成都市龙泉驿区2016-2017学年八年级上期末数学试卷含解析

一、选择题

1．9的算术平方根为（　　）

A．9    B．±9    C．3    D．±3

2．在实数﹣，﹣1，，，中，无理数有（　　）

A．2个    B．3个    C．4个    D．5个

3．在平面直角坐标系xOy中，点P（﹣3，5）关于y轴的对称点在第（　　）象限．

A．一    B．二    C．三    D．四

4．如图为一次函数y=kx+b（k≠0）的图象，则下列正确的是（　　）

A．k＞0，b＞0    B．k＞0，b＜0    C．k＜0，b＞0    D．k＜0，b＜0

5．已知一组数据：20、30、40、50、50、50、60、70、80，其中平均数、中位数、众数的大小关系是（　　）

A．平均数＞中位数＞众数    B．平均数＜中位数＜众数

C．中位数＜众数＜平均数    D．平均数=中位数=众数

6．已知函数y=（m+1）x是正比例函数，且图象在第二、四象限内，则m的值是（　　）

A．2    B．﹣2    C．±2    D．﹣

7．如图，矩形ABCD中，AB=1，∠AOB=60°，则BC=（　　）

A．    B．    C．2    D．

8．如图，下列选项中能使平行四边形ABCD是菱形的条件有（　　）

①AC⊥BD ②BA⊥AD ③AB=BC ④AC=BD．

A．①③    B．②③    C．③④    D．①②③

9．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方将明文加密文件传输给接收方，接收方收到密文后解密还原为明文，已知某种加密规则为，明文a、b对应的密文为a+2b，2a﹣b，例如：明文1，2对应的密文是5，0，当接收方收到的密文是1，7时，解密得到的明文是（　　）

A．3，﹣1    B．1，﹣3    C．﹣3，1    D．﹣1，3

10．一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象如图，则下列结论：①k＜0；②a＞0；③当x＜4时，y1＜y2；④b＜0．其中正确结论的个数是（　　）

A．4个    B．3个    C．2个    D．1个

二、填空题

11． 的平方根是　　．

12．已知直线y=kx+b经过两点（3，6）和（﹣1，﹣2），则直线的解析式为　　．

13．如图，菱形ABCD的两条对角线相交于O，若AC=8，BD=6，则菱形ABCD的周长是　　．

14．一组数据的方差为4，则标准差是　　．

三、计算题（15题每小题12分，16题6分，共18分）

15．计算：

（1）2﹣3﹣

（2）（3+）2﹣（2﹣）（2+）

16．解下列方程组：．

四、解答题（共36分）

17．《一千零一夜》中有这样一段文字：有一群鸽子，其中一部分在树上欢歌，另一部分在地上觅食，树上的一只鸽子对地上的觅食的鸽子说：“若从你们中飞上来一只，则树下的鸽子就是整个鸽群的；若从树上飞下去一只，则树上、树下的鸽子有一样多了．”你知道树上、树下各有多少只鸽子吗？

18．如图，在平面直角坐标系中有一个四边形OABC，其中CB∥x轴，OC=3，BC=2，∠OAB=45°．

（1）求点A，B的坐标；

（2）求出直线AB的解析式．

19．如图，直线y=2x+3与x轴相交于点A，与y轴相交于点B．

（1）求A、B两点的坐标；

（2）过B点作直线BP与x轴相交于P，且使AP=2OA，求△BOP的面积．

20．（10分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE=OC，连接CE，OE．

（1）求证：OE=CD；

（2）若菱形ABCD的边长为4，∠ABC=60°，求AE的长．

五、填空题

21．已知关于x，y的二元一次方程组的解互为相反数，则k的值是　　．

22．已知，，则代数式x2﹣3xy+y2的值为　　．

23．一组数据2，4，a，7，7的平均数=5，则方差S2=　　．

24．如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B距离C点5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，徐亚爬行的最短距离是　　cm．

25．设四边形ABCD是边长为1的正方形，以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以第二个正方形的对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去…根据以上规律，第n个正方形的边长an=　　．

