高三第一轮复习9——机械振动和机械波 教案09

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单元切块：

按照考纲的要求，本章内容可以分成两部分，即：机械振动；机械波。其中重点是简谐运动和波的传播的规律。难点是对振动图象和波动图象的理解及应用。

  机械振动

教学目标：

1．掌握简谐运动的动力学特征和描述简谐运动的物理量；掌握两种典型的简谐运动模型——弹簧振子和单摆。掌握单摆的周期公式；了解受迫振动、共振及常见的应用

2．理解简谐运动图象的物理意义并会利用简谐运动图象求振动的振幅、周期及任意时刻的位移。

3．会利用振动图象确定振动质点任意时刻的速度、加速度、位移及回复力的方向。

教学重点：简谐运动的特点和规律

教学难点：谐运动的动力学特征、振动图象

教学方法：讲练结合，计算机辅助教学

教学过程：

一、简谐运动的基本概念

1．定义

物体在跟偏离平衡位置的位移大小成正比，并且总指向平衡位置的回复力的作用下的振动，叫简谐运动。表达式为：F= -kx

（1）简谐运动的位移必须是指偏离平衡位置的位移。也就是说，在研究简谐运动时所说的位移的起点都必须在平衡位置处。

（2）回复力是一种效果力。是振动物体在沿振动方向上所受的合力。

（3）“平衡位置”不等于“平衡状态”。平衡位置是指回复力为零的位置，物体在该位置所受的合外力不一定为零。（如单摆摆到最低点时，沿振动方向的合力为零，但在指向悬点方向上的合力却不等于零，所以并不处于平衡状态）

（4）F=-kx是判断一个振动是不是简谐运动的充分必要条件。凡是简谐运动沿振动方向的合力必须满足该条件；反之，只要沿振动方向的合力满足该条件，那么该振动一定是简谐运动。

2．几个重要的物理量间的关系

要熟练掌握做简谐运动的物体在某一时刻（或某一位置）的位移x、回复力F、加速度a、速度v这四个矢量的相互关系。

（1）由定义知：F∝x，方向相反。

（2）由牛顿第二定律知：F∝a，方向相同。

（3）由以上两条可知：a∝x，方向相反。

（4）v和x、F、a之间的关系最复杂：当v、a同向（即 v、 F同向，也就是v、x反向）时v一定增大；当v、a反向（即 v、 F反向，也就是v、x同向）时，v一定减小。

3．从总体上描述简谐运动的物理量

振动的最大特点是往复性或者说是周期性。因此振动物体在空间的运动有一定的范围，用振幅A来描述；在时间上则用周期T来描述完成一次全振动所须的时间。

（1）振幅A是描述振动强弱的物理量。（一定要将振幅跟位移相区别，在简谐运动的振动过程中，振幅是不变的而位移是时刻在改变的）

（2）周期T是描述振动快慢的物理量。（频率f=1/T 也是描述振动快慢的物理量）周期由振动系统本身的因素决定，叫固有周期。任何简谐运动都有共同的周期公式：（其中m是振动物体的质量，k是回复力系数，即简谐运动的判定式F= -kx中的比例系数，对于弹簧振子k就是弹簧的劲度，对其它简谐运动它就不再是弹簧的劲度了）。

二、典型的简谐运动

1．弹簧振子

（1）周期，与振幅无关，只由振子质量和弹簧的劲度决定。

（2）可以证明，竖直放置的弹簧振子的振动也是简谐运动，周期公式也是。这个结论可以直接使用。

（3）在水平方向上振动的弹簧振子的回复力是弹簧的弹力；在竖直方向上振动的弹簧振子的回复力是弹簧弹力和重力的合力。

【例1】 有一弹簧振子做简谐运动，则   （    ）

A．加速度最大时，速度最大   B．速度最大时，位移最大

C．位移最大时，回复力最大   D．回复力最大时，加速度最大

解析：振子加速度最大时，处在最大位移处，此时振子的速度为零，由F= - kx知道，此时振子所受回复力最大，所以选项A错，C、D对．振子速度最大时，是经过平衡位置时，此时位移为零，所以选项B错．故正确选项为C、D

点评：分析振动过程中各物理量如何变化时，一定要以位移为桥梁理清各物理量间的关系：位移增大时，回复力、加速度、势能均增大，速度、动量、动能均减小；位移减小时，回复力、加速度、势能均减小，速度、动量、动能均增大．各矢量均在其值为零时改变方向，如速度、动量均在最大位移处改变方向，位移、回复力、加速度均在平衡位置改变方向．

