2021-2022学年-有答案-江苏省连云港市东海县九年级(上)期中数学试卷

一、选择题：（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

1.  关于的方程＝是一元二次方程，则（ ） 

A.    B.    C.    D.＝

2.  把一元二次方程＝化成一般形式，得（ ） 

A.＝    B.＝

C.＝    D.＝

3.  在用配方法解一元二次方程＝的过程中配方正确的是（ ） 

A.＝    B.＝    C.＝    D.＝

4.  当取下列哪个值时，关于的一元二次方程＝没有实数根（ ） 

A.    B.    C.    D.

5.  在下列命题中，正确的是（ ） 

A.弦是直径

B.长度相等的两条弧是等弧

C.三点确定一个圆

D.三角形的外心不一定在三角形的外部

6.  如图，分别以等边三角形的个顶点为圆心，边长为半径画弧，三段弧围成的图形称为莱洛三角形．若等边三角形边长为，则该莱洛三角形的周长为（ ）

A.    B.    C.    D.

7.  在数轴上，点所表示的实数为，点所表示的实数为，的半径为，要使点在内时，实数的取值范围是（ ） 

A.    B.    C.    D.或

8.  如图，在中，点在优弧上，将沿折叠后刚好经过的中点，连接，．则下列结论中错误的是（ ）

①＝；②＝；③；④平分

A.    B.    C.    D.

二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

  一元二次方程的解为________． 

  若是方程＝的一个根，则的值为________． 

  写出一个以和为根，且二次项系数为的一元二次方程为________． 

  已知＝，则的值为________． 

  圆心角是且半径为的扇形面积为________（结果保留）． 

  某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由元降为元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为，所列方程是________． 

  如图，是的直径，直线与相切于点，交于点，连接，＝，则的度数为________．

  如图，是圆内接四边形的一条对角线，点关于的对称点在边上，连接．若＝，则的度数为________．

  如图，在中，＝，＝，＝，的半径为，点是边上的动点，过点作的一条切线（点为切点），则线段长的最小值为________．

  如图，将正六边形放置在直角坐标系内，，点在原点，把正六边形沿轴正半轴作无滑动的连续翻转，每次翻转，经过次翻转之后，点的坐标是________．

三、解答题（共8小题，满分82分）

 解下列方程．  

（1）＝

（2）＝

（3）＝

（4）＝

  当为何值时，代数式的值是的值的倍？ 

 已知关于的一元二次方程＝有两个不相等的实数根．  

（1）求的取值范围；

（2）若是正整数，求关于的方程＝的根．

 如图，是圆的直径，＝，

（1）求的度数．

（2）若＝，求圆的半径．

 定义新运算：对于任意实数、都有＝，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算．例如＝＝，根据以上知识解决问题：  

（1）计算的值；

（2）若的值等于，求的值．

 如图，在正方形网格图中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点、、，请在网格图中进行如下操作：

（1）若该圆弧所在圆的圆心为点，则点坐标为________；

（2）连接、，则圆的半径长为________（结果保留根号）．的度数为________；

（3）若扇形是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥的底面圆的半径长（结果保留根号）

 小明在学习“圆的对称性”时知道结论：垂直于弦的直径一定平分这条弦，请尝试解决下面的问题：

如图，在中，＝，圆是的外接圆．点是圆上一点，过点作，垂足为，且平分．

（1）判断直线与圆的位置关系，并说明理由．

（2）若＝，＝，求线段的长．

 某水晶饰品商店购进个饰品，进价为每个元，第一天以每个元的价格售出个，第二天若按每个元的价格销售仍可售出个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低元，可多售出个，但售价不得低于进价）  

（1）若商家想第天就将这批水晶销售完，则销售价格应定为多少？

（2）单价降低销售一天后，商店对剩余饰品清仓处理，以每个元的价格全部售出，如果这批饰品共获得元，问第二天每个饰品的销售价格为多少元？

参与试题解析

2021-2022学年江苏省连云港市东海县九年级（上）期中数学试卷

一、选择题：（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

1.

【答案】

A

【考点】

一元二次方程的定义

【解析】

根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程进行解答即可．

【解答】

∵   关于的方程＝是一元二次方程，则；

2.

