2020年山东省东营市中考数学试题(解析版)

2020年山东省东营市中考数学试卷

一、选择题：本大题共10题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分．

1．（3分）﹣6的倒数是（　　）

A．﹣6 B．6 C． D．

2．（3分）下列运算正确的是（　　）

A．（x3）2＝x5 B．（x﹣y）2＝x2+y2    

C．﹣x2y3•2xy2＝﹣2x3y5 D．﹣（3x+y）＝﹣3x+y

3．（3分）利用科学计算器求值时，小明的按键顺序为，则计算器面板显示的结果为（　　）

A．﹣2 B．2 C．±2 D．4

4．（3分）如图，直线AB、CD相交于点O，射线OM平分∠BOD，若∠AOC＝42°，则∠AOM等于（　　）

A．159° B．161° C．169° D．138°

5．（3分）如图．随机闭合开关K1、K2、K3中的两个，则能让两盏灯泡L1、L2同时发光的概率为（　　）

A． B． C． D．

6．（3分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，其对称轴与x轴交于点C，其中A、C两点的横坐标分别为﹣1和1，下列说法错误的是（　　）

A．abc＜0    

B．4a+c＝0    

C．16a+4b+c＜0    

D．当x＞2时，y随x的增大而减小

7．（3分）用一个半径为3，面积为3π的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥（不计损耗），则圆锥的底面半径为（　　）

A．π B．2π C．2 D．1

8．（3分）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是：有人要去某关口，路程378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到达目的地．则此人第三天走的路程为（　　）

A．96里 B．48里 C．24里 D．12里

9．（3分）如图1，点P从△ABC的顶点A出发，沿A→B→C匀速运动到点C，图2是点P运动时线段CP的长度y随时间x变化的关系图象，其中点Q为曲线部分的最低点，则△ABC的边AB的长度为（　　）

A．12 B．8 C．10 D．13

10．（3分）如图，在正方形ABCD中，点P是AB上一动点（不与A、B重合），对角线AC、BD相交于点O，过点P分别作AC、BD的垂线，分别交AC、BD于点E、F，交AD、BC于点M、N．下列结论：

①△APE≌△AME；

②PM+PN＝AC；

③PE2+PF2＝PO2；

④△POF∽△BNF；

⑤点O在M、N两点的连线上．

其中正确的是（　　）

A．①②③④ B．①②③⑤ C．①②③④⑤ D．③④⑤

二、填空题：本大题共8小题，其中11-14题每小题3分，15-18题每小题3分，共28分．只要求填写最后结果．

11．（3分）2020年6月23日9时43分，“北斗三号”最后一颗全球组网卫星发射成功，它的授时精度小于0.00000002秒，则0.00000002用科学记数法表示为　   　．

12．（3分）因式分解：12a2﹣3b2＝　   　．

13．（3分）东营市某学校女子游泳队队员的年龄分布如下表：

年龄（岁）	13	14	15
人数	4	7	4

则该校女子游泳队队员的平均年龄是　   　岁．

14．（3分）已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过A（1，﹣1）、B（﹣1，3）两点，则k　   　0（填“＞”或“＜”）．

15．（4分）如果关于x的一元二次方程x2﹣6x+m＝0有实数根，那么m的取值范围是　   　．

16．（4分）如图，P为平行四边形ABCD边BC上一点，E、F分别为PA、PD上的点，且PA＝3PE，PD＝3PF，△PEF、△PDC、△PAB的面积分别记为S、S1、S2．若S＝2，则S1+S2＝　   　．

17．（4分）如图，在Rt△AOB中，OB＝2，∠A＝30°，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（其中点Q为切点），则线段PQ长度的最小值为　   　．

18．（4分）如图，在平面直角坐标系中，已知直线y＝x+1和双曲线y＝﹣，在直线上取一点，记为A1，过A1作x轴的垂线交双曲线于点B1，过B1作y轴的垂线交直线于点A2，过A2作x轴的垂线交双曲线于点B2，过B2作y轴的垂线交直线于点A3，…，依次进行下去，记点An的横坐标为an，若a1＝2，则a2020＝　   　．