【例2】  试证明竖直方向的弹簧振子的振动是简谐运动．

解析：如图所示，设振子的平衡位置为O，向下方向为正方向，此时弹簧的形变为，根据胡克定律及平衡条件有

    ①

当振子向下偏离平衡位置为时，回复力（即合外力）为

    ②

将①代人②得：，可见，重物振动时的受力符合简谐运动的条件．

点评：（1）分析一个振动是否为简谐运动，关键是判断它的回复力是否满足其大小与位移成正比，方向总与位移方向相反．证明思路为：确定物体静止时的位置——即为平衡位置，考查振动物体在任一点受到回复力的特点是否满足。（2）还要知道中的k是个比例系数，是由振动系统本身决定的，不仅仅是指弹簧的劲度系数．关于这点，在这里应理解为是简谐运动回复力的定义式．而且产生简谐运动的回复力可以是一个力，也可以是某个力的分力或几个力的合力．此题中的回复力为弹力和重力的合力．

【例3】 如图所示，质量为m的小球放在劲度为k的轻弹簧上，使小球上下振动而又始终未脱离弹簧。（1）最大振幅A是多大？（2）在这个振幅下弹簧对小球的最大弹力Fm是多大？

解析：该振动的回复力是弹簧弹力和重力的合力。在平衡位置弹力和重力等大反向，合力为零；在平衡位置以下，弹力大于重力，F- mg=ma，越往下弹力越大；在平衡位置以上，弹力小于重力，mg-F=ma，越往上弹力越小。平衡位置和振动的振幅大小无关。因此振幅越大，在最高点处小球所受的弹力越小。极端情况是在最高点处小球刚好未离开弹簧，弹力为零，合力就是重力。这时弹簧恰好为原长。

（1）最大振幅应满足kA=mg，   A=

（2）小球在最高点和最低点所受回复力大小相同，所以有：Fm-mg=mg，Fm=2mg

【例4】弹簧振子以O点为平衡位置在B、C两点之间做简谐运动．B、C相距20 cm．某时刻振子处于B点．经过0.5 s，振子首次到达C点．求：

（1）振动的周期和频率；

（2）振子在5 s内通过的路程及位移大小；

（3）振子在B点的加速度大小跟它距O点4 cm处P点的加速度大小的比值．

解析：（1）设振幅为A，由题意BC＝2A＝10 cm，所以A＝10 cm．振子从B到C所用时间t＝0．5s．为周期T的一半，所以T＝1．0s；f＝1/T＝1．0Hz．

（2）振子在1个周期内通过的路程为4A。故在t＝5s＝5T内通过的路程s＝t/T×4A＝200cm．5 s内振子振动了5个周期，5s末振子仍处在B点，所以它偏离平衡位置的位移大小为10cm．

（3）振子加速度．a∝x，所以aB：aP＝xB：xp＝10：4＝5：2．

【例5】一弹簧振子做简谐运动．周期为T

A．若t时刻和（t+△t）时刻振子运动速度的大小相等、方向相反，则Δt一定等于T/2的整数倍

D．若t时刻和（t+△t）时刻振子运动位移的大小相等、方向相同，则△t一定等于T的整数倍

C．若△t＝T／2，则在t时刻和（t－△t）时刻弹簧的长度一定相等

D．若△t＝T，则在t时刻和（t－△t）时刻振子运动的加速度一定相同

解析：若△t＝T／2或△t＝nT－T/2，（n＝1，2，3．．．．），则在t 和（t＋△t）两时刻振子必在关于干衡位置对称的两位置（包括平衡位置），这两时刻．振子的位移、回复力、加速度、速度等均大小相等，方向相反．但在这两时刻弹簧的长度并不一定相等（只有当振子在t和（t－△t）两时刻均在平衡位置时，弹簧长度才相等）．反过来．若在t和（t－△t），两时刻振子的位移（回复力、加速度）和速度（动量）均大小相等．方向相反，则△t一定等于△t＝T／2的奇数倍．即△t＝（2n－1）T/2（n＝1，2，3…）．如果仅仅是振子的速度在t 和（t＋△t），两时刻大小相等方向相反，那么不能得出△t＝（2n一1）T/2，更不能得出△t＝nT/2（n＝1，2，3…）．根据以上分析．A、C选项均错．

若t和（t＋△t）时刻，振子的位移（回复力、加速度）、速度（动量）等均相同，则△t＝nT（n＝1，2，3…），但仅仅根据两时刻振子的位移相同，不能得出△t＝nT．所以B这项错．若△t＝T，在t和（t＋△t）两时刻，振子的位移、回复力、加速度、速度等均大  小相等方向相同，D选项正确。

2．单摆。

（1）单摆振动的回复力是重力的切向分力，不能说成是重力和拉力的合力。在平衡位置振子所受回复力是零，但合力是向心力，指向悬点，不为零。

（2）当单摆的摆角很小时（小于5°）时，单摆的周期，与摆球质量m、振幅A都无关。其中l为摆长，表示从悬点到摆球质心的距离，要区分摆长和摆线长。

（3）小球在光滑圆弧上的往复滚动，和单摆完全等同。只要摆角足够小，这个振动就是简谐运动。这时周期公式中的l应该是圆弧半径R和小球半径r的差。

（4）摆钟问题。单摆的一个重要应用就是利用单摆振动的等时性制成摆钟。在计算摆钟类的问题时，利用以下方法比较简单：在一定时间内，摆钟走过的格子数n与频率f成正比（n可以是分钟数，也可以是秒数、小时数……），再由频率公式可以得到：