【答案】

D

【考点】

一元二次方程的一般形式

【解析】

根据一元二次方程的一般形式：＝，把原方程经过去括号，移项，合并同类项等步骤整理后，即可得到答案．

【解答】

＝，

去括号得：＝，

移项得：＝，

合并同类项得：＝，

3.

【答案】

B

【考点】

解一元二次方程-配方法

【解析】

根据配方法即可求出答案．

【解答】

∵   ＝，

∴   ＝，

∴   ＝，

4.

【答案】

A

【考点】

根的判别式

【解析】

根据根的判别式即可求出答案．

【解答】

由题意可知：＝，

∴   ，

5.

【答案】

D

【考点】

命题与定理

【解析】

根据命题的“真”“假”进行判断即可．

【解答】

、弦不一定是直径，是假命题；

、完全重合的两条弧是等弧，是假命题；

、不在同一直线上的三点确定一个圆，是假命题；

、三角形的外心不一定在三角形的外部，是真命题；

6.

【答案】

C

【考点】

等边三角形的性质

弧长的计算

【解析】

直接利用弧长公式计算即可．

【解答】

该莱洛三角形的周长＝．

7.

【答案】

C

【考点】

点与圆的位置关系

在数轴上表示实数

数轴

实数

【解析】

首先确定的取值范围，然后根据点所表示的实数写出的取值范围，即可得到正确选项．

【解答】

∵   的半径为，若点在内，

∴   ，

∵   点所表示的实数为，

∴   ，

8.

【答案】

A

【考点】

翻折变换（折叠问题）

圆周角定理

圆心角、弧、弦的关系

【解析】

根据折叠的性质可得＝；根据线段中点的定义可得＝；根据垂径定理可作判断③；延长交于，连接，根据垂径定理可作判断④．

【解答】

过作，交于，连接、，

由折叠得：＝，＝，

∴   ＝＝，

故①正确；

∵   点是的中点，

∴   ＝，

∵   ＝，故②正确；

∴   ，

由折叠得：，

∴   ；

故③正确；

延长交于，连接，

∵   ，

∴   ＝，

∴   不平分，

故④错误；

二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

【答案】

，

【考点】

解一元二次方程-因式分解法

【解析】

首先把移项，再把方程的左面分解因式，即可得到答案．

【解答】

解：，

移项得：，

整理得，

则或，

解得，．

故答案为：，．

【答案】

【考点】

一元二次方程的解

【解析】

先把代入对已知进行变形，再利用整体代入法求解．

【解答】

∵   ＝

∴   ＝，

∴   ＝，

∴   ＝＝．

【答案】

＝

【考点】

根与系数的关系

一元二次方程的一般形式

【解析】

根据根与系数的关系即可求出答案．

【解答】

由题意可设方程为：＝，

由根与系数的关系可知：＝，＝，

∴   ＝，＝，

∴   该方程为：＝，

【答案】

或

【考点】

解一元二次方程-因式分解法

【解析】

先利用因式分解法求出的值，再分别代入求解可得．

【解答】

∵   ＝，

∴   ＝或＝，

解得＝，＝，

当＝时，＝；

当＝时，＝＝；

综上，＝或；

【答案】

【考点】

扇形面积的计算

【解析】

根据扇形的面积公式代入，再求出即可．

【解答】

由扇形面积公式得：．

【答案】

【考点】

由实际问题抽象出一元二次方程

【解析】

设每次降价的百分率为，根据题意可得，（降价的百分率），据此列方程即可．

【解答】

解：设每次降价的百分率为，

由题意得，．

故答案为：．

【答案】

【考点】

切线的性质

【解析】

先利用切线的性质得到＝，则利用互余和计算出＝，再利用等腰三角形的性质和三角形外角性质可计算出的度数．

【解答】

∵   直线与相切于点，

∴   ，

∴   ＝，

∴   ＝＝，

∵   ＝，

而＝，

∴   ＝．

【答案】

【考点】

轴对称的性质

圆周角定理

圆内接四边形的性质

【解析】

直接利用圆内接四边形的性质结合三角形外角的性质得出答案．

【解答】

∵   圆内接四边形，

∴   ＝＝，

∵   点关于的对称点在边上，

∴   ＝＝，

∴   ＝＝．

【答案】

【考点】

切线的性质

【解析】

连接，，由为圆的切线，利用切线的性质得到与垂直，利用勾股定理列出关系式，由最小时，最短，根据垂线段最短得到垂直于时最短，利用面积法求出此时的值，再利用勾股定理即可求出的最短值．