六、解答题（共30分）

26．某食品加工厂需要一批食品包装盒，供应这样包装盒有两种方案可供选择：

方案一：从包装盒加工厂直接购买，购买所需的费y1与包装盒数x满足如图1所示的函数关系．

方案二：租赁机器自己加工，所需费用y2（包括租赁机器的费用和生产包装盒的费用）与包装盒数x满足如图2所示的函数关系．根据图象回答下列问题：

（1）方案一中每个包装盒的价格是多少元？

（2）方案二中租赁机器的费用是多少元？生产一个包装盒的费用是多少元？

（3）请分别求出y1、y2与x的函数关系式．

（4）如果你是决策者，你认为应该选择哪种方案更省钱？并说明理由．

27．（如图，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止．点P、Q的速度的速度都是1cm/s，连结PQ，AQ，CP，设点P、Q运动的时间为t（s）．

（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形？

（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形？

（3）分别求出（2）中菱形AQCP的周长和面积．

28．直线y=﹣x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，菱形ABCD如图放置在平面直角坐标系中，其中点D在x轴负半轴上，直线y=x+m经过点C，交x轴于点E．

①请直接写出点C、点D的坐标，并求出m的值；

②点P（0，t）是线段OB上的一个动点（点P不与0、B重合），

经过点P且平行于x轴的直线交AB于M、交CE于N．设线段MN的长度为d，求d与t之间的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）；

③当t=2时，线段MN，BC，AE之间有什么关系？（写出过程）

2016-2017学年四川省成都市龙泉驿区八年级（上）期末数学试卷

参与试题解析

一、选择题

1．9的算术平方根为（　　）

A．9    B．±9    C．3    D．±3

【考点】算术平方根．

【专题】推理填空题．

【分析】根据算术平方根的含义和求法，求出9的算术平方根为多少即可．

【解答】解：∵ =3，

∴9的算术平方根为3．

故选：C．

【点评】此题主要考查了算术平方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．

2．在实数﹣，﹣1，，，中，无理数有（　　）

A．2个    B．3个    C．4个    D．5个

【考点】无理数．

【分析】根据无理数的定义逐个判断即可．

【解答】解：无理数有：﹣，﹣1，，，共4个，

故选C．

【点评】本题考查了无理数的定义：无限不循环小数叫无理数，常见形式有：①开方开不尽的数，如等；②无限不循环小数，如0.101001000…等；③字母，如π等．

3．在平面直角坐标系xOy中，点P（﹣3，5）关于y轴的对称点在第（　　）象限．

A．一    B．二    C．三    D．四

【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．

【分析】根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”求出点P的对称点，再根据各象限内点的坐标特征解答．

【解答】解：点P（﹣3，5）关于y轴的对称点是（3，5），

点（3，5）在第一象限．

故选A．

【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：

（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；

（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；

（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．

4．如图为一次函数y=kx+b（k≠0）的图象，则下列正确的是（　　）

A．k＞0，b＞0    B．k＞0，b＜0    C．k＜0，b＞0    D．k＜0，b＜0

【考点】一次函数图象与系数的关系．

【专题】数形结合．

【分析】根据一次函数经过的象限可得k和b的取值．

【解答】解：∵一次函数经过二、四象限，

∴k＜0，

∵一次函数与y轴的交于正半轴，

∴b＞0．

故选C．

【点评】考查一次函数的图象与系数的关系的知识；用到的知识点为：一次函数经过一三象限或二四象限，k＞0或＜0；与y轴交于正半轴，b＞0，交于负半轴，b＜0．

5．已知一组数据：20、30、40、50、50、50、60、70、80，其中平均数、中位数、众数的大小关系是（　　）

A．平均数＞中位数＞众数    B．平均数＜中位数＜众数

C．中位数＜众数＜平均数    D．平均数=中位数=众数

【考点】众数；算术平均数；中位数．

【分析】众数是数据中出现次数最多的数；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数；平均数是把所有数据求和后除以数据个数所得到的数．根据众数、中位数、平均数的概念分别计算．