【例6】 已知单摆摆长为L，悬点正下方3L/4处有一个钉子。让摆球做小角度摆动，其周期将是多大？

解析：该摆在通过悬点的竖直线两边的运动都可以看作简谐运动，周期分别为和，因此该摆的周期为 ： 

【例7】 固定圆弧轨道弧AB所含度数小于5°，末端切线水平。两个相同的小球a、b分别从轨道的顶端和正中由静止开始下滑，比较它们到达轨道底端所用的时间和动能：ta＿＿tb，Ea＿＿2Eb。

解析：两小球的运动都可看作简谐运动的一部分，时间都等于四分之一周期，而周期与振幅无关，所以ta= tb；从图中可以看出b小球的下落高度小于a小球下落高度的一半，所以Ea>2Eb。

【例8】 将一个力电传感器接到计算机上，可以测量快速变化的力。用这种方法测得的某单摆摆动过程中悬线上拉力大小随时间变化的曲线如右图所示。由此图线提供的信息做出下列判断：①t＝0．2s时刻摆球正经过最低点；②t＝1．1s时摆球正处于最高点；③摆球摆动过程中机械能时而增大时而减小；④摆球摆动的周期约是T＝0．6s。上述判断中正确的是       

A．①③    B．②④      C．①②    D．③④

解析：注意这是悬线上的拉力图象，而不是振动图象。当摆球到达最高点时，悬线上的拉力最小；当摆球到达最低点时，悬线上的拉力最大。因此①②正确。从图象中看出摆球到达最低点时的拉力一次比一次小，说明速率一次比一次小，反映出振动过程摆球一定受到阻力作用，因此机械能应该一直减小。在一个周期内，摆球应该经过两次最高点，两次最低点，因此周期应该约是T＝1．2s。因此答案③④错误。本题应选C。

三、简谐运动的图象

1．简谐运动的图象：以横轴表示时间t，以纵轴表示位移x，建立坐标系，画出的简谐运动的位移——时间图象都是正弦或余弦曲线．

2．振动图象的含义：振动图象表示了振动物体的位移随时间变化的规律．

3．图象的用途：从图象中可以知道：

（1）任一个时刻质点的位移    （2）振幅A．   （3）周期T

（4）速度方向：由图线随时间的延伸就可以直接看出

（5）加速度：加速度与位移的大小成正比，而方向总与位移方向相反．只要从振动图象中认清位移（大小和方向）随时间变化的规律，加速度随时间变化的情况就迎刃而解了

点评：关于振动图象的讨论

（1）简谐运动的图象不是振动质点的轨迹．做简谐运动质点的轨迹是质点往复运动的那一段线段（如弹簧振子）或那一段圆弧（如下一节的单摆）．这种往复运动的位移图象。就是以x轴上纵坐标的数值表示质点对平衡位置的位移。以t轴横坐标数值表示各个时刻，这样在x—t坐标系内，可以找到各个时刻对应质点位移坐标的点，即位移随时间分布的情况——振动图象．

（2）简谐运动的周期性，体现在振动图象上是曲线的重复性． 简谐运动是一种复杂的非匀变速运动．但运动的特点具有简单的周期性、重复性、对称性．所以用图象研究要比用方程要直观、简便．简谐运动的图象随时间的增加将逐渐延伸，过去时刻的图形将永远不变，任一时刻图线上过该点切线的斜率数值代表该时刻振子的速度大小。正负表示速度的方向，正时沿x正向，负时沿x负向．

【例9】  劲度系数为20N／cm的弹簧振子，它的振动图象如图所示，在图中A点对应的时刻

A． 振子所受的弹力大小为0．5N，方向指向x轴的负方向

B．振子的速度方向指向x轴的正方向

C． 在0～4s内振子作了1．75次全振动

D。在0～4s内振子通过的路程为0．35cm，位移为0

解析：由图可知A在t轴上方，位移x＝0．25cm，所以弹力F＝－kx＝－5N，即弹力大小为5N，方向指向x轴负方向，选项A不正确；由图可知过A点作图线的切线，该切线与x轴的正方向的夹角小于90°，切线斜率为正值，即振子的速度方向指向x轴的正方向，选项B正确．  由图可看出，t＝0、t＝4s时刻振子的位移都是最大，且都在t轴的上方，在0～4s内完成两次全振动，选项C错误．由于t＝0时刻和t＝4s时刻振子都在最大位移处，所以在0～4s内振子的位移为零，又由于振幅为0．5cm，在0～4s内振子完成了2次全振动，所以在这段时间内振子通过的路程为2×4×0．50cm＝4cm，故选项D错误．

综上所述，该题的正确选项为B．

【例10】  摆长为L的单摆做简谐振动，若从某时刻开始计时，（取作t=0），当振动至时，摆球具有负向最大速度，则单摆的振动图象是图中的（   ） 

 解析：从t=0时经过时间，这段时间为，经过摆球具有负向最大速度，说明摆球在平衡位置，在给出的四个图象中，经过具有最大速度的有C、D两图，而具有负向最大速度的只有D。所以选项D正确。