【解答】

连接、，如图所示，

∵   是的切线，

∴   ，

根据勾股定理知：＝，

∴   当时，线段最短，

∵   在中，＝，＝，

∴   ＝，

∴   ∴   ，即，

∵   ＝，

∴   ，

【答案】

【考点】

正多边形和圆

规律型：点的坐标

坐标与图形变化-对称

规律型：数字的变化类

规律型：图形的变化类

翻折变换（折叠问题）

【解析】

先求出开始时点的横坐标为＝，根据正六边形的特点，每次翻转为一个循环组循环，用除以，根据商和余数的情况确定出点的位置，然后求出翻转前进的距离，连接，过点作于，则，＝＝，＝，求出＝＝＝，即可得出点的坐标．

【解答】

∵   六边形为正六边形，

∴   ＝，

∴   ＝＝，

∴   开始时点的横坐标为：＝，

∵   正六边形沿轴正半轴作无滑动的连续翻转，每次翻转，

∴   每次翻转为一个循环组循环，

∵   ＝，

∴   为第循环组的第次翻转，点在开始时点的位置，如图所示：

∵   ，

∴   ＝，

∴   翻转前进的距离＝＝，

∴   翻转后点的横坐标为：＝，

连接，过点作于，则，＝＝，＝，

∴   ＝＝＝，

∴   点的坐标为，

故答案为：．

三、解答题（共8小题，满分82分）

【答案】

＝，

＝

＝，

∴   ＝或＝，

∴   ＝，＝；

＝，

＝，

∴   ＝，＝；

＝

＝，

∴   ＝或＝，

∴   ，＝；

＝

＝

＝，

∴   ＝或＝，

∴   ，＝．

【考点】

解一元二次方程-因式分解法

解一元二次方程-直接开平方法

【解析】

（1）移项，利用因式分解法求解即可；

（2）利用直接开平方法求解；

（3）利用因式分解法求解；

（4）整理后，利用因式分解法计算．

【解答】

＝，

＝

＝，

∴   ＝或＝，

∴   ＝，＝；

＝，

＝，

∴   ＝，＝；

＝

＝，

∴   ＝或＝，

∴   ，＝；

＝

＝

＝，

∴   ＝或＝，

∴   ，＝．

【答案】

根据题意，得：＝，

整理，得：＝，

则＝，

∴   ＝或＝，

解得＝，＝．

【考点】

解一元二次方程-因式分解法

【解析】

先根据题意列出关于的方程，再整理成一般式，最后利用因式分解法求解可得．

【解答】

根据题意，得：＝，

整理，得：＝，

则＝，

∴   ＝或＝，

解得＝，＝．

【答案】

根据题意得：，

解不等式得：；

由（1）得：

∵   为正整数，

∴   ＝，

把＝代入原方程得：＝，

解得：＝，＝．

【考点】

根的判别式

【解析】

（1）根据方程有两个不相等的实数根知，据此列出关于的不等式，解之可得；

（2）由（1）中的范围且为正整数得出的值，代入方程，解之可得．

【解答】

根据题意得：，

解不等式得：；

由（1）得：

∵   为正整数，

∴   ＝，

把＝代入原方程得：＝，

解得：＝，＝．

【答案】

∵   是圆的直径，

∴   ＝，

∵   ＝＝，

∴   ＝；

∵   ＝，＝，

∴   ＝，

∵   ＝，

∴   ＝，

∴   圆的半径为．

【考点】

圆周角定理

【解析】

（1）根据圆周角定理和三角形的内角和即可得到结论；

（2）根据直角三角形的性质即可得到结论．

【解答】

∵   是圆的直径，

∴   ＝，

∵   ＝＝，

∴   ＝；

∵   ＝，＝，

∴   ＝，

∵   ＝，

∴   ＝，

∴   圆的半径为．

【答案】

根据题中的新定义得：原式＝＝；

已知等式利用题中的新定义化简得：＝，即＝，