【解答】解：从小到大数据排列为20、30、40、50、50、50、60、70、80，

50出现了3次，为出现次数最多的数，故众数为50；共9个数据，第5个数为50，故中位数是50；

平均数=（20+30+40+50+50+50+60+70+80）÷9=50．

∴平均数=中位数=众数．

故选D．

【点评】本题为统计题，考查平均数、众数与中位数的求法．

6．已知函数y=（m+1）x是正比例函数，且图象在第二、四象限内，则m的值是（　　）

A．2    B．﹣2    C．±2    D．﹣

【考点】正比例函数的定义．

【分析】根据正比例函数的定义，正比例函数的性质，可得答案．

【解答】解：由题意，得

m2﹣3=2，且m+1＜0，

解得m=﹣2，

故选：B．

【点评】本题考查了正比例函数，利用正比例函数的定义得出方程是解题关键，注意比例系数是负数．

7．如图，矩形ABCD中，AB=1，∠AOB=60°，则BC=（　　）

A．    B．    C．2    D．

【考点】矩形的性质．

【分析】由矩形的性质得出OA=OB，再由已知条件得出△AOB是等边三角形，得出OA=AB=1，AC=2，由勾股定理求出BC即可．

【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ABC=90°，OA=AC，OB=BD，AC=BD，

∴OA=OB，

∵∠AOB=60°，

∴△AOB是等边三角形，

∴OA=AB=1，

∴AC=2OA=2，

∴BC==．

故选：B．

【点评】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．

8．如图，下列选项中能使平行四边形ABCD是菱形的条件有（　　）

①AC⊥BD ②BA⊥AD ③AB=BC ④AC=BD．

A．①③    B．②③    C．③④    D．①②③

【考点】菱形的判定；平行四边形的性质．

【分析】四边形ABCD是平行四边形，要是其成为菱形，加上一组邻边相等或对角线垂直均可．

【解答】解：因为一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直平分的四边形是菱形．则能使▱ABCD是菱形的有①或③．

故选：A．

【点评】此题考查了菱形的判定，即对角线互相垂直的平行四边形是菱形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，需熟练掌握菱形的两个基本判定．

9．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方将明文加密文件传输给接收方，接收方收到密文后解密还原为明文，已知某种加密规则为，明文a、b对应的密文为a+2b，2a﹣b，例如：明文1，2对应的密文是5，0，当接收方收到的密文是1，7时，解密得到的明文是（　　）

A．3，﹣1    B．1，﹣3    C．﹣3，1    D．﹣1，3

【考点】二元一次方程组的应用．

【分析】根据题意可得方程组，再解方程组即可．

【解答】解：由题意得：，

解得：，

故选：A．

【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，列出方程组．

10．一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象如图，则下列结论：①k＜0；②a＞0；③当x＜4时，y1＜y2；④b＜0．其中正确结论的个数是（　　）

A．4个    B．3个    C．2个    D．1个

【考点】一次函数与一元一次不等式．

【分析】根据一次函数的性质对①②④进行判断；当x＜4时，根据两函数图象的位置对③进行判断．

【解答】解：根据图象y1=kx+b经过第一、二、四象限，

∴k＜0，b＞0，

故①正确，④错误；

∵y2=x+a与y轴负半轴相交，

∴a＜0，

故②错误；

当x＜4时图象y1在y2的上方，所以y1＞y2，故③错误．

所以正确的有①共1个．

故选D．

【点评】此题主要考查了一次函数，以及一次函数与不等式，根据函数图象的走势和与y轴的交点来判断各个函数k，b的值．

二、填空题

11．的平方根是　±2　．

【考点】平方根；算术平方根．

【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2=a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题．