四、受迫振动与共振

1．受迫振动

物体在驱动力（既周期性外力）作用下的振动叫受迫振动。

⑴物体做受迫振动的频率等于驱动力的频率，与物体的固有频率无关。

⑵物体做受迫振动的振幅由驱动力频率和物体的固有频率共同决定：两者越接近，受迫振动的振幅越大，两者相差越大受迫振动的振幅越小。

2．共振

当驱动力的频率跟物体的固有频率相等时，受迫振动的振幅最大，这种现象叫共振。

要求会用共振解释现象，知道什么情况下要利用共振，什么情况下要防止共振。

（1）利用共振的有：共振筛、转速计、微波炉、打夯机、跳板跳水、打秋千……

（2）防止共振的有：机床底座、航海、过桥、高层建筑、火车车厢……

【例11】 把一个筛子用四根弹簧支起来，筛子上装一个电动偏心轮，它每转一周，给筛子一个驱动力，这就做成了一个共振筛。不开电动机让这个筛子自由振动时，完成20次全振动用15s；在某电压下，电动偏心轮的转速是88r/min。已知增大电动偏心轮的电压可以使其转速提高，而增加筛子的总质量可以增大筛子的固有周期。为使共振筛的振幅增大，以下做法正确的是

A．降低输入电压              B．提高输入电压

C．增加筛子质量              D．减小筛子质量

解析：筛子的固有频率为f固=4/3Hz，而当时的驱动力频率为f驱=88/60Hz，即f固< f驱。为了达到振幅增大，应该减小这两个频率差，所以应该增大固有频率或减小驱动力频率。本题应选AD。

【例12】  一物体做受迫振动，驱动力的频率小于该物体的固有频率。当驱动力的频率逐渐增大时，该物体的振幅将：（ ）

A．逐渐增大

B．先逐渐减小后逐渐增大； 

C．逐渐减小

D．先逐渐增大后逐渐减小

解析：此题可以由受迫振动的共振曲线图来判断。

受迫振动中物体振幅的大小和驱动力频率与系统固有频率之差有关。驱动力的频率越接近系统的固有频率，驱动力与固有频率的差值越小，作受迫振动的振子的振幅就越大。当外加驱动力频率等于系统固有频率时，振动物体发生共振，振幅最大。  由共振曲线可以看出，当驱动力的频率小于该物体的固有频率时，增大驱动力频率，振幅增大，直到驱动力频率等于系统固有频率时，振动物体发生共振，振幅最大。在此之后若再增大驱动力频率，则振动物体的振幅减小。

所以本题的正确答案为D。

【例13】如图所示，在一根张紧的水平绳上，悬挂有 a、b、c、d、e五个单摆，让a摆略偏离平衡位置后无初速释放，在垂直纸面的平面内振动；接着其余各摆也开始振动。下列说法中正确的有：（ ）

A．各摆的振动周期与a摆相同

B．各摆的振幅大小不同，c摆的振幅最大

C．各摆的振动周期不同，c摆的周期最长

D．各摆均做自由振动

解析：a摆做的是自由振动，周期就等于a摆的固有周期，其余各摆均做受迫振动，所以振动周期均与a摆相同。  c摆与a摆的摆长相同，所以c摆所受驱动力的频率与其固有频率相等，这样c摆产生共振，故c摆的振幅最大。

此题正确答案为A、B。

五、针对训练

1．已知在单摆a完成10次全振动的时间内，单摆b完成6次全振动，两摆长之差为1.6 m．则两单摆摆长la与lb分别为

A．la＝2.5 m，lb＝0.9 m        B．la＝0.9 m，lb＝2．5 m

C．la＝2.4 m，lb＝4.0 m        D．la＝4.0 m，lb＝2.4 m

2． 一个弹簧振子在AB间作简谐运动，O是平衡位置，以某时刻作为计时零点（）。经过周期，振子具有正方向的最大加速度。那么以下几个振动图中哪一个正确地反映了振子的振动情况？（    ）

3． 如下图所示，一个小铁球，用长约10m的细线系牢，另一端固定在O点，小球在C处平衡，第一次把小球由C处向右侧移开约4cm，从静止释放至回到C点所用时间为；第二次把小球提到O点，由静止释放，到达C点所用的时间为，则（    ）

