数学竞赛专题讲座七年级第1讲_跨越—从算术到代数(含答案)

“加里宁曾经说过：数学是锻炼思维的体操，体操能使你身体健康，动作敏捷；数学能使你的思想正确敏捷，有了正确的思想，你们才有可能爬上科学的大山．”  _______华罗庚。

华罗庚，我国现代有世界声誉的数学家，初中毕业后，靠自学成才，在数论、矩阵几何等许多领域中做出过卓越贡献．

纵观历史，数学的发展创造了数学符号，新的数学符号的使用又反过来促进了数学的发展．历史是这样一步一步走过来的，并将这样一步一步地继续走下去，数学的每一个进步都必须伴随着新的数学符号的产生．在文明和科学的发展过程中，人类创造用符号代替语言、文字的方法，这是因为符号比语言、文字更简练、更直观、更具一般性．

“算术”可以理解为“计算的方法”，而“代数”可以理解为“以符号替代数字”，即“数学符号化”．著名数学教育家玻利亚曾说：“代数是一种不用词句而只用符号所构成的语言．”

    用字母表示数是数学发展史上的一件大事，是由算术跨越到代数的桥梁，是人类发展史上的一个飞跃，也是代数与算术的最显著的区别．

    字母表示数使得数学具有简洁的语言，能更普遍地说明数量关系，在列代数式、求代数式的值、形成公式等方面有广泛的应用．

例题讲解

【例1】观察下列等式9—l=8， 16—4＝12，25—9＝16，36—16＝20，……

这些等式反映出自然数间的某种规律，设表示自然数，用关于的等式表示出来：

                        ．                                      (河南省中考题)

思路点拨  在观察给定的等式基础上，寻找数字特点，等式的共同特征，发现一般规律．

链接：从个别事物中发现一般性规律．这种研究问题的方法叫“归纳法”，是由特殊到一般的思维过程，是发明创造的基础．

【例2】 某商品2002年比2001年涨价5％，2003年又比2002年涨价10％，2004年比2003年降价12％，则2004年比2001年(    )．

    A．涨价3％    B．涨价1．％    C涨价1．2％    D．降价1．2％

思路点拨  设此商品2001年的价格为元，把相应年份的价格用的代数式表示，由计算作出判断．   

【例3】 计算

思路点拨  直接计算复杂而繁难，注意括号内数式的联系，引入字母，将复杂的数值计算转化为简单的式的计算．

【例4】  有—张纸，第1次把它分割成4片，第2次把其中的1片分割成4片，以后每一次都把前面所得的其中一片分割成4片，如此进行下去，试问：

    (1)经5次分割后，共得到多少张纸片?

    (2)经次分割后，共得到多少张纸片?

    (3)能否经若干次分割后共得到2003张纸片?为什么?                 (江苏省竞赛题)

思路点拨  从简单情形人手，发现纸片数的特点是解本例的关键．

思路点拨  虽然要求的只是右上角的数，但是题目的条件还与其他的数有关，因此，需恰当地引进不同的字母表示数，以便充分运用已知条件．

【例6】如图，在图1中，互补重叠的三角形共有4个，在图2中，互不重叠的三角形共有7个，在图3中，互不重叠的三角形共有10个，…，则在第个图形中，互不重叠的三角形共有______个（用含的代数式表示）．              （重庆市中考题）

思路点拨  从三角形个数规律或图形生成特点入手．

【例7】（1）计算： 

；                                            （广西竞赛题）

（2）设=，求的整数部分．                                          （2008年北京市竞赛题）

思路点拨  对于（1），直接计算复杂而繁难，注意括号内数式的联系，引入字母，将复杂的数值计算转化为简单的式的计算；对于（2），从分析中第项的特征入手．

【例8】有这样的两位数，交换该数的数码所得到的两位数与原数的和是一个完全平方数．例如，29就是这样的两位数，因为，请你找出所有这样的两位数．

思路点拨  设原数为，则新数为，发现的特点是解本例的关键．

【例9】现有根长度相同的火柴棒，按如图1摆放时可摆成个正方形，按如图2摆放时可摆成个正方形．

（1）用含的代数式表示；

当这根火柴棒还能摆成如图3所示的形状时，求的最小值．

思路点拨  设图3中有3个正方形（为什么这样设？），无论怎样摆放，火柴棒的总数相同，这样可以建立含、、的等式．

链接：① 用字母表示数，有利于运用代数式揭示问题中的数量关系，便于找到数量的相依关系或相等不等关系，具有设元意识，会用代数式表示，是由算术习惯向代数过渡的重要步骤，是突破算术方法的定势的关键．② 本例的3个小题，反映了我们认识事物、探究问题的基本过程．第(1)小题是研究具体对象，第(2)小题是归纳出一般规律，第(3)小题是再运用这些规律去分析、研究、解决问题．有些问题涉及的量比较多，关系复杂，我们就需要引入不同的字母，便于把数量关系表示出来，在解题中我们不需(或不能)求出所有字母的值，只需求出关键的字母的值，这种方法我们称之为“设而不求”． 