三、解答题：本大题共7小题，共62分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

19．（8分）（1）计算：+（2cos60°）2020﹣（）﹣2﹣|3+2|；

（2）先化简，再求值：（x﹣）÷，其中x＝+1，y＝．

20．（8分）如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点M，弦MN∥BC交AB于点E，且ME＝3，AE＝4，AM＝5．

（1）求证：BC是⊙O的切线；

（2）求⊙O的直径AB的长度．

21．（8分）如图，C处是一钻井平台，位于东营港口A的北偏东60°方向上，与港口A相距60海里，一艘摩托艇从A出发，自西向东航行至B时，改变航向以每小时50海里的速度沿BC方向行进，此时C位于B的北偏西45°方向，则从B到达C需要多少小时？

22．（8分）东营市某中学对2020年4月份线上教学学生的作业情况进行了一次抽样调查，根据收集的数据绘制了如图不完整的统计图表．

作业情况	频数	频率
非常好		0.22
较好	68
一般
不好	40

请根据图表中提供的信息，解答下列问题：

（1）本次抽样共调查了多少名学生？

（2）将统计表中所缺的数据填在表中横线上；

（3）若该中学有1800名学生，估计该校学生作业情况“非常好”和“较好”的学生一共约多少名？

（4）某学习小组4名学生的作业本中，有2本“非常好”（记为A1、A2），1本“较好”（记为B），1本“一般”（记为C），这些作业本封面无姓名，而且形状、大小、颜色等外表特征完全相同，从中抽取一本，不放回，从余下的3本中再抽取一本，请用“列表法”或“画树状图”的方法求出两次抽到的作业本都是“非常好”的概率．

23．（8分）2020年初，新冠肺炎疫情爆发，市场上防疫口罩热销，某医药公司每月生产甲、乙两种型号的防疫口罩共20万只，且所有口罩当月全部售出，其中成本、售价如下表：

型号

价格（元/只）

项目	甲	乙
成本	12	4
售价	18	6

（1）若该公司三月份的销售收入为300万元，求生产甲、乙两种型号的防疫口罩分别是多少万只？

（2）如果公司四月份投入成本不超过216万元，应怎样安排甲、乙两种型号防疫口罩的产量，可使该月公司所获利润最大？并求出最大利润．

24．（10分）如图，抛物线y＝ax2﹣3ax﹣4a的图象经过点C（0，2），交x轴于点A、B（点A在点B左侧），连接BC，直线y＝kx+1（k＞0）与y轴交于点D，与BC上方的抛物线交于点E，与BC交于点F．

（1）求抛物线的解析式及点A、B的坐标；

（2）是否存在最大值？若存在，请求出其最大值及此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．

25．（12分）如图1，在等腰三角形ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，点D、E分别在边AB、AC上，AD＝AE，连接BE，点M、N、P分别为DE、BE、BC的中点．