A． >     B． =    C． <    D． 无法判断

4． 一个单摆作简谐运动，若使摆球质量变为原来的4倍，而通过平衡位置时的速度变为原来的，则（    ）

A． 频率不变，振幅不变    B． 频率不变，振幅改变

C． 频率改变，振幅不变    D． 频率改变，振幅改变

5． 甲、乙两个单摆的振动图线如图所示。根据振动图线可以断定（    ）

A．甲、乙两单摆摆长之比是4∶9           B． 甲、乙两单摆振动的频率之比是2∶3

C． 甲摆的振动能量大于乙摆的振动能量     D． 乙摆的振动能量大于甲摆的振动能量

6． 在一圆形轨道上运行的人造同步地球卫星中放一只用摆计时的挂钟，这个钟将要（    ）

A． 变慢    B． 变快    C． 停摆不走    D． 快慢不变

7． 一个单摆放在甲地，每分振动45次；放在乙地，每分振动43次。甲、乙两地重力加速度之比是__________。

8． 如图是M、N两个单摆的振动图线。M的振幅是__________厘米，周期是__________秒；N的振幅是__________厘米，周期是__________秒。开始振动后当N第一次通过平衡位置时，M的位移是__________厘米。如果两摆球质量之比是1∶2，在同一地点，摆长之比是__________。

9． 如图所示，在竖直平面内有一段光滑圆轨道MN，它所对的圆心角小于，P点是MN的中点，也是圆弧的最低点。在N  P之间的点Q和P之间搭一光滑斜面，将一小滑块（可视为质点）分别从Q点和M点由静止开始释放，设圆半径为R，则两次运动到P点所需的时间分别为__________、__________。

10． 如图16是某物体的共振曲线，若是悬挂在天花板上的单摆的共振曲线，则其摆长为L=__________（设g为已知）

11．如图所示，一块质量为2 kg、涂有碳黑的玻璃板，在拉力F的作用下竖直向上做匀变速直线运动．一个频率为5 Hz的振动方向为水平且固定的振针，在玻璃板上画出了如图所示的图线，量得OA=1 cm，OB=4 cm，OC=9 cm．求拉力F的大小． （不计一切摩擦阻力，取g=10 m/s2） 

参：

１．B 　　2． D   3． A   4． B   5． A       6． C

7． 1.09∶1

8． 20 cm，4s，10cm，8s，20cm，1：4

9． ， 

10． 

11．OA=1 cm  AB=3 cm

BC=5 cm    

因为：TOA=TAB=TBC=T/2=0.1 s

根据:Δs=aT2    

a==2 m/s2    

F-mg=ma    

得：F=mg+ma=24 N

附：

简谐运动的图象专项练习

1．一质点做简谐运动的振动图象如下图所示，由图可知t=4s时质点（    ）

A．速度为正的最大值，加速度为零

B．速度为零，加速度为负的最大值

C．位移为正的最大值，动能为最小

D．位移为正的最大值，动能为最大

2．如下图中，若质点在A对应的时刻，则其速度v、加速度a的大小的变化情况为（    ）

A．v变大，a变小               B．v变小，a变小

C．v变大，a变小               D．v变小，a变大

 3．某质点做简谐运动其图象如下图所示，质点在t=3.5s时，速度v、加速度α的方向应为（    ）

A．v为正，a为负                 B．v为负，a为正

C．v、a都为正                   D．v、a都为负

 4．如下图所示的简谐运动图象中，在t1和t2时刻，运动质点相同的量为（    ）

A．加速度          B．位移         C．速度          D．回复力

 5．如下图所示为质点P在0～4s内的振动图象，下列说法中正确的是（    ）

A．再过1s，该质点的位移是正的最大     B．再过1s，该质点的速度方向向上

C．再过1s，该质点的加速度方向向上     D．再过1s，该质点的加速度最大

 6．一质点作简谐运动的图象如下图所示，则该质点（    ）

A．在0至0.01s内，速度与加速度同方向

B．在0.01至0.02s内，速度与回复力同方向

C．在0.025s末，速度为正，加速度为负

D．在0.04s末，速度为零，回复力最大

7．如下图所示，下述说法中正确的是（    ）

A．第2s末加速度为正最大，速度为0        B．第3s末加速度为0，速度为正最大

C．第4s内加速度不断增大                  D．第4s内速度不断增大

8．一个做简谐振动的质点的振动图象如下图所示，在t1、t2、t3、t4各时刻中，该质点所受的回复力的即时功率为零的是（    ）

A．t4              B．t3                 C．t2                    D．t1

9．如下图所示为一单摆做间谐运动的图象，在0.1～0.2s这段时间内（    ）

A．物体的回复力逐渐减小               B．物体的速度逐渐减小

C．物体的位移逐渐减小                 D．物体的势能逐渐减小

 10．一个弹簧振子在A、B间做简谐运动，O为平衡位置，如下图a所示，以某一时刻作计时起点（t为0），经周期，振子具有正方向增大的加速度，那么在下图b所示的几个振动图象中，正确反映振子振动情况（以向右为正方向）的是（    ）