【培优专题一：从算术到代数】

1．给出下列算式：

  ，，，……

   观察上面一列算式，你能发现什么规律，用代数式子表示这个规律：                  ．

                                                                 (福州市中考题)

2．已知：，，，……，若  (为正整数)，则=           ．                   (2003年武汉市中考题)

3．若人完成一项工程需要天，则个人完成这项工程需要              天．

  (假定每个人的工作效率相同)                                      (江苏省竞赛题)

4．某同学上学时步行，回家时坐车，路上一共要用90分钟，若往返都坐车．全部行程只需30分钟，如果往返都步行，那么需要的时间是              ．       (河南省竞赛题)

5．一项工程，甲建筑队单独承包需要天完成，乙建筑队单独承包需要天完成，现两队联合承包，完成这项工程需要(    )天．

   A．     B．     C.       D． 

6．某专卖店在统计2003年第一季度的销售额时发现，二月份比一月份增加10％，三月份比二月份减少10％，那么三月份比一月份(    )．

  A．增加10％    B．减少10％    C．不增不减   D．减少1％      (河南省中考题)

7．如图，在长方形中，横向阴影部分是长方形，另一阴影部分是平行四边形，依照图中标注的数据，计算图中空白部分的面积，其面积是(    )． 

  A．    B．   

 C．    D．（河北省中考题) 

8．为了绿化环境、美化城市，在某居民小区铺设了正方形和圆形两块草坪，如果两块草坪的周长相同，那么它们的面积S1、S2的大小关系是(    )．

    A．S1＞S2       B．S1< S2       C．S1=S2        D．无法比较

9．从开始，连续的奇数相加，和的情况如下：

   ；

   ；

   ；

   ；

   ；

    (1)请你推测出，从1开始，个连续的奇数相加，它们的和的公式是什么?

    (2)计算：

    ①；

    ②．

    (3)已知，求整数的值．

10．从小明的家到学校，是一段长度为的上坡路接着一段长度为的下坡路(两段路的长度不等但坡度相同)．已知小明骑自行车走上坡路时的速度比走平路时的速度慢20％，走下坡路时的速度比走平路时的速度快20％，又知小明上学途中花10分钟，放学途中花12分钟．

    (1)判断与的大小；

    (2)求与的的比值．                                          (江苏省竞赛题)

11.观察下列各正方形图案，每条边上有（）个圆点，每个图案中圆点的总数是S．

按此规律推断出S与n的关系式是               ．            (2001年广西中考题)

12．如图，将面积为的小正方形与面积为的大正方形放在一起(>>0)，用表示的面积为     ． (天津市竞赛题)

13．已知17个连续整数的和是306，那么，紧接在这17个数后面的那17个整数的和为

           ．

14．用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下所示的规律．拼成若干个图案：

(1)第4个图案中有白色地面砖       块；

(2)第个图案中有白色地面砖        块．                   (2003年南昌市中考题)

15．下列四个数中可以写成100个连续自然数之和的是(    )．

    A．1627384950    B．23456710    C． 3579111300    D．4692581470

                                                                 (江苏省竞赛题)

16．给出两列数：l，3，5，7，9，…，2001和1，6，1l，16，21，…，2001，同时出现在两列数中的数的个数为(    )．

    A．199     B．200      C． 201       D．202                  (重庆市竞赛题)

17．—种商品每件进价为元，按进价增加25％定出售价，后因库存积压降价，按售价的九折出售，每件还能盈利(    )．

    A．0.125     B．0.15     C．0.25    D．1.25        (山东泰安市中考题)

18．如果用名同学在小时内搬运块砖，那么名同学以同样的速度搬运块砖所需的小时数是(    )．

     A．        B．        C．      D．

19．已知(=l，2，3，…2002)．

求当时， 的值．

20．在一次数学竞赛中，组委会决定用NS公司的赞助款购买一批奖品，若以1台NS计算器和3本《数学竞赛讲座》书为一份奖品．则可买100份奖品；若以1台NS计算器和5本《数学竞赛讲座》书为一份奖品．则可买80份奖品．问这 笔钱全部用来购买计算器或《数学竞赛讲座》书，可各买多少?                         (湖北省黄冈市竞赛题)

21．将1~16这16个整数填入方格中，使每行、每列、每条对角线上四个数之和都相等，如图所示，恰有8个小方格中填的数被一个淘气的小朋友擦掉了，请你将这擦掉的8个数设法恢复出来．

22．阅读下列材料：十六大提出全面建设小康社会，国际上常用恩格尔系数(记作)来衡量一个国家和地区人民生活水平的状况，它的计算公式为：，各类家庭的恩格尔系数如下表所示：

    求：(1)1997年该乡平均每户家庭食品消费支出总额为多少元?