（1）观察猜想．

图1中，线段NM、NP的数量关系是　   　，∠MNP的大小为　   　．

（2）探究证明

把△ADE绕点A顺时针方向旋转到如图2所示的位置，连接MP、BD、CE，判断△MNP的形状，并说明理由；

（3）拓展延伸

把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝1，AB＝3，请求出△MNP面积的最大值．

2020年山东省东营市中考数学试卷

参与试题解析

一、选择题：本大题共10题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分．

1．（3分）﹣6的倒数是（　　）

A．﹣6 B．6 C． D．

【分析】根据倒数的定义，a的倒数是（a≠0），据此即可求解．

【解答】解：﹣6的倒数是：﹣．

故选：C．

2．（3分）下列运算正确的是（　　）

A．（x3）2＝x5 B．（x﹣y）2＝x2+y2    

C．﹣x2y3•2xy2＝﹣2x3y5 D．﹣（3x+y）＝﹣3x+y

【分析】各项计算得到结果，即可作出判断．

【解答】解：A、原式＝x6，不符合题意；

B、原式＝x2﹣2xy+y2，不符合题意；

C、原式＝﹣2x3y5，符合题意；

D、原式＝﹣3x﹣y，不符合题意．

故选：C．

3．（3分）利用科学计算器求值时，小明的按键顺序为，则计算器面板显示的结果为（　　）

A．﹣2 B．2 C．±2 D．4

【分析】根据科学计算器的使用及算术平方根的定义求解可得．

【解答】解：表示“＝”即4的算术平方根，

∴计算器面板显示的结果为2，

故选：B．

4．（3分）如图，直线AB、CD相交于点O，射线OM平分∠BOD，若∠AOC＝42°，则∠AOM等于（　　）

A．159° B．161° C．169° D．138°

【分析】直接利用邻补角、邻补角的定义以及角平分线的定义得出∠BOM＝∠DOM，进而得出答案．

【解答】解：∵∠AOC与∠BOD是对顶角，

∴∠AOC＝∠BOD＝42°，

∴∠AOD＝180°﹣42°＝138°，

∵射线OM平分∠BOD，

∴∠BOM＝∠DOM＝21°，

∴∠AOM＝138°+21°＝159°．

故选：A．

5．（3分）如图．随机闭合开关K1、K2、K3中的两个，则能让两盏灯泡L1、L2同时发光的概率为（　　）

A． B． C． D．

【分析】找出随机闭合开关K1、K2、K3中的两个有的情况数以及能让两盏灯泡L1、L2同时发光的情况数，即可求出所求概率．

【解答】解：随机闭合开关K1、K2、K3中的两个有三种情况：闭合K1K2，闭合K1K3，闭合K2K3，

能让两盏灯泡L1、L2同时发光的有一种情况：闭合K2K3，

则P（能让两盏灯泡L1、L2同时发光）＝．

故选：D．

6．（3分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，其对称轴与x轴交于点C，其中A、C两点的横坐标分别为﹣1和1，下列说法错误的是（　　）

A．abc＜0    

B．4a+c＝0    

C．16a+4b+c＜0    

D．当x＞2时，y随x的增大而减小

【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性以及过特殊点时系数a、b、c满足的关系综合进行判断即可．

【解答】解：抛物线开口向下，因此a＜0，对称轴为x＝1，即﹣＝1，也就是2a+b＝0，b＞0，抛物线与y轴交于正半轴，于是c＞0，

∴abc＜0，因此选项A不符合题意；

由A（﹣1，0）、C（1，0）对称轴为x＝1，可得抛物线与x轴的另一个交点B（3，0），

∴a﹣b+c＝0，

∴a+2a+c＝0，即3a+c＝0，因此选项B符合题意；

当x＝4时，y＝16a+4b+c＜0，因此选项C不符合题意；

当x＞1时，y随x的增大而减小，因此选项D不符合题意；

故选：B．

7．（3分）用一个半径为3，面积为3π的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥（不计损耗），则圆锥的底面半径为（　　）

A．π B．2π C．2 D．1

【分析】根据扇形的面积公式：S＝πrl（r为圆锥的底面半径，l为扇形半径）即可求出圆锥的底面半径．

【解答】解：根据圆锥侧面展开图是扇形，

扇形面积公式：S＝πrl（r为圆锥的底面半径，l为扇形半径），得

3πr＝3π，

∴r＝1．

所以圆锥的底面半径为1．

故选：D．

8．（3分）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是：有人要去某关口，路程378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到达目的地．则此人第三天走的路程为（　　）

A．96里 B．48里 C．24里 D．12里

【分析】设此人第三天走的路程为x里，则其它五天走的路程分别为4x里，2x里，x里，x里，x里，根据六天共走了378里，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．

【解答】解：设此人第三天走的路程为x里，则其它五天走的路程分别为4x里，2x里，x里，x里，x里，

依题意，得：4x+2x+x+x+x+x＝378，

解得：x＝48．

故选：B．

9．（3分）如图1，点P从△ABC的顶点A出发，沿A→B→C匀速运动到点C，图2是点P运动时线段CP的长度y随时间x变化的关系图象，其中点Q为曲线部分的最低点，则△ABC的边AB的长度为（　　）

