四种命题、四种命题间的相互关系

四种命题间的相互关系

1、四种命题的概念，写出某个命题的逆命题、否命题和逆否命题。

2、四种命题之间的关系以及真假性之间的联系。

3、会用命题的等价性解决问题。

【核心扫描】：

1、结合命题真假的判定，考查四种命题的结构。(重点)

2、掌握四种命题之间的相互关系。(重点)

3、等价命题的应用。(难点)

1、四种命题的概念

(1)互逆命题：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这样的两个命题叫做互逆命题。其中一个命题叫原命题，另一个叫做原命题的逆命题。若原命题为“若p，则q”，则逆命题为“若q，则P”。

(2)互否命题：对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题叫做互否命题。如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的否命题。也就是说，若原命题为“若p，则q”则否命题为“若非p，则非q”。

(3)互为逆否命题：对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命题叫做互为逆否命题。如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆否命题．也就是说，若原命题为“若p，则q”，则逆否命题为若非q，则非p。

    任何一个命题的结构都包含条件和结论，通过条件和结论的不同变换都可以得到这个命题的逆命题、否命题和逆否命题，因而任何一个命题都有逆命题、否命题和逆否命题。

2、四种命题的相互关系

3、四种命题的真假性

(1)四种命题的真假性，有且仅有下面四种情况：

①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性．

②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．

在四种命题中，真命题的个数可能会有几种情况？

因为原命题与逆否命题，逆命题和否命题互为逆否命题，它们同真同假，所以真命题的个数可能为0，2，4.

一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用非p和非q分别表示p与q的否定，

则四种命题的形式可表示为：

原命题：若P，则q；

逆命题：若q，则p；

否命题：若非P，则非q；

逆否命题：若非q，则 非 p.

(1)关于四种命题也可叙述为：

①交换命题的条件和结论，所得的新命题就是原命题的逆命题；

②同时否定命题的条件和结论，所得的新命题就是原命题的否命题；

③交换命题的条件和结论，并且同时否定，所得的新命题就是原命题的逆否命题．

(2)已知原命题，写出它的其他三种命题：

首先，将原命题写成“若p，则q”的形式，然后找出条件和结论，再根据定义写出其他命题。然后，对于含有大前提的命题，在改写时大前提不动。

如“已知a，b为正数，若a>b，则|a|>|b|”中，“已知a，b为正数”在四种命题中是相同的大前提，写其他命题时都把它作为大前提。

四种命题的真假关系

原命题为真，它的逆命题不一定为真；

原命题为真，它的否命题不一定为真；

原命题为真，它的逆否命题一定为真；

原命题的逆命题为真，它的否命题一定为真

四种命题的等价关系的应用：

判断某个命题的真假，如果直接判断不易，可转化为判断它的逆否命题的真假。例如带有否定词的命题真假的判断。

因此，证明某一问题时，若直接证明不容易入手，可以通过证明它的逆否命题为真命题来间接地证明原命题为真命题．

四种命题之间的转换

【例1】写出以下命题的逆命题、否命题和逆否命题．

(1)如果直线垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线垂直于平面；

(2)如果x>10，那么x>0；

(3)当x＝2时，x2＋x－6＝0.

思路探索：可先分清命题的条件和结论，写成“若p，则q”的形式，再写出逆命题、否命题和逆否命题。

解：

(1)

逆命题：如果直线垂直于平面，那么直线垂直于平面内的两条相交直线；

否命题：如果直线不垂直于平面内的两条相交直线，那么直线不垂直于平面；

逆否命题：如果直线不垂直于平面，那么直线不垂直于平面内的两条相交直线．

(2)

逆命题：如果x>0，那么x>10；

否命题：如果x≤10，那么x≤0；

逆否命题：如果x≤0，那么x≤10.

(3)

逆命题：如果x2＋x－6＝0，那么x＝2；

否命题：如果x≠2，那么x2＋x－6≠0；

逆否命题：如果x2＋x－6≠0，那么x≠2.

规律方法：

1、写命题的四种形式时，首先要找出命题的条件和结论，然后写出命题的条件的否定和结论的否定，再根据四种命题的结构写出所求命题。

2、在写命题时，为了使句子更通顺，可以适当的添加一些词语，但不能改变条件和结论。

写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题。

(1)垂直于同一平面的两直线平行；

(2)若m·n<0，则方程mx2－x＋n＝0有实根．

解　

(1)逆命题：如果两条直线平行，那么这两条直线垂直于同一个平面．

否命题：如果两条直线不垂直于同一平面，那么这两条直线不平行．

逆否命题：如果两条直线不平行，那么这两条直线不垂直于同一平面．

(2)逆命题：若方程mx2－x＋n＝0             有实数根，则m·n<0.

否命题：若m·n≥0，则方程mx2－x＋n＝0    没有实数根．

逆否命题：若方程mx2－x＋n＝0           没有实数根，则m·n≥0.