【解答】解：的平方根是±2．

故答案为：±2

【点评】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．

12．已知直线y=kx+b经过两点（3，6）和（﹣1，﹣2），则直线的解析式为　y=2x　．

【考点】待定系数法求一次函数解析式．

【分析】根据直线y=kx+b经过两点（3，6）和（﹣1，﹣2），利用待定系数法列式求出k、b的值，从而得解．

【解答】解：∵直线y=kx+b经过（3，6）和（﹣1，﹣2）两点，

∴，

解得，

∴这条直线的解析式为y=2x．

故答案为：y=2x．

【点评】本题考查了待定系数法求直线的解析式，是求函数解析式以及直线解析式常用的方法，需要熟练掌握．

13．如图，菱形ABCD的两条对角线相交于O，若AC=8，BD=6，则菱形ABCD的周长是　20　．

【考点】菱形的性质．

【分析】由菱形ABCD的两条对角线相交于O，若AC=6，BD=8，可求得OA与OB的长，然后由勾股定理求得边AB的长，继而求得答案．

【解答】解：∵菱形ABCD中，AC=6，BD=8，

∴OA=AC=3，OB=BD=4，AC⊥BD，

∴AB==5，

∴菱形ABCD的周长是：20．

故答案为：20．

【点评】此题考查了菱形的性质以及勾股定理．注意掌握菱形的对角线互相垂直且平分定理的应用是解此题的关键．

14．一组数据的方差为4，则标准差是　2　．

【考点】标准差；方差．

【分析】根据标准差是方差的算术平方根进行计算即可得解．

【解答】解：∵方差为4，4的算术平方根是2，

∴标准差是2．

故答案为：2．

【点评】本题考查了标准差的定义，比较简单，熟练掌握标准差是方差的算术平方根是解题的关键．

三、计算题（15题每小题12分，16题6分，共18分）

15．（12分）（2016秋•龙泉驿区期末）计算：

（1）2﹣3﹣

（2）（3+）2﹣（2﹣）（2+）

【考点】二次根式的混合运算．

【分析】（1）先化成最简二次根式，再合并即可；

（2）先算乘法，再合并即可．

【解答】解：（1）原式=6﹣3﹣

=2.5；

（2）原式=9+6+5﹣4+5

=15+6．

【点评】本题考查了二次根式的混合运算、平方差公式、完全平方公式等知识点，能灵活运用知识点进行计算是解此题的关键．

16．解下列方程组：．

【考点】解二元一次方程组．

【专题】计算题．

【分析】把第一个方程乘以2，然后利用加减消元法解答即可．

【解答】解：，

①×2得，6x﹣y=2③，

②+③得，8x=4，

解得x=，

把x=代入②得，2×+y=2，

解得y=1．

所以方程组的解是．

【点评】本题考查的是二元一次方程组的解法，方程组中未知数的系数较小时可用代入法，当未知数的系数相等或互为相反数时用加减消元法较简单．

四、解答题（共36分）

17．《一千零一夜》中有这样一段文字：有一群鸽子，其中一部分在树上欢歌，另一部分在地上觅食，树上的一只鸽子对地上的觅食的鸽子说：“若从你们中飞上来一只，则树下的鸽子就是整个鸽群的；若从树上飞下去一只，则树上、树下的鸽子有一样多了．”你知道树上、树下各有多少只鸽子吗？

【考点】二元一次方程组的应用．

【专题】阅读型．

【分析】要求树上、树下各有多少只鸽子吗？就要设树上有x只鸽子，树下有y只鸽子，然后根据若从你们中飞上来一只，则树下的鸽子就是整个鸽群的；列出一个方程，再根据若从树上飞下去一只，则树上、树下的鸽子有一样多，列一个方程组成方程组，解方程组即可．

【解答】解：设树上有x只鸽子，树下有y只鸽子．

由题意可：，

整理可得：，

解之可得：．

答：树上原有7只鸽子，树下有5只鸽子．

【点评】解应用题的关键是弄清题意，合适的等量关系，列出方程组．所以做这类题读懂题意是关键，要注意“若从你们中飞上来一只，则树下的鸽子就是整个鸽群的；若从树上飞下去一只，则树上、树下的鸽子有一样多”这个关系．