A．12 B．8 C．10 D．13

【分析】根据图2中的曲线可得，当点P在△ABC的顶点A处，运动到点B处时，图1中的AC＝BC＝13，当点P运动到AB中点时，此时CP⊥AB，根据图2点Q为曲线部分的最低点，可得CP＝12，根据勾股定理可得AP＝5，再根据等腰三角形三线合一可得AB的长．

【解答】解：根据图2中的曲线可知：

当点P在△ABC的顶点A处，运动到点B处时，

图1中的AC＝BC＝13，

当点P运动到AB中点时，

此时CP⊥AB，

根据图2点Q为曲线部分的最低点，

得CP＝12，

所以根据勾股定理，得

此时AP＝＝5．

所以AB＝2AP＝10．

故选：C．

10．（3分）如图，在正方形ABCD中，点P是AB上一动点（不与A、B重合），对角线AC、BD相交于点O，过点P分别作AC、BD的垂线，分别交AC、BD于点E、F，交AD、BC于点M、N．下列结论：

①△APE≌△AME；

②PM+PN＝AC；

③PE2+PF2＝PO2；

④△POF∽△BNF；

⑤点O在M、N两点的连线上．

其中正确的是（　　）

A．①②③④ B．①②③⑤ C．①②③④⑤ D．③④⑤

【分析】依据正方形的性质以及勾股定理、矩形的判定方法即可判断△APM和△BPN以及△APE、△BPF都是等腰直角三角形，四边形PEOF是矩形，从而作出判断．

【解答】解：∵四边形ABCD是正方形

∴∠BAC＝∠DAC＝45°．

∵在△APE和△AME中，

，

∴△APE≌△AME，故①正确；

∴PE＝EM＝PM，

同理，FP＝FN＝NP．

∵正方形ABCD中AC⊥BD，

又∵PE⊥AC，PF⊥BD，

∴∠PEO＝∠EOF＝∠PFO＝90°，且△APE中AE＝PE

∴四边形PEOF是矩形．

∴PF＝OE，

∴PE+PF＝OA，

又∵PE＝EM＝PM，FP＝FN＝NP，OA＝AC，

∴PM+PN＝AC，故②正确；

∵四边形PEOF是矩形，

∴PE＝OF，

在直角△OPF中，OF2+PF2＝PO2，

∴PE2+PF2＝PO2，故③正确．

∵△BNF是等腰直角三角形，而△POF不一定是，故④错误；

∵OA垂直平分线段PM．OB垂直平分线段PN，

∴OM＝OP，ON＝OP，

∴OM＝OP＝ON，

∴点O是△PMN的外接圆的圆心，

∵∠MPN＝90°，

∴MN是直径，

∴M，O，N共线，故⑤正确．

故选：B．

二、填空题：本大题共8小题，其中11-14题每小题3分，15-18题每小题3分，共28分．只要求填写最后结果．

11．（3分）2020年6月23日9时43分，“北斗三号”最后一颗全球组网卫星发射成功，它的授时精度小于0.00000002秒，则0.00000002用科学记数法表示为　2×10﹣8　．

【分析】由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定10的负指数，把较小的数表示成科学记数法即可．

【解答】解：0.00000002＝2×10﹣8，

则0.00000002用科学记数法表示为2×10﹣8．

故答案为：2×10﹣8．

12．（3分）因式分解：12a2﹣3b2＝　3（2a+b）（2a﹣b）　．

【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．

【解答】解：原式＝3（4a2﹣b2）

＝3（2a+b）（2a﹣b）．

故答案为：3（2a+b）（2a﹣b）．

13．（3分）东营市某学校女子游泳队队员的年龄分布如下表：

年龄（岁）	13	14	15
人数	4	7	4

则该校女子游泳队队员的平均年龄是　14　岁．

【分析】直接利用加权平均数的定义列式计算可得．

【解答】解：该校女子游泳队队员的平均年龄是＝14（岁），

故答案为：14．

14．（3分）已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过A（1，﹣1）、B（﹣1，3）两点，则k　＜　0（填“＞”或“＜”）．

