第四章 随机变量的数字特征

例1．一汽车沿一街道行驶，需要通过三个信号灯路口，每个信号灯为红或绿与其它信号灯为红或绿相互，且红，绿两种信号显示的时间相等，以表示汽车首次遇到红灯已通过的路口数，求1）的概率分布；2）

例2．设为服从参数为的泊松分布，且，则 

例3．某电子元件的使用寿命是一个随机变量，其概率密度为：

若规定使用时间在500小时以下为废品，产值为0元；在500到1000小时之间为次品，产品为10元；在1000到1500小时之间为二等品，产值为30元；在1500小时以上为一等品，产值为40元，求该产品的平均产值

例4．设随机变量都服从，且相互。求及

例10．游客从底层到中视塔顶层观光，电梯每个整点的第5分钟，第25分钟和第55分钟从底层起行，假设一游客在8点的分钟到达底层侯梯处，且在上均匀分布，求该游客侯车时间的数学期望。

例5．设随机变量X的密度函数为

1）求X与的协方差，并问X与是否不相关。

2）问X与是否相互，为什么？                                                                

例6．已知二维随机变量（X,Y）服从二维正态分布，且。X与Y的相关系数为，设

 1) 求Z的数学期望和方差。  2） 求X与Z的相关系数

3）问X与Z是否相互，为什么？

例7．设常数a 与b是随机变量X的一切取值中的最小值与最大值，证明X的方差

例8．设（X,Y）服从区域D上的均匀分布，这里，D是x轴，y 轴及直线所围成的区域，求X与Y的相关系数

例9．设随机变量X与Y同分布，它们都服从正态分布, 求1）  2）

习    题

一、填空

1 设相互，其中在上服从均匀分布，服从正态分布服从参数为的泊松分布，记则

2 设与相互，且则

3 已知的密度函数为则

4设,是两个相互，且均服从正态分布的随机变量，则随机变量的数学期望方差

5 设和是两个相互的随机变量，其概率密度分别为      则

6 设的概率密度为，则

二、解答题

1 盒中有5个球，其中3个白球，2个黑球，从中任取两球，求取出白球数x数学期望与方差。

2 设一次试验成功的概率为P，进行100次重复试验，问P为何值时，成功次数的标准差的值最大，最大值时多少？

3 设排球队A与B进行比赛，若有一队胜三场，则比赛结束。假设A在每场比赛中获胜的概率为，试求比赛场数X的数学期望值。

4 一实习生用一设备地制造3个同种零件，设第i个零件为合格品的概率为，求3个零件中合格品数的数学期望与方差。

5 设蛋糕中含葡萄干的个数服从泊松分布，问要使蛋糕中至少有一粒葡萄干的概率不小于，则蛋糕中含葡萄干的平均个数至少应为多少？

6 某类型电话呼唤时间T是一个随机变量，满足其中为统计资料确定的常数，求随机变量T数学期望与方差。

7 假定国际市场上每年对我国某种出口商品的需求量是随机变量（单位 t）  ，已知服从上的均匀分布，设每售出这种商品1t，可为国家争得外汇3万元，但假如销售不出而囤积于仓库，则每吨需浪费保养费1万元，问应组织多少资源，才能使国家的平均收益最大。

8 一商店销售某种商品，每周进货的数量与顾客对该商品的需求量是相互里的随机变量，且都服从区间上的均匀分布，商店每销售一单位商品获利1000元，若需求量超过进货量，商店可以从其它商店调剂供应，这时每单位商品获利500元，试求此商店经销此种商品每周所得利润的期望值。

9 设二维随机变量)的联合密度函数为求与的协方差。

10 设随机变量,相互，它们的密度函数分别为求。

11 设随机变量与相互，且都服从正态分布，试求和的相关系数，其中,为任意常数。

12 设随机变量的联合密度为：求及。

13 设随机变量X与Y相互，且都服从，求

1) 

14 在长为的线段上任选两点，求两点间距离的数学期望与方差

15 设与的联合密度为： 求  的数学期望

三  证明题

1设随机变量相互，证明： 

2设  是随机变量的任意两个可取值，和分别为其数学期望和

方差，证明： 

答  案

一  1   46 ；  2  2 ；  3    4      5      6 

二  1. 

2.     3.      

4.        5. 

6.       7.     

    8.     9.     10.   11.    12.  

13.    14. 

15.