18．如图，在平面直角坐标系中有一个四边形OABC，其中CB∥x轴，OC=3，BC=2，∠OAB=45°．

（1）求点A，B的坐标；

（2）求出直线AB的解析式．

【考点】待定系数法求一次函数解析式．

【分析】（1）过B作BD⊥OA于D，则四边形ODBC是矩形，OD=BC=2，BD=OC=3，再根据∠OAB=45°，得出AD=BD=3，那么OA=5，进而求出A，B的坐标．

（2）利用待定系数法将A，B的坐标代入即可求解．

【解答】解：（1）如图，过B作BD⊥OA于D，则四边形ODBC是矩形，

∴OD=BC=2，BD=OC=3，

∵∠OAB=45°，

∴AD=BD=3，

∴OA=5，

∴A（5，0），B（2，3）；

（2）设直线AB的解析式为y=kx+b，

则，解得，

所以直线AB的解析式为y=﹣x+5．

【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形的性质，矩形的性质，做题时注意坐标的确定，掌握待定系数法是解题的关键．

19．（10分）（2016秋•龙泉驿区期末）如图，直线y=2x+3与x轴相交于点A，与y轴相交于点B．

（1）求A、B两点的坐标；

（2）过B点作直线BP与x轴相交于P，且使AP=2OA，求△BOP的面积．

【考点】一次函数图象上点的坐标特征．

【专题】计算题．

【分析】（1）根据坐标轴上点的坐标特征求A点和B点坐标；

（2）分类讨论：当点P在x轴的正半轴上，如图1，由AP=2OA得到OA=OP=，则P点坐标为（，0），然后根据三角形面积公式计算；当点P在x轴的负半轴上，如图2，由AP=2OA得到OP=3OA=，则P点坐标为（﹣，0），然后根据三角形面积公式计算．

【解答】解：（1）当y=0时，2x+3=0，解得x=﹣，则A点坐标为（﹣，0）；

当x=0时，y=2x+3=3，则B点坐标为（0，3）；

（2）当点P在x轴的正半轴上，如图1，

∵AP=2OA，

∴OA=OP，

∴P点坐标为（，0），

∴△BOP的面积=••3=；

当点P在x轴的负半轴上，如图2，

∵AP=2OA，

∴OP=3OA=3•=，

∴P点坐标为（﹣，0），

∴△BOP的面积=••3=，

综合所述，△BOP的面积为或．

【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数y=kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（﹣bk，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b．也考查了三角形面积公式．

20．（10分）（2016秋•龙泉驿区期末）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE=OC，连接CE，OE．

（1）求证：OE=CD；

（2）若菱形ABCD的边长为4，∠ABC=60°，求AE的长．

【考点】菱形的性质．

【分析】（1）先求出四边形OCED是平行四边形，再根据菱形的对角线互相垂直求出∠COD=90°，证明OCED是矩形，可得OE=CD即可；

（2）根据菱形的性质得出AC=AB，再根据勾股定理得出AE的长度即可．

【解答】（1）证明：在菱形ABCD中，OC=AC．

∴DE=OC．

∵DE∥AC，

∴四边形OCED是平行四边形．

∵AC⊥BD，

∴平行四边形OCED是矩形．  

∴OE=CD．

（2）解：在菱形ABCD中，∠ABC=60°，

∴AC=AB=2

∴在矩形OCED中，

CE=OD==．

在Rt△ACE中，

AE==．

【点评】本题考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，是基础题，熟记矩形的判定方法与菱形的性质是解题的关键．