【分析】设直线AB的解析式为：y＝kx+b（k≠0），把A（1，﹣1），B（﹣1，3）代入代入，得到k和b值，即可得到结论．

【解答】解：设直线AB的解析式为：y＝kx+b（k≠0），

把A（1，﹣1），B（﹣1，3）代入y＝kx+b得，

，

解得：k＝﹣2，b＝1，

∴k＜0，

故答案为：＜．

15．（4分）如果关于x的一元二次方程x2﹣6x+m＝0有实数根，那么m的取值范围是　m≤9　．

【分析】根据一元二次方程有实数根，得到根的判别式大于等于0，求出m的范围即可．

【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+m＝0有实数根，

∴△＝36﹣4m≥0，

解得：m≤9，

则m的取值范围是m≤9．

故答案为：m≤9．

16．（4分）如图，P为平行四边形ABCD边BC上一点，E、F分别为PA、PD上的点，且PA＝3PE，PD＝3PF，△PEF、△PDC、△PAB的面积分别记为S、S1、S2．若S＝2，则S1+S2＝　18　．

【分析】利用相似三角形的性质求出△PAD的面积即可解决问题．

【解答】解：∵PA＝3PE，PD＝3PF，

∴＝＝，

∴EF∥AD，

∴△PEF∽△PAD，

∴＝（）2，

∵S△PEF＝2，

∴S△PAD＝18，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴S△PAD＝S平行四边形ABCD，

∴S1+S2＝S△PAD＝18，

故答案为18．

17．（4分）如图，在Rt△AOB中，OB＝2，∠A＝30°，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（其中点Q为切点），则线段PQ长度的最小值为　2　．

【分析】连接OP、OQ，作OP′⊥AB于P′，根据切线的性质得到OQ⊥PQ，根据勾股定理得到PQ＝，根据垂线段最短得到当OP⊥AB时，OP最小，根据直角三角形的性质、勾股定理计算即可．

【解答】解：连接OP、OQ，作OP′⊥AB于P′，

∵PQ是⊙O的切线，

∴OQ⊥PQ，

∴PQ＝＝，

当OP最小时，线段PQ的长度最小，

当OP⊥AB时，OP最小，

在Rt△AOB中，∠A＝30°，

∴OA＝＝6，

在Rt△AOP′中，∠A＝30°，

∴OP′＝OA＝3，

∴线段PQ长度的最小值＝＝2，

故答案为：2．

18．（4分）如图，在平面直角坐标系中，已知直线y＝x+1和双曲线y＝﹣，在直线上取一点，记为A1，过A1作x轴的垂线交双曲线于点B1，过B1作y轴的垂线交直线于点A2，过A2作x轴的垂线交双曲线于点B2，过B2作y轴的垂线交直线于点A3，…，依次进行下去，记点An的横坐标为an，若a1＝2，则a2020＝　2　．

【分析】根据反比例函数与一次函数图象上点的坐标特征分别求出A1、B1、A2、B2、A3、B3…，从而得到每3次变化为一个循环组依次循环，用2020除以3，根据商的情况确定出a2020即可．

