奶粉、成人奶粉，且纯奶、酸奶、婴幼儿奶粉、成

人奶粉分别有30种、10种、35种、25种不同的品牌．现采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为n 的样本进行三聚氰胺安全检测，若抽取的婴幼儿奶粉的品牌数是7，则=n 。 14．若关于x 的不等式2||20ax x a -+<的解集为∅，则实数a 的取值范围为 。

15．在ABC Rt ∆中，若a BC b AC C ===∠,,900

，则ABC ∆外接圆半径2

2

2b a r +=。

运用类比方法，若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为c b a ,,，则其外接球的半径R = 。

16. 在OAB 中，O 为坐标原点，(1,cos ),(sin ,1),0,2A B πθθθ⎡⎤

-∈⎢⎥⎣⎦

。

⑴若,OA OB OA OB θ+=-=

则 ，⑵OAB ∆的面积最大值为 。

三、解答题：本大题6小题，满分74分。

17．（本小题满分12分）已知函数2()2cos cos(

)sin cos 6

f x x x x x x π

=-+．

（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）设]2,

3[π

π-

∈x ，求()f x 的值域．

18．（本小题满分10分）先后随机投掷2枚正方体骰子，其中x 表示第1枚骰子出现的点数，y 表示第2枚骰子

出现的点数．

（Ⅰ）求点),(y x P 在直线1-=x y 上的概率；

（Ⅱ）求点),(y x P 满足x y 42

<的概率．

19．（本小题满分13分）

如图，AB 为圆O 的直径，点E 、F 在圆O 上，EF AB //，矩形ABCD 和圆O 所在的平面互相垂直，且2=AB ，1==EF AD . （Ⅰ）求证：⊥AF 平面CBF ；

（Ⅱ）设FC 的中点为M ，求证：//OM 平面DAF ；

（Ⅲ）设平面CBF 将几何体EFABCD 分成的两个锥体的体积分别为F V -CBE F V -，求ABCD F V -CBE F V -:．

20.（本题满分12分）已知函数d cx bx ax x f +++=23)(，)(R x ∈在任意一点))(,(00x f x 处的切线的斜率为)1)(2(00+-=x x k 。

（1）求c b a ,,的值；

（2）求函数)(x f 的单调区间；

（3）若)(x f y =在23≤≤-x 上的最小值为2

5

，求)(x f y =在R 上的极大值。

21．（本题满分13分）

如图，两条过原点O 的直线21,l l 分别与x 轴、y 轴成︒30的角，已知线段PQ 的长度为2，且点),(11y x P 在直线1l 上运动，点),(22y x Q 在直线2l 上运动． （Ⅰ）求动点),(21x x M 的轨迹C 的方程；

（Ⅱ）设过定点)2,0(T 的直线l 与(Ⅰ)中的轨迹C 交于不同的两点A 、B ，且AOB ∠

为锐角,求直线l 的斜率k 的取值范围．

22．（本小题满分14分）

设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11=a ，且对任意正整数n ,点()n n S a ,1+在直线022=-+y x 上. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）是否存在实数λ，使得数列⎭

⎬⎫

⎩

⎨⎧+

⋅+n

n n S 2λλ为等差数列？若存在，求出λ的 值；若不存在，则说明理由.

（Ⅲ）求证：2

1

)1)(1(26111<++≤∑=+-n k k k k a a .

高中文科数学高考模拟试卷答案及评分标准

一、ABBCD DABCD CC

二、13．20. 14．[)4+∞. 15．

2

222c

b a ++． 16．8,23π. 三、解答题：本大题满分74分．

17．解：（Ⅰ）∵2()cos sin )sin cos f x x x x x x x =++

22sin )2sin cos x x x x =-+x x 2sin 2cos 3+=)3

2sin(2π

+=x ．

)(x f ∴的最小正周期为π．

（Ⅱ）∵]2,3[ππ-∈x ，3

4323π

ππ≤+≤-∴x ， ………… 9分

又)3

2sin(2)(π

+=x x f ，]2,3[)(-∈∴x f ，()f x 的值域为]2,3[-．

18．解：（Ⅰ）每颗骰子出现的点数都有6种情况，所以基本事件总数为3666=⨯个. 2分

记“点),(y x P 在直线1-=x y 上”为事件A ，A 有5个基本事件：

)}5,6(),4,5(),3,4(),2,3(),1,2{(=A ， .36

5)(=∴A P …… 5分 （Ⅱ）记“点),(y x P 满足x y 42<”为事件B ，则事件B 有17个基本事件: 当1=x 时，;1=y 当2=x 时，2,1=y ； …………… 6分