        (2)设从1997年起m年后该乡平均每户的恩格尔系数为（为正整数）．请用的代数式表示该乡平均每户当年的恩格尔系数，并利用这个公式计算2003年该乡平均每户的恩格尔系数(百分号前保留整数)．

(3)按这样的发展，该乡将于哪年开始进入小康家庭生活?该乡农民能否实现十六大提出的2020年我国全面进入小康社会的目标?                         (桂林市中考题)

提高训练

1．用同样大小的黑棋子按如图所示的方式摆图形，按照这样的规律摆下去，则第个图形需棋子_________枚（用含的代数式表示）．               （2008年海南省中考题）

2．如图，一块拼图卡片的长度为，两块相同的拼图卡片拼接在一起的长度为，则块相同的拼图卡片拼接在一起的长度为______（用含的代数式表示）．

                                                          （2008年长春市中考题）

3．如果是一个三位数，现在把1放在它的右边得到一个四位数，这个四位数是（    ）．

A．    B．    C．    D．       （重庆市竞赛题）

4．图中的三角形是有规律地从里到外逐层排列的．设为第层（   为正整数）三角形的个数，则下列关系式中正确的是（    ）．

A．    B．    C．    D．                      （吉林省中考题）

5．某商场经销一批电视机，进价为每台元，原零售价比进价高，后根据市场变化，把零售价调整为原零售价的，调整后的零售价为每台（    ）元．

A．       B． 

C．    D．             （2008年广东省竞赛题） 

6．已知是整数，现有两个代数式：（1），（2）．其中，能表示“任意奇数”的（    ）．

A．只有（1）    B．只有（2）    C．有（1）和（2）    D．一个也没有

7．有一张纸，第1次把它分割成4片，第2次把其中的1片分割成4片，以后每一次都把前面所得的其中一片分割成4片，如此进行下去，试问：

（1）经五次分割后，共得到多少张纸片？

（2）经次分割后，共得到多少张纸片？

（3）能否经若干次分割后共得到2003张纸片？？       （第17届江苏省竞赛题）

8．如图，用同样规格的黑白两种正方形瓷砖铺设正方形地面，观察图形并猜想填空：当黑色瓷砖为20块时，白色瓷砖为______块；当白色瓷砖为（为正整数）块时，黑色瓷砖为______块．                                              （宜昌市中考题）

9．在图甲中取阴影等边三角形各边的中点，连成一个等边三角形，将其挖去，得到图乙；对图乙中的每个阴影等边三角形仿照先前的做法，得到图丙，如此继续．如果图甲的等边三角形面积为1，则第个图形中所有阴影三角形面积的和为______．

                                                         （第18届江苏省竞赛题）

10．已知，（=1，2，3，…），则=______．  （重庆市竞赛题）

11．老师报出一个5位数，同学们将它的顺序倒排后得到的5位数减去原数，学生甲、乙、丙、丁的结果分别是 34567，34056，23456，34956．老师判定4个结果中只有一个正确，答对的是（    ）．

A．甲    B．乙    C．丙    D．丁                  （第16届“五羊杯”竞赛题）

12．如图，正方形和的边长分别为，，那么△的面积的值（    ）．

A．只与的大小有关

B．只与的大小有关 

C．与，的大小都有关

D．与，的大小都无关

                                                         （第19届江苏省竞赛题）

13．有四个互不相同的正整数，从中任取两个数组成一组，并在同一组中用较大的数减去较小的数，再将各组所得的差相加，其和恰好等于18．若这四个数的乘积是23100，求这四个数．                                                     （天津市竞赛题）    

答案：

1.n2+n=n(n+1)  2.109  3.  4.150分钟  5.C  6.D  7.B  8.B

9.(1)S=n2  (2)①100  ②132-52=144  (3)n=15

10.(1)a11.S=4n-4  12. b2  13.595  14.(1)18;(2)4n+2

15.A  设自然数从a+1开始,这100个连续自然数的和为

(a+1)+(a+2)+…+(a+100)=100a+5050.

16.C  第一列数可表示为2m+1,第二列数可表示为5n+1,

由2m+1=5n+1,得n=m,m=0,5,10…1000

17.A

18.D 提示:每一名同学每小时所搬砖头为块,c名同学按此速度每小时搬砖头块.

19.提示:a1=1,a2=,a3=……,an=,原式=.

20.设每台计算器x元,每本《数学竞赛讲座》书y元,则100(x+3y)=80(x+5y),解得x=5y,故可购买计算器=160(台),书=800(本).

21.提示:设所填表中每行、每列、每条对角线四数之和为Ｓ，则

    4S=1+2+3+…16=,得S=34.

      再设左上角所擦的数为x,则左下角擦的数为14-x,右下角擦掉的数为15+x,其余各格中擦掉的数都可以表示为x的代数式,再将主对角线上的数相加应得34,即30+4x=34,解得x=1.

    于是可以依次算出被擦掉的各数,恢复后如图所示.

    (2)nm=,即nm=

    当m=2003-1997=6时.n6=≈0.55=55%.

(3)取n=0.5,即=,解得m=16,

即1997+16=2013<2020年,所以,2013年该村进入小康生活,并能实现十六大提出的目标.毛