【解答】解：当a1＝2时，B1的横坐标与A1的横坐标相等为a1＝2，

A2的纵坐标和B1的纵坐标相同为y2＝﹣＝﹣，

B2的横坐标和A2的横坐标相同为a2═﹣，

A3的纵坐标和B2的纵坐标相同为y3＝﹣＝，

B3的横坐标和A3的横坐标相同为a3＝﹣，

A4的纵坐标和B3的纵坐标相同为y4＝﹣＝3，

B4的横坐标和A4的横坐标相同为a4＝2＝a1，

…

由上可知，a1，a2，a3，a4，a5，…，3个为一组依次循环，

∵2020÷3＝673…1，

∴a2020＝a1＝2，

故答案为：2．

三、解答题：本大题共7小题，共62分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

19．（8分）（1）计算：+（2cos60°）2020﹣（）﹣2﹣|3+2|；

（2）先化简，再求值：（x﹣）÷，其中x＝+1，y＝．

【分析】（1）先计算2cos60°、（）﹣2，再化简和﹣|3+2|，最后加减求出值；

（2）按分式的混合运算法则，先化简分式，再代入求值．

【解答】解：（1）原式＝3+（2×）2020﹣22﹣（3+2）

＝3+1﹣4﹣3﹣2

＝﹣6；

（2）原式＝•

＝•

＝x﹣y．

当x＝+1，y＝时，

原式＝+1﹣

＝1．

20．（8分）如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点M，弦MN∥BC交AB于点E，且ME＝3，AE＝4，AM＝5．

（1）求证：BC是⊙O的切线；

（2）求⊙O的直径AB的长度．

【分析】（1）根据勾股定理的逆定理得到∠AEM＝90°，由于MN∥BC，根据平行线的性质得∠ABC＝90°，然后根据切线的判定定理即可得到BC是⊙O的切线；

（2）连接OM，设⊙O的半径是r，在Rt△OEM中，根据勾股定理得到r2＝32+（4﹣r）2，解方程即可得到⊙O的半径，即可得出答案．

【解答】（1）证明：∵在△AME中，ME＝3，AE＝4，AM＝5，

∴AM2＝ME2+AE2，

∴△AME是直角三角形，

∴∠AEM＝90°，

又∵MN∥BC，

∴∠ABC＝∠AEM＝90°，

∴AB⊥BC，

∵AB为直径，

∴BC是⊙O的切线；

（2）解：连接OM，如图，设⊙O的半径是r，

在Rt△OEM中，OE＝AE﹣OA＝4﹣r，ME＝3，OM＝r，

∵OM2＝ME2+OE2，

∴r2＝32+（4﹣r）2，

解得：r＝，

∴AB＝2r＝．

21．（8分）如图，C处是一钻井平台，位于东营港口A的北偏东60°方向上，与港口A相距60海里，一艘摩托艇从A出发，自西向东航行至B时，改变航向以每小时50海里的速度沿BC方向行进，此时C位于B的北偏西45°方向，则从B到达C需要多少小时？

【分析】过C作CD⊥AB于D，在点A的正北方向上取点M，在点B的正北方向上取点N，在直角三角形ACD中，求出CD的长，在直角三角形BCD中，利用锐角三角函数定义求出BC的长，进而求出所求时间即可．

【解答】解：过C作CD⊥AB于D，在点A的正北方向上取点M，在点B的正北方向上取点N，

由题意得：∠MAB＝∠NBA＝90°，∠MAC＝60°，∠NBC＝45°，AC＝60海里，

∴∠CDA＝∠CDB＝90°，

∵在Rt△ACD中，∠CAD＝∠MAB﹣∠MAC＝90°﹣60°＝30°，

∴CD＝AC＝30（海里），

在Rt△BCD中，∠CDB＝90°，∠CBD＝∠NBD﹣∠NBC＝90°﹣45°＝45°，

∴BC＝CD＝60（海里），

∴60÷50＝1.2（小时），

∴从B处到达C岛处需要1.2小时．

22．（8分）东营市某中学对2020年4月份线上教学学生的作业情况进行了一次抽样调查，根据收集的数据绘制了如图不完整的统计图表．

作业情况	频数	频率
非常好	44	0.22
较好	68	0.34
一般	48	0.24
不好	40	0.20

请根据图表中提供的信息，解答下列问题：

（1）本次抽样共调查了多少名学生？

（2）将统计表中所缺的数据填在表中横线上；

（3）若该中学有1800名学生，估计该校学生作业情况“非常好”和“较好”的学生一共约多少名？

（4）某学习小组4名学生的作业本中，有2本“非常好”（记为A1、A2），1本“较好”（记为B），1本“一般”（记为C），这些作业本封面无姓名，而且形状、大小、颜色等外表特征完全相同，从中抽取一本，不放回，从余下的3本中再抽取一本，请用“列表法”或“画树状图”的方法求出两次抽到的作业本都是“非常好”的概率．

