13年高考真题——理科数学(四川卷)

一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

    1．设集合，，则（    ）

（A）       （B）          （C）        （D）

    2．如图，在复平面内，点表示复数，则图中表示的共轭复数的点是（    ） （A）       （B）          （C）        （D）

    3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是（    ）

    4．设，集合是奇数集，集合是偶数集．若命题，则（    ）

（A）            （B）

（C）            （D）

5．函数的部分图象如图所示，则的值分别是（    ）

（A）      （B）       （C）       （D）

6．抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是（    ）     （A）          （B）             （C）1           （D）

7．函数的图象大致是（    ）

    8．从这五个数中，每次取出两个不同的数分别为，共可得到的不同值的个数是（    ）  （A）9       （B）10          （C）18        （D）20

9．节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互，若接通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是（    ）

（A）       （B）          （C）        （D）

    10．设函数（，为自然对数的底数），若曲线上存在使得，则的取值范围是（    ）

（A）        （B）          （C）        （D）

二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

    11．二项式的展开式中，含的项的系数是____________。（用数字作答）

    12．在平行四边形中，对角线与交于点，，则____________。

    13．设，，则的值是____________。

    14．已知是定义域为的偶函数，当≥时，，那么，不等式的解集是____________。

    15．设为平面内的个点，在平面内的所有点中，若点到点的距离之和最小，则称点为点的一个“中位点”。例如，线段上的任意点都是端点的中位点。则有下列命题：①若三个点共线，在线段上，则是的中位点；②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点；③若四个点共线，则它们的中位点存在且唯一；④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点。其中的真命题是____________。（写出所有真命题的序号）

三．解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

    16．（本小题满分12分）在等差数列中，，且为和的等比中项，求数列的首项、公差及前项和。

    17．（本题12分）中，角对边分别为，且。求的值；若，，求向量在方向上的投影。

    18．（本小题满分12分）某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量在这个整数中等可能随机产生。分别求出按程序框图正确编程运行时输出的值为的概率；甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行次后，统计记录了输出的值为的频数。以下是甲、乙所作频数统计表部分数据。

19．（本小题满分12分）如图，在三棱柱中，侧棱底面，，，分别是线段的中点，是线段的中点。在平面内，试作出过点与平面平行的直线，说明理由，并证明直线平面；设中的直线交于，交于，求二面角的余弦值。

    20．（本小题满分13分）已知椭圆：的两焦点分别为，且椭圆经过点。求椭圆的离心率；设过点的直线与椭圆交于、两点，点是线段上的点，且，求点的轨迹方程。

    21．（本小题满分14分）已知函数，其中是实数。设，为该函数图象上的两点，且。指出函数的单调区间；若函数的图象在点处的切线互相垂直，且，求的最小值；若函数的图象在点处的切线重合，求的取值范围。

2013年普通高校招生全国统考数学试卷四川卷解答

一．ABDDA  BCCCA

二．11．10；12．2；13．；14．；15． 

16．解：设该数列公差为，前项和为，则，解得

或。当时，当时。

17．解：由题得，即

，故；

由得，故。又，故，从而，因此，解得（舍负）。所以向量在方向上的投影为。

18．解：变量是在这24个整数中随机产生的一个数，共有24种可能。当从这12个数中产生时，输出的值为1，故；当从这8个数中产生时，输出的值为2，故；当从这4个数中产生时，输出的值为3，故；

随机变量可能的取值为，且

，，

    19．解：如图，在平面内，过点作直线，因在平面外，在平面内，因此平面。

因，且为中点，故，从而。因为平面，所以。又因为、在平面内，且，故平面；

连接，过作于，过作于，连接。由知

平面，故平面平面，因此平面，知。所以平面，有，从而为二面角的平面角（设为）。设，则由，，有，，。又为中点，故为中点，且，。因此在中，，在中，，知，，所以，从而。

20．解：由题知，故。又，故离心率；

由知：，设，当直线轴时，与交于两点，此时；当直线不与轴垂直时，设：，则可设，，故，。又，由

得。将代入的方程可得，故，，因此。又，代入得。由得，从而得，即。因满足，故。由题意在椭圆内，故。又，故，所求方程为。

    21．解：函数的单调递减区间为，单调递增区间为和；

    因为，所以，。由题可知，即，故，，因此，当且仅当

即，时取等号。所以所求最小值为1；

    当或时，显然，故。易知点处的切线方程为即，点处的切线方程为即，故。结合可知，且。令，则，故为减函数，因此。而当时，所以。