 11．弹簧振子做简谐运动的图线如下图所示，在t1至t2这段时间内（    ）

A．振子的速度方向和加速度方向都不变

B．振子的速度方向和加速度方向都改变

C．振子的速度方向改变，加速度方向不变

D．振子的速度方向不变，加速度方向改变

 12．如下左图所示为一弹簧振子的简谐运动图线，头0.1s内振子的平均速度和每秒钟通过的路程为（    ）

A．4m/s，4m       B．0.4m/s，4cm       C．0.4m/s，0．4m        D．4m/s，0.4m

 13．如上右图所示是某弹簧振子在水平面内做简谐运动的位移-时间图象，则振动系统在（    ）

A．t1和t3时刻具有相同的动能和动量    B．t1和t3时刻具有相同的势能和不同的动量

C．t1和t5时刻具有相同的加速度         D．t2和t5时刻振子所受回复力大小之比为2∶1

14．从如下图所示的振动图象中，可以判定弹簧振子在t=       s时，具有正向最大加速度；t=      s时，具有负方向最大速度；在时间从       s至       s内，振子所受回复力在-x方向并不断增大；在时间从      s至      s内振子的速度在+x方向上并不断增大．

 15．如下图所示为两个弹簧振子的振动图象，它们振幅之比AA∶AB=         ；周期之比TA∶TB=       ．若已知两振子质量之比mA∶mB=2∶3，劲度系数之比kA∶kB=3∶2，则它们的最大加速度之比为         ．最大速度之比         ． 

 16．一水平弹簧振子的小球的质量m=5kg，弹簧的劲度系数50N/m，振子的振动图线如下图所示．在t=1．25s时小球的加速度的大小为            ，方向            ；在t=2．75s时小球的加速度大小为            ，速度的方向为            ．

参

1．B、C  2．C  3．A  4．C  5．A、D  6．A、D  7．A、B、C  8．D  

9．A、C、D  10．D  11．D  12．C  13．B、D  

14．0.4；0.2；0.6；0.8；0.4；0.6  

15．2∶1；2∶3；9∶2；3∶1  

16．6m/s2；向上；0；向下  

17．0．1s；0．1m/s

教学后记

   内容简单，学生掌握好，两种典型模型，单摆和弹簧镇子是高考重点，注意培养学生建模能力和知识迁移能力是本节的首要任务。

 机械波

教学目标：

1．掌握机械波的产生条件和机械波的传播特点（规律）；

2．掌握描述波的物理量——波速、周期、波长；

3．正确区分振动图象和波动图象，并能运用两个图象解决有关问题

4．知道波的特性：波的叠加、干涉、衍射；了解多普勒效应

教学重点：机械波的传播特点，机械波的三大关系（波长、波速、周期的关系；空间距离和时间的关系；波形图、质点振动方向和波的传播方向间的关系）

教学难点：波的图象及相关应用

教学方法：讲练结合，计算机辅助教学

教学过程：

一、机械波

1．机械波的产生条件：①波源（机械振动）②传播振动的介质（相邻质点间存在相互作用力）。

2．机械波的分类

机械波可分为横波和纵波两种。

（1）质点振动方向和波的传播方向垂直的叫横波，如：绳上波、水面波等。

（2）质点振动方向和波的传播方向平行的叫纵波，如：弹簧上的疏密波、声波等。

3．机械波的传播

（1）在同一种均匀介质中机械波的传播是匀速的。波速、波长和频率之间满足公式：v=λf。

（2）介质质点的运动是在各自的平衡位置附近的简谐运动，是变加速运动，介质质点并不随波迁移。

（3）机械波转播的是振动形式、能量和信息。

（4）机械波的频率由波源决定，而传播速度由介质决定。

4．机械波的传播特点（规律）：

（1）前带后，后跟前，运动状态向后传。即：各质点都做受迫振动，起振方向由波源来决定；且其振动频率（周期）都等于波源的振动频率（周期），但离波源越远的质点振动越滞后。

（2）机械波传播的是波源的振动形式和波源提供的能量，而不是质点。

5．机械波的反射、折射、干涉、衍射

一切波都能发生反射、折射、干涉、衍射。特别是干涉、衍射，是波特有的性质。

（1）干涉   产生干涉的必要条件是：两列波源的频率必须相同。

需要说明的是：以上是发生干涉的必要条件，而不是充分条件。要发生干涉还要求两列波的振动方向相同（要上下振动就都是上下振动，要左右振动就都是左右振动），还要求相差恒定。我们经常列举的干涉都是相差为零的，也就是同向的。如果两个波源是振动是反向的，那么在干涉区域内振动加强和减弱的位置就正好颠倒过来了。

干涉区域内某点是振动最强点还是振动最弱点的充要条件：

①最强：该点到两个波源的路程之差是波长的整数倍，即δ=nλ

②最弱：该点到两个波源的路程之差是半波长的奇数倍，即

根据以上分析，在稳定的干涉区域内，振动加强点始终加强；振动减弱点始终减弱。

至于“波峰和波峰叠加得到振动加强点”，“波谷和波谷叠加也得到振动加强点”，“波峰和波谷叠加得到振动减弱点”这些都只是充分条件，不是必要条件。

【例1】  如图所示，S1、S2是两个相干波源，它们振动同步且振幅相同。实线和虚线分别表示在某一时刻它们所发出的波的波峰和波谷。关于图中所标的a、b、c、d四点，下列说法中正确的有