五、填空题

21．已知关于x，y的二元一次方程组的解互为相反数，则k的值是　﹣1　．

【考点】二元一次方程组的解．

【分析】将方程组用k表示出x，y，根据方程组的解互为相反数，得到关于k的方程，即可求出k的值．

【解答】解：解方程组得：，

因为关于x，y的二元一次方程组的解互为相反数，

可得：2k+3﹣2﹣k=0，

解得：k=﹣1．

故答案为：﹣1．

【点评】此题考查方程组的解，关键是用k表示出x，y的值．

22．已知，，则代数式x2﹣3xy+y2的值为　95　．

【考点】二次根式的化简求值．

【分析】把x，y值代入，先相加减再把分母为无理数的分母有理化．

【解答】解：代入x，y的值得

x2﹣3xy+y2=（）2﹣3×+（）2，

=+﹣3，

=50+48﹣3，

=95．

故填95．

【点评】本题考查二次根式的化简，先相加减再分母有理化从而求得．

23．一组数据2，4，a，7，7的平均数=5，则方差S2=　3.6　．

【考点】方差；算术平均数．

【分析】根据平均数的计算公式： =，先求出a的值，再代入方差公式S2= [（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]进行计算即可．

【解答】解：∵数据2，4，a，7，7的平均数=5，

∴2+4+a+7+7=25，

解得a=5，

∴方差s2= [（2﹣5）2+（4﹣5）2+（5﹣5）2+（7﹣5）2+（7﹣5）2]=3.6；

故答案为：3.6．

【点评】本题主要考查的是平均数和方差的求法，一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2= [（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]．

24．如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B距离C点5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，徐亚爬行的最短距离是　25　cm．

【考点】平面展开-最短路径问题．

【分析】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答．

【解答】解：只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第1个图：

∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，

∴BD=CD+BC=10+5=15，AD=20，

在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：

∴AB=；

只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第2个图：

∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，

∴BD=CD+BC=20+5=25，AD=10，

在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：

∴AB=；

只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第3个图：

∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，

∴AC=CD+AD=20+10=30，

在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：

∴AB=；

∵25＜5，

∴蚂蚁爬行的最短距离是25．

故答案为：25

【点评】本题主要考查两点之间线段最短，关键是将长方体侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答．

25．设四边形ABCD是边长为1的正方形，以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以第二个正方形的对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去…根据以上规律，第n个正方形的边长an=　　．

【考点】正方形的性质．

【专题】规律型．

【分析】首先求出AC、AE、HE的长度，然后猜测命题中隐含的数学规律，即可解决问题．

【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，

∴AB=BC=1，∠B=90°，

∴AC2=12+12，AC=；

同理可求：AE=（）2，HE=（）3…，

∴第n个正方形的边长an=．

故答案为．

【点评】该题主要考查了正方形的性质、勾股定理及其应用问题；应牢固掌握正方形有关定理并能灵活运用．

六、解答题（共30分）

26．某食品加工厂需要一批食品包装盒，供应这样包装盒有两种方案可供选择：

方案一：从包装盒加工厂直接购买，购买所需的费y1与包装盒数x满足如图1所示的函数关系．

方案二：租赁机器自己加工，所需费用y2（包括租赁机器的费用和生产包装盒的费用）与包装盒数x满足如图2所示的函数关系．根据图象回答下列问题：

（1）方案一中每个包装盒的价格是多少元？

（2）方案二中租赁机器的费用是多少元？生产一个包装盒的费用是多少元？

（3）请分别求出y1、y2与x的函数关系式．

（4）如果你是决策者，你认为应该选择哪种方案更省钱？并说明理由．

【考点】一次函数的应用．

【分析】（1）根据单价=总价÷数量即可求出方案一中每个包装盒的价格；

（2）由x=0时y=2000即可得出租赁机器的费用，再根据单价=总价÷数量即可求出方案二中生产一个包装盒的费用；

（3）根据总价=单价×数量（总价=单价×数量+租赁机器费用）即可得出y1、y2与x的函数关系式；

（4）分别令y1＜y2和y1＞y2，求出不等式的解集结合x为正整数即可得出结论．

【解答】解：（1）500÷100=5（元/盒）．

答：方案一中每个包装盒的价格是5元．

（2）当x=0时，y=2000，

∵（3000﹣2000）÷4000=（元/盒），

∴方案二中租赁机器的费用是2000元，生产一个包装盒的费用是元．

（3）根据题意得：

y1=5x，y2=x+2000．

（4）令y1＜y2，即5x＜x+2000，

解得：x＜，

∵x为正整数，

∴0＜x≤421；

令y1＞y2，即5x＞x+2000，

解得：x＞，

∵x为正整数，

∴x≥422．

综上所述：当0＜x≤421时选择方案一省钱；当x≥422时选择方案二省钱．

【点评】本题考查了一次函数的应用，根据数量关系找出函数关系式是解题的关键．

27．如图，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止．点P、Q的速度的速度都是1cm/s，连结PQ，AQ，CP，设点P、Q运动的时间为t（s）．