【分析】（1）结合扇形统计图与表格确定出调查学生总数即可；

（2）分别求出所缺的数据，填写表格即可；

（3）根据题意列出算式，计算即可求出值；

（4）列表确定出所有等可能的情况数，找出两次抽到的作业本都是“非常好”的情况数，即可求出所求概率．

【解答】解：（1）根据题意得：40÷＝200（名），

则本次抽样共调查了200名学生；

（2）填表如下：

作业情况	频数	频率
非常好	44	0.22
较好	68	0.34
一般	48	0.24
不好	40	0.20

故答案为：44；48；0.34；0.24；0.20；

（3）根据题意得：1800×（0.22+0.34）＝1008（名），

则该校学生作业情况“非常好”和“较好”的学生一共约1008名；

（4）列表如下：

	A1	A2	B	C
A1	﹣﹣﹣	（A1，A2）	（A1，B）	（A1，C）
A2	（A2，A1）	﹣﹣﹣	（A2，B）	（A2，C）
B	（B，A1）	（B，A2）	﹣﹣﹣	（B，C）
C	（C，A1）	（C，A2）	（C，B）	﹣﹣﹣

由列表可以看出，一共有12种结果，且它们出现的可能性相等，其中两次抽到的作业本都是“非常好”的有2种，

则P（两次抽到的作业本都是“非常好”）＝＝．

23．（8分）2020年初，新冠肺炎疫情爆发，市场上防疫口罩热销，某医药公司每月生产甲、乙两种型号的防疫口罩共20万只，且所有口罩当月全部售出，其中成本、售价如下表：

型号

价格（元/只）

项目	甲	乙
成本	12	4
售价	18	6

（1）若该公司三月份的销售收入为300万元，求生产甲、乙两种型号的防疫口罩分别是多少万只？

（2）如果公司四月份投入成本不超过216万元，应怎样安排甲、乙两种型号防疫口罩的产量，可使该月公司所获利润最大？并求出最大利润．

【分析】（1）设生产甲、乙两种型号的防疫口罩分别是x万只和y万只，由“某医药公司每月生产甲、乙两种型号的防疫口罩共20万只和该公司三月份的销售收入为300万元”列出方程组，可求解；

（2）设四月份生产甲、乙两种型号的防疫口罩分别是a万只和（20﹣a）万只，利润为w万元，由“四月份投入成本不超过216万元”列出不等式，可求a的取值范围，找出w与a的函数关系式，由一次函数的性质可求解．

【解答】解：（1）设生产甲、乙两种型号的防疫口罩分别是x万只和y万只，

由题意可得：，

解得：，

答：生产甲、乙两种型号的防疫口罩分别是15万只和5万只；

（2）设四月份生产甲、乙两种型号的防疫口罩分别是a万只和（20﹣a）万只，利润为w万元，

由题意可得：12a+4（20﹣a）≤216，

∴a≤17，

∵w＝（18﹣12）a+（6﹣4）（20﹣a）＝4a+40是一次函数，w随a的增大而增大，

∴a＝17时，w有最大利润＝108（万元），

答：安排生产甲种型号的防疫口罩17万只，乙种型号的防疫口罩3万只，最大利润为108万元．

24．（10分）如图，抛物线y＝ax2﹣3ax﹣4a的图象经过点C（0，2），交x轴于点A、B（点A在点B左侧），连接BC，直线y＝kx+1（k＞0）与y轴交于点D，与BC上方的抛物线交于点E，与BC交于点F．

（1）求抛物线的解析式及点A、B的坐标；

（2）是否存在最大值？若存在，请求出其最大值及此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）将点C的坐标代入函数解析式求得a值即可；将所求得的抛物线解析式转化为两点式，易得点A、B的坐标；