A．该时刻a质点振动最弱，b、c质点振动最强，d质点振动既不是最强也不是最弱 

B．该时刻a质点振动最弱，b、c、d质点振动都最强

C．a质点的振动始终是最弱的， b、c、d质点的振动始终是最强的

D．再过T/4后的时刻a、b、c三个质点都将处于各自的平衡位置，因此振动最弱

解析：该时刻a质点振动最弱，b、c质点振动最强，这不难理解。但是d既不是波峰和波峰叠加，又不是波谷和波谷叠加，如何判定其振动强弱？这就要用到充要条件：“到两波源的路程之差是波长的整数倍”时振动最强，从图中可以看出，d是S1、S2连线的中垂线上的一点，到S1、S2的距离相等，所以必然为振动最强点。

本题答案应选B、C

点评：描述振动强弱的物理量是振幅，而振幅不是位移。每个质点在振动过程中的位移是在不断改变的，但振幅是保持不变的，所以振动最强的点无论处于波峰还是波谷，振动始终是最强的。

【例2】 如图所示表示两列相干水波的叠加情况，图中的实线表示波峰，虚线表示波谷。设两列波的振幅均为5 cm，且图示的范围内振幅不变，波速和波长分别为1m/s和0.5m。C点是BE连线的中点，下列说法中正确的是  （    ）

A．C、E两点都保持静止不动

B．图示时刻A、B两点的竖直高度差为20cm

C．图示时刻C点正处于平衡位置且向水面上运动

D．从图示的时刻起经0.25s，B点通过的路程为20cm

解析：由波的干涉知识可知图6中的质点A、B、E的连线处波峰和波峰或波谷和波谷叠加是加强区，过D、F的连线处和过P、Q的连线处波峰和波谷叠加是减弱区。C、E两点是振动的加强点，不可能静止不动。所以选项A是错误的。

在图示时刻，A在波峰，B在波谷，它们振动是加强的，振幅均为两列波的振幅之和，均为10cm，此时的高度差为20cm，所以B选项正确。

A、B、C、E均在振动加强区，且在同一条直线上，由题图可知波是由E处向A处传播，在图示时刻的波形图线如右图所示，由图可知C点向水面运动，所以C选项正确。                                                                                      

波的周期T=/v = 0.5s，经过0.25s，即经过半个周期。在半个周期内，质点的路程为振幅的2倍，所以振动加强点B的路程为20cm，所以D选项正确。

点评：  关于波的干涉，要正确理解稳定的干涉图样是表示加强区和减弱区的相对稳定，但加强区和减弱区还是在做振动，加强区里两列波分别引起质点分振动的方向是相同的，减弱区里两列波分别引起质点分振动的方向是相反的，发生变化的是振幅增大和减少的区别，而且波形图沿着波的传播方向在前进。

（2）衍射。

①波绕过障碍物的现象叫做波的衍射。

②能够发生明显的衍射现象的条件是：障碍物或孔的尺寸比波长小，或者跟波长相差不多。

（3）波的传播原理和叠加原理。

传播原理：几列波相遇时，能够保持各自的运动状态继续传播，不互相影响。

叠加原理：介质质点的位移、速度、加速度都等于几列波单独转播时引起的位移、速度、加速度的矢量和。

波的传播原理和叠加原理并不矛盾。前者是描述波的性质：同时在同一介质中传播的几列波都是的。比如一个乐队中各种乐器发出的声波可以在空气中同时向外传播，我们仍然能分清其中各种乐器发出的不同声波。后者是描述介质质点的运动情况：每个介质质点的运动是各列波在该点引起的运动的矢量和。这好比老师给学生留作业：各个老师要留的作业与其他老师无关，是的；但每个学生要做的作业却是所有老师留的作业的总和。

【例3】  如图中实线和虚线所示，振幅、周期、起振方向都相同的两列正弦波（都只有一个完整波形）沿同一条直线向相反方向传播，在相遇阶段（一个周期内），试画出每隔T/4后的波形图。并分析相遇后T/2时刻叠加区域内各质点的运动情况。

解析：根据波的传播原理和叠加原理可作出每隔T/4后的波形图如①②③④所示。

相遇后T/2时刻叠加区域内abcde各质点的位移都是零，但速度各不相同，其中a、c、e三质点速度最大，方向如图所示，而b、d两质点速度为零。这说明在叠加区域内，a、c、e三质点的振动是最强的，b、d两质点振动是最弱的。