题型二　四种命题真假的判断

【例2】有下列四个命题：

①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题；

②“若a>b，则a2>b2”的逆否命题；

③“若x≤－3，则x2－x－6>0”的否命题；

④“同位角相等”的逆命题．

其中真命题的个数是________．

[思路探索] 可先逐一分清两个命题的条件和结论，再利用有关知识判断真假．

解析　

①“若x＋y≠0，则x，y不是相反数”，是真命题．

②“若a2≤b2，则a≤b”，取a＝0，b＝－1，a2≤b2，但a>b，故是假命题．

③“若x>－3，则x2－x－6≤0”，解不等式x2－x－6≤0可得－2≤x≤3，而x＝4>－3不是不等式的解，故是假命题．

④“相等的角是同位角”是假命题．

答案　1

规律方法：要判断四种命题的真假：首先，要熟练四种命题的相互关系，注意它们之间的相互性；其次，利用其他知识判断真假时，一定要对有关知识熟练掌握．

下列命题中是真命题的是：(　　)．

A、命题“若0B、命题“若b＝3，则b2＝9”的逆命题

C、命题“当x＝2时，x2－3x＋2＝0”的否命题

D、命题“相似三角形的对应角相等”的逆否命题

解析　对于A，逆命题为“若0B项，逆命题是“若b2＝9，则b＝3”，它未必成立，因为b可能等于－3，所以B为假；

C项，否命题是“当x≠2时，x2－3x＋2≠0”，因为x＝1时也可以使x2－3x＋2＝0成立，所以为假；

D项，逆否命题是“两个三角形对应角不相等，则这两个三角形不相似”，因为原命题与逆命题同真假，且原命题为真，所以逆否命题为真，故选D.

答案　D

等价命题的应用

判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集，则a≥1”的逆否命题的真假．

审题指导：本题的命题意图是考查逆否命题的应用，由于原命题与它的逆否命题同真同假，所以可写出原命题的逆否命题，再判断其真假，或者由判断原命题的真假得出逆否命题的真假。

[规范解答] 

法一：原命题的逆否命题：

已知a，x为实数，若a<1，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．真假判断如下：   分

∵抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2开口向上，

判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7，   分

若a<1，则4a－7<0.

即抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2与x轴无交点.  分

所以关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．

故原命题的逆否命题为真.     分

法二：先判断原命题的真假．

因为a，x为实数，且关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集，

所以Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0，                       4分

即4a－7≥0，

又因为原命题与其逆否命题等价，所以逆否命题为真。12分

由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，即互为逆否命题的命题具有等价性，所以我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题。

判断命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数

根”的逆否命题的真假．

解　∵m>0，∴12m>0，∴12m＋4>0.

∴方程x2＋2x－3m＝0的判别式Δ＝12m＋4>0.

∴原命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”为真．

又因原命题与它的逆否命题等价，所以“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题也为真．

反证法的应用

1、反证法的理论基础：反证法就是证明结论的反面不成立，从而证明原结论成立。由于互为逆否命题的两个命题具有等价性，从逻辑角度看，原命题为真，则它的逆否命题也为真。在直接证明原命题有困难时，就可转化为证明它的逆否命题成立。

2、反证法的思想方法：命题“若p，则q”的逆否命题是“若非q，则非p”，假设q不成立，即非q成立，由此进行推理，则非p一定成立，这与p成立矛盾，那么就说明“假设q不成立”为假，从而可以导出“若p，则q”为真，达到论证的目的，这就是反证法的思想方法．

3、反证法证明命题的步骤：

(1)反设：假设命题的结论不成立，即假设结论的否定成立；

(2)归谬：从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；

(3)说明：由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确．

否定结论是反证法的第一步，它的正确与否，对于反证法有直接影响．

若a2＋b2＝c2，求证：a，b，c不可能都是奇数。

思路分析：可以证明原命题的逆否命题为真命题，也可以运用反证法。

法一：依题意，就是证明命题“若a2＋b2＝c2，则a，b，c不可能都是奇数”为真命题。为此，只需证明其逆否命题“若a，b，c都是奇数，则a2＋b2≠c2.”为真命题即可。

∵a，b，c都是奇数，则a2，b2，c2都是奇数。于是a2＋b2为偶数，而c2为奇数，即a2＋b2≠c2。

∴原命题的逆否命题为真命题，所以原命题成立。

法二：假设a，b，c都是奇数，则a2，b2，c2都是奇数。

得a2＋b2为偶数，而c2为奇数，即a2＋b2≠c2，与a2＋b2＝c2矛盾。

所以假设不成立，从而原命题成立。

方法点评：

上述两种证明方法的本质是一致的，只是叙述的格式不同罢了，而以什么方式表达某一数学事实，这仅是阐述理由的外在表现形式，绝不影响数学事实的本质特点。

两种方法相比较，反证法更具有“程式化”特点．注意含有否定词的命题常用反证法证明。