（2）由题意知，点E位于y轴右侧，作EG∥y轴，交BC于点G，根据平行线截线段成比例将求的最大值转化为求的最大值，所以利用一次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象上点的坐标特征，两点间的距离公式以及配方法解题即可．

【解答】解：（1）把C（0，2）代入y＝ax2﹣3ax﹣4a得：﹣4a＝2．

解得a＝﹣．

则该抛物线解析式为y＝﹣x2+x+2．

由于y＝﹣x2+x+2＝﹣（x+1）（x﹣4）．

故A（﹣1，0），B（4，0）；

（2）存在，理由如下：

由题意知，点E位于y轴右侧，作EG∥y轴，交BC于点G，

∴CD∥EG，

∴＝．

∵直线y＝kx+1（k＞0）与y轴交于点D，则D（0，1）．

∴CD＝2﹣1＝1．

∴＝EG．

设BC所在直线的解析式为y＝mx+n（m≠0）．

将B（4，0），C（0，2）代入，得．

解得．

∴直线BC的解析式是y＝﹣x+2．

设E（t，﹣t2+t+2），则G（t，﹣t+2），其中0＜t＜4．

∴EG＝（﹣t2+t+2）﹣（﹣t+2）＝﹣（t﹣2）2+2．

∴＝﹣（t﹣2）2+2．

∵＜0，

∴当t＝2时，存在最大值，最大值为2，此时点E的坐标是（2，3）．

25．（12分）如图1，在等腰三角形ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，点D、E分别在边AB、AC上，AD＝AE，连接BE，点M、N、P分别为DE、BE、BC的中点．

（1）观察猜想．

图1中，线段NM、NP的数量关系是　NM＝NP　，∠MNP的大小为　60°　．

（2）探究证明

把△ADE绕点A顺时针方向旋转到如图2所示的位置，连接MP、BD、CE，判断△MNP的形状，并说明理由；

（3）拓展延伸

把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝1，AB＝3，请求出△MNP面积的最大值．

【分析】（1）先证明由AB＝AC，AD＝AE，得BD＝CE，再由三角形的中位线定理得NM与NP的数量关系，由平行线性质得∠MNP的大小；

（2）先证明△ABD≌△ACE得BD＝CE，再由三角形的中位线定理得NM＝NP，由平行线性质得∠MNP＝60°，再根据等边三角形的判定定理得结论；

（3）由BD≤AB+AD，得MN≤2，再由等边三角形的面积公式得△MNP的面积关于MN的函数关系式，再由函数性质求得最大值便可．

【解答】解：（1）∵AB＝AC，AD＝AE，

∴BD＝CE，

∵点M、N、P分别为DE、BE、BC的中点，

∴MN＝BD，PN＝CE，MN∥AB，PN∥AC，

∴MN＝PN，∠ENM＝∠EBA，∠ENP＝∠AEB，

∴∠MNE+∠ENP＝∠ABE+∠AEB，

∵∠ABE+∠AEB＝180°﹣∠BAE＝60°，

∴∠MNP＝60°，

故答案为：NM＝NP；60°；

（2）△MNP是等边三角形．

理由 如下：由旋转可得，∠BAD＝∠CAE，

又∵AB＝AC，AD＝AE，

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，

∵点M、N、P分别为DE、BE、BC的中点．

∴MN＝BD，PN＝CE，MN∥BD，PN∥CE，

∴MN＝PN，∠ENM＝∠EBD，∠BPN＝∠BCE，

∴∠ENP＝∠NBP+∠NPB＝∠NBP+∠ECB，

∵∠EBD＝∠ABD+∠ABE＝∠ACE+∠ABE，

∴∠MNP＝∠MNE+∠ENP＝∠ACE+∠ABE+∠EBC+∠EBC+∠ECB＝180°﹣∠BAC＝60°，

∴△MNP是等边三角形；

（3）根据题意得，BD≤AB+AD，即BD≤4，

∴MN≤2，

∴△MNP的面积＝＝，

∴△MNP的面积的最大值为．