证明柯西不等式

1.二维形式的柯西不等式：

定理1：若a、b、c、d为实数，则.当且仅当时，等号成立.

证明：证法一：作差比较法

证法二：（综合法）

                 .   （要点：展开→配方）

      证法三：（向量法）设向量，，则，.

∵ ，且，则.  ∴ …..

      证法四：（函数法）设，则≥0恒成立.

∴ ≤0，即…

【常见变式】

（1） 

（2）

（3）.

【简单应用】

例1：已知a,b为实数，求证

例2：设a,b是正实数，a+b=1，求证

分析：注意到，有了就可以用柯西不等式了。

例3：已知，求的最小值.

 解答要点：（凑配法）.其它方法 （数形结合法）

例4：求函数的最大值。

解：函数的定义域为【1，5】，且y>0

当且仅当时，等号成立，即时，函数取最大值

定理2：（柯西不等式的向量形式）设是两个向量，则.当且仅当是零向量，或存在实数，使时，等号成立

定理3：（二维形式的三角不等式）设，则.

2.一般形式的柯西不等式：

定理：设为大于1的自然数，（1，2，…，）为任意实数，则：即，其中等号当且仅当时成立（当时，约定，1，2，…，）。

引入：类似的，从空间向量的几何背景业能得到|α.β|≤|α|| β| .将空间向量的坐标代入，可得到这就是三维形式的柯西不等式.

对比二维形式和三维形式的柯西不等式，你能猜想出一般形式的柯西不等式吗？

证明：构造二次函数：

          即构造了一个二次函数：

由于对任意实数，恒成立，则其，

即：，

即：，

等号当且仅当，

即等号当且仅当时成立（当时，约定，1，2，…，）。

如果（）全为0，结论显然成立。

【简单应用】

例1： 已知a1,a2,…,an都是实数，求证：

例2：已知a，b，c，d是不全相等的实数，证明：a2 + b2 + c2 + d2 > ab + bc + cd + da

分析：由形式，联系柯西不等式，可以通过构造（12+22+32）作为一个因式而解决问题。

例4：已知a，b，c为正实数，且a2+2b2+3c2=6，求a+b+c的最小值

例5：已知a，b，c为正实数，且a+2b+3c=9，求的最大值。

例6：已知a，b，c为正实数，且a+2b+c=1，求的最小值

【典型例题】

证明不等式

例1：设，求证：．

例2：设，求证：

例3：设，求证：

例4：已知，求证：

证明：

另法一：

另法二：

        即，

例5：已知，求证：

证明：

【习题精练】

【A组】

1. 的最小值为_________

2.，最小值为_________4

3. 最小值为__________9

4.已知且，则的最小值为___________

5.已知则的最小值为_______36

6.最大值为_________

7. ，的最大值为______ 

8. 求函数的最大值__________________5

解：

9. 若，且，则的最大值是________

10. 若，且，则的最大值是________

11. 若实数满足则的最大值是________

12.若的最小值为_________

13.设恒成立，则n的最大值是_________4

14.已知不等式对任意正实数恒成立，则正实数的最小值为 （C）

    （Ａ）8　　　　（Ｂ）6　　　　（C）4　　　　（D）2

15. ,且，则 (  C  )

（A）    （B）    （C）    （D）

16．设a、b为正数，且a+ b≤4，则下列各式中正确的一个是            （ B   ）

A．    B．    C．    D．

17．若，且, ，则与的大小关系是

  A．  B．  C．  D．

解：A   

      ，即

18.设实数满足，，求的最大值

解：，，根据柯西不等式有

，解得，当时，有最大值

19. 且，求证：

证明：