当3=x 时，3,2,1=y ；当4=x 时，;3,2,1=y ……………… 8分 当5=x 时，4,3,2,1=y ；当6=x 时，4,3,2,1=y ．

.36

17

)(=∴B P ………… 10分 19．（Ⅰ）证明： 平面⊥ABCD 平面ABEF ,AB CB ⊥,

平面 ABCD 平面ABEF =AB ，⊥∴CB 平面ABEF ， ⊂AF 平面ABEF ，CB AF ⊥∴ ,又AB 为圆O 的直径，BF AF ⊥∴，

⊥∴AF 平面CBF 。 …………………… 5分

（Ⅱ）设DF 的中点为N ，则MN //CD 21，又AO //CD 2

1

，

则MN //AO ，MNAO 为平行四边形，//OM ∴AN ，又⊂AN 平面DAF ，⊄OM 平面DAF ，

//OM ∴平面DAF 。

(Ⅲ)过点F 作AB FG ⊥于G ， 平面⊥ABCD 平面ABEF ，

⊥∴FG 平面ABCD ，FG FG S V ABCD ABCD F 3

2

31=⋅=

∴-， ⊥CB 平面ABEF ， CB S V V BFE BFE C CBE F ⋅==∴∆--31FG CB FG EF 6

1

2131=⋅⋅⋅=，ABCD F V -∴1:4:=-CBE F V ．

20.（本小题满分12分）解：（1）c bx ax x f ++='23)(2（1分）

而)(x f 在))(,(00x f x 处的切线斜率)1)(2(23)(0002

00+-=++='=x x c bx ax x f k

∴ 2,12,13-=-==c b a ∴ 31=a ，2

1

-=b ，2-=c （3分）

（2）∵ d x x x x f +--=22

131)(2

3

由0)1)(2(2)(2≥+-=--='x x x x x f 知)(x f 在]1,(--∞和),2[+∞上是增函数 由0)1)(2()(≤+-='x x x f 知)(x f 在]2,1[-上为减函数（7分）

（3）由)1)(2()(+-='x x x f 及23≤≤-x 可列表

)(x f 在]2,3[-由d f +-=-215)3(，d f +-=310

)2(知)2()3(f f <-（9分） 于是25215)3(=+-=-d f 则10=d （11分）∴ 6

67)1()(=-=f x f 极大值 即所求函数)(x f 在R 上的极大值为6

67

（12分）

21.解：（Ⅰ）由已知得直线21l l ⊥，1l ：x y 3

3

=，

2l ：x y 3-=， ……… 2分

),(11y x P 在直线1l 上运动，),(22y x Q 直线2l 上运动，

113

3

x y =

∴,223x y -=， …………………… 3分 由2=PQ 得4)()(2

2222121=+++y x y x ，

即44342221=+x x ，⇒13

2

22

1=+x x ， …………………… 4分 ∴动点),(21x x M 的轨迹C 的方程为1322

=+y x ． …………………… 5分

（Ⅱ）直线l 方程为2+=kx y ，将其代入13

22=+y x

， 化简得0912)31(22=+++kx x k ， ……… 7分设),(11y x A 、),(22y x B

0)31(36)12(22>+⨯-=∆∴k k ，12>⇒k ，

且2

21221319

,3112k

x x k kx x x +=+-=+， …………………… 9分 AOB ∠ 为锐角，0>⋅∴， 即02121>+y y x x ，⇒0)2)(2(2121>+++kx kx x x ，

04)(2)1(21212

>++++∴x x k x x k ．

将2

2

1221319

,3112k x x k kx x x +=+-=+代入上式， 化简得0313132

2>+-k

k ，3132

<⇒k ． …………………… 11分 由12

>k 且313239,1()1,339( --

∈k ． ……………………13分 22．（本小题满分14分）

设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11=a ，且对任意正整数n ,点()n n S a ,1+在直线022=-+y x 上.

(Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）是否存在实数λ，使得数列⎭

⎫

⎩

⎨⎧+⋅+n

n n S 2λλ为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，则说明理由.

（Ⅲ）求证： 2

1

)1)(1(26111<++≤∑=+-n k k k k a a .

解：(Ⅰ)由题意可得：

.0221=-++n n S a ①

2≥n 时, .0221=-+-n n S a ② …………………… 1分

①─②得()221

02211≥=⇒=+-++n a a a a a n n n n n ，

2

1

22,12121=⇒=+=a a a a …………………… 3分

∴{}n a 是首项为1，公比为21的等比数列，.211

-⎪⎭⎫

⎝⎛=∴n n a ……………… 4分

（Ⅱ）解法一:.2122

112111--=--=

n n

n S ……………… 5分 若⎭⎬⎫⎩

⎨⎧

+n n S 2λ为等差数列，

则3322123,22,2λ

λλ

λλ

λ+

++

++

+S S S 成等差数列, ……………… 6分

2,82547231492328252349312λλλλλλ+++

=⎪⎭

⎫

⎝⎛+⇒+++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+S S S 得.2=λ ……………… 8分

又2=λ时，222

2

2+=++n n S n n ，显然{}22+n 成等差数列，

故存在实数2=λ，使得数列⎭⎬⎫⎩

⎨⎧

++n n n S 2λλ成等差数列. ……………… 9分

解法二: .2122112111--=--=

n n

n S ……………… 5分 ().2

1

22221221n n n n n n n n S -++=++-=++∴-λλλλλλ …………… 7分

欲使⎭⎬⎫⎩

⎨⎧

+⋅+n n n S 2λλ成等差数列,只须02=-λ即2=λ便可. ……………8分

故存在实数2=λ，使得数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧

++n n n S 2λλ成等差数列. ……………… 9分

（Ⅲ）=+++)1)(1(1

1k k a a

(21)121)(121(11k k k =++--+1211k )12

111+-k …… 10分 ∑∑==+--+=++∴n

k k

n k kt k k a a 11112

11

()1)(1(2)12111+-k ………… 11分 ++-+=)1111211( ++-+)12

1

1

1211(2

-++1211(t )12111+-k

7 ++-=1111211+k

21122-+=k k ………… 12分 又函数=+=122x x y 1211+x

在),1[∞+∈x 上为增函数， 11

2212211<+≤+∴k k

， ………… 13分 211211

222132-<-+≤-∴k k ，21)1)(1(26111<++≤∑=+-n k k k k a a ． ……… 14分