开方得：＝，即＝．

【考点】

实数的运算

【解析】

（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值；

（2）已知等式利用题中的新定义计算即可求出值．

【解答】

根据题中的新定义得：原式＝＝；

已知等式利用题中的新定义化简得：＝，即＝，

开方得：＝，即＝．

【答案】

,

设圆锥的底面圆的半径长为，

则，

解得，．

【考点】

垂径定理

坐标与图形性质

勾股定理的逆定理

勾股定理

圆锥的计算

【解析】

（1）根据线段垂直平分线的性质得出点位置，结合图形得到点的坐标；

（2）利用点的坐标结合勾股定理得出的半径长，根据勾股定理的逆定理的度数；

（3）利用圆锥的底面圆的周长等于侧面展开图的扇形弧长即可得出答案．

【解答】

分别作、的垂直平分线，两直线交于点，

则点即为该圆弧所在圆的圆心，

由图形可知，点的坐标为，

故答案为：；

圆的半径长，

，

＝＝，

＝，

则＝，

∴   ＝，

故答案为：；；

设圆锥的底面圆的半径长为，

则，

解得，．

【答案】

如图，连接．

∵   ＝，

∴   ＝，

又∵   ＝，

∴   ＝，

∴   ，

又∵   ，

∴   ＝，

∴   ＝，

∴   ，

又∵   为半径，

∴   直线与相切；

如图，延长交于点，连结，

∵   ，＝，

∴   ＝，即，

又∵   ＝，

∴   ＝，又由是的中点，

∴   是的中位线，

∴   ．

∵   为直径，

∴   ＝，

∴   ＝，＝，

∴   ，

∴   ＝．

∴   ＝＝

由四边形是矩形，

∴   ＝＝，

∴   ＝，

∴   ＝＝．

【考点】

直线与圆的位置关系

垂径定理

角平分线的性质

三角形的外接圆与外心

勾股定理

【解析】

（1）直线与相切．连接．根据圆的性质和等边对等角可得＝，等量代换得到＝，根据平行线的判定和性质得到＝＝，再根据垂直的定义和性质可得，根据切线的判定即可求解；

（2）如图，延长交于点，连结，构建直角的中位线，运用三角形中位线定理和勾股定理分别求得＝、＝，结合图形找到相关线段间的和差关系求得线段的长度即可．

【解答】

如图，连接．

∵   ＝，

∴   ＝，

又∵   ＝，

∴   ＝，

∴   ，

又∵   ，

∴   ＝，

∴   ＝，

∴   ，

又∵   为半径，

∴   直线与相切；

如图，延长交于点，连结，

∵   ，＝，

∴   ＝，即，

又∵   ＝，

∴   ＝，又由是的中点，

∴   是的中位线，

∴   ．

∵   为直径，

∴   ＝，

∴   ＝，＝，

∴   ，

∴   ＝．

∴   ＝＝

由四边形是矩形，

∴   ＝＝，

∴   ＝，

∴   ＝＝．

【答案】

设降低元销售，由题意得：

＝

解得：＝

＝（元）

答：销售价格应定为元．

设单价降低元销售，由题意得：

＝

化简得：＝

∴   ＝＝

∴   ＝

∴   第二天每个饰品的销售价格为元．

【考点】

一元二次方程的应用

【解析】

（1）设降低元销售，由总数减去第一天销售的，再减去第二天销售的，等于，列一元一次方程，求解即可；

（2）设单价降低元销售，根据第一天的利润加第二天的利润，再加上清仓利润等于元，得方程，求解即可．

【解答】

设降低元销售，由题意得：

＝

解得：＝

＝（元）

答：销售价格应定为元．

设单价降低元销售，由题意得：

＝

化简得：＝

∴   ＝＝

∴   ＝

∴   第二天每个饰品的销售价格为元．