（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形？

（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形？

（3）分别求出（2）中菱形AQCP的周长和面积．

【考点】菱形的判定与性质；矩形的判定与性质．

【专题】动点型．

【分析】（1）当四边形ABQP是矩形时，BQ=AP，据此求得t的值；

（2）当四边形AQCP是菱形时，AQ=AC，列方程求得运动的时间t；

（3）菱形的四条边相等，则菱形的周长=4t，面积=矩形的面积﹣2个直角三角形的面积．

【解答】解：（1）当四边形ABQP是矩形时，BQ=AP，即：t=8﹣t，

解得t=4．

答：当t=4时，四边形ABQP是矩形；

（2）设t秒后，四边形AQCP是菱形

当AQ=CQ，即=8﹣t时，四边形AQCP为菱形．

解得：t=3．

答：当t=3时，四边形AQCP是菱形；

（3）当t=3时，CQ=5，则周长为：4CQ=20cm，

面积为：4×8﹣2××3×4=20（cm2）．

【点评】本题考查了菱形、矩形的判定与性质．解决此题注意结合方程的思想解题．

28．直线y=﹣x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，菱形ABCD如图放置在平面直角坐标系中，其中点D在x轴负半轴上，直线y=x+m经过点C，交x轴于点E．

①请直接写出点C、点D的坐标，并求出m的值；

②点P（0，t）是线段OB上的一个动点（点P不与0、B重合），

经过点P且平行于x轴的直线交AB于M、交CE于N．设线段MN的长度为d，求d与t之间的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）；

③当t=2时，线段MN，BC，AE之间有什么关系？（写出过程）

【考点】一次函数综合题．

【分析】（1）由直线的解析式可求出A和B点的坐标，再根据菱形的性质即可求出点C、点D的坐标，把点C的坐标代入直线y=x+m即可求出m的值；

（2）设点M的坐标为（xM，t），点N的坐标为（xN，t），首先求出xM=﹣t+3，再求出xN=t﹣9，进而得到d=xM﹣xN=﹣t+3﹣（t﹣9）=﹣t+12；

（3）先求出点P的坐标，进而得出点P是OB中点，即可得出MN是梯形ABCE的中位线即可得出结论．

【解答】解：（1）∵直线y=﹣x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，

∴点A的坐标为（3，0）点B的坐标为（0，4），

∵四边形ABCD是菱形，

∵直线y=x+m经过点C，

∴m=9，

（2）∵MN 经过点P（0，t）且平行于x轴，

∴可设点M的坐标为（xM，t），点N的坐标为（xN，t），

∵点M在直线AB上，

直线AB的解析式为y=﹣x+4，

∴t=﹣xM+4，得xM=﹣t+3，

同理点N在直线CE上，直线CE的解析式为y=x+9，

∴t=xN+9，得xN=t﹣9，

∵MN∥x轴且线段MN的长度为d，

∴d=xM﹣xN=﹣t+3﹣（t﹣9）=﹣t+12（0≤t≤4）

（3）MN=（BC+AE）．

理由：当t=2时，P（0，2），

∴OP=2，

∵OB=4，

∴点P是OB中点，

∵MN∥x轴，

∴MN是梯形ABCE的中位线，

∴MN=（BC+AE）．

【点评】此题是一次函数综合题，主要考查了菱形的性质，梯形的中位线，待定系数法，解本题的关键得出d与t之间的函数关系式，是一道比较简单的中考常考题．