6．多普勒效应

当波源或者接受者相对于介质运动时，接受者会发现波的频率发生了变化，这种现象叫多普勒效应。

学习“多普勒效应”必须弄清的几个问题：

（1）当波源以速率v匀速靠近静止的观察者A时，观察者“感觉”到的频率变大了。但不是“越来越大”。

（2）当波源静止，观察者以速率v匀速靠近波源时，观察者“感觉”到的频率也变大了。

（3）当波源与观察者相向运动时，观察者“感觉”到的频率变大。 

（4）当波源与观察者背向运动时，观察者“感觉”到的频率变小。

【例4】（2004年高考科研测试）a为声源，发出声波；b为接收者，接收a发出的声波。a、b若运动，只限于在沿两者连线方向上，下列说法正确的是

A．a静止，b向a运动，则b收到的声频比a发出的高

B．a、b向同一方向运动，则b收到的声频一定比a发出的高

C．a、b向同一方向运动，则b收到的声频一定比a发出的低

D．a、b都向相互背离的方向运动，则b收到的声频比a发出的高

答案：A

二、振动图象和波的图象

1．振动图象和波的图象

振动图象和波的图象从图形上看好象没有什么区别，但实际上它们有本质的区别。

（1）物理意义不同：振动图象表示同一质点在不同时刻的位移；波的图象表示介质中的各个质点在同一时刻的位移。                               

（2）图象的横坐标的单位不同：振动图象的横坐标表示时间；波的图象的横坐标表示距离。

（3）从振动图象上可以读出振幅和周期；从波的图象上可以读出振幅和波长。

简谐振动图象与简谐横波图象的列表比较：

（1）波速v：运动状态或波形在介质中传播的速率；同一种波的波速由介质决定。

注：在横波中，某一波峰（波谷）在单位时间内传播的距离等于波速。

（2）周期T：即质点的振动周期；由波源决定。

（3）波长λ：在波动中，振动位移总是相同的两个相邻质点间的距离。

注：在横波中，两个相邻波峰（波谷）之间的距离为一个波长。

结论：

（1）波在一个周期内传播的距离恰好为波长。

由此：①v=λ/T=λf；λ=vT.    ②波长由波源和介质决定。

（2）质点振动nT（波传播nλ）时，波形不变。

（3）相隔波长整数倍的两质点，振动状态总相同；相隔半波长奇数倍的两质点，振动状态总相反。

3．波的图象的画法

波的图象中，波的图形、波的传播方向、某一介质质点的瞬时速度方向，这三者中已知任意两者，可以判定另一个。（口诀为“上坡下，下坡上” ；或者“右上右、左上左））

4．波的传播是匀速的

在一个周期内，波形匀速向前推进一个波长。n个周期波形向前推进n个波长（n可以是任意正数）。因此在计算中既可以使用v=λf，也可以使用v=s/t，后者往往更方便。

5．介质质点的运动是简谐运动（是一种变加速运动）

任何一个介质质点在一个周期内经过的路程都是4A，在半个周期内经过的路程都是2A，但在四分之一个周期内经过的路程就不一定是A了。

6．起振方向

介质中每个质点开始振动的方向都和振源开始振动的方向相同。

【例5】 在均匀介质中有一个振源S，它以50HZ的频率上下振动，该振动以40m/s的速度沿弹性绳向左、右两边传播。开始时刻S的速度方向向下，试画出在t=0.03s时刻的波形。

解析：从开始计时到t=0.03s经历了1.5个周期，波分别向左、右传播1.5个波长，该时刻波源S的速度方向向上，所以波形如右图所示。

【例6】 如图所示是一列简谐横波在t=0时刻的波形图，已知这列波沿x轴正方向传播，波速为20m/s。P是离原点为2m的一个介质质点，则在t=0.17s时刻，质点P的：①速度和加速度都沿-y方向；②速度沿+y方向，加速度沿-y方向；③速度和加速度都正在增大；④速度正在增大，加速度正在减小。

以上四种判断中正确的是

A．只有①            B．只有④

C．只有①④          D．只有②③

解析：由已知，该波的波长λ=4m，波速v=20m/s，因此周期为T=λ/v=0.2s；因为波向右传播，所以t=0时刻P质点振动方向向下；0.75 T <0.17s< T，所以P质点在其平衡位置上方，正在向平衡位置运动，位移为正，正在减小；速度为负，正在增大；加速度为负，正在减小。①④正确，选C

7．波动图象的应用：

（1）从图象上直接读出振幅、波长、任一质点在该时刻的振动位移。

（2）波动方向<==>振动方向。

方法：选择对应的半周，再由波动方向与振动方向“头头相对、尾尾相对”来判断。

如图：

【例7】如图是一列沿x轴正方向传播的机械波在某时刻的波

形图。由图可知：这列波的振幅为5cm，波长为 4m 。此时刻

P点的位移为2.5cm，速度方向为沿y轴正方向，加速度方向

沿y轴负方向； Q点的位移为－5cm，速度为  0 ，加速度方

向沿y轴正方向。

【例8】如图是一列波在t1=0时刻的波形，波的传播速度

为2m/s，若传播方向沿x轴负向，则从t1=0到t2=2.5s的时间

内，质点M通过的路程为______，位移为_____。                     

解析：由图：波长λ=0.4m，又波速v=2m/s，可得：

周期T=0.2s，所以质点M振动了12.5T。

对于简谐振动，质点振动1T，通过的路程总是4A；振动0.5T，通过的路程总是2A。

所以，质点M通过的路程12×4A+2A=250cm=2.5m。质点M振动12.5T时仍在平衡位置。

所以位移为0。

【例9】在波的传播方向上，距离一定的P与Q点之间只有一个波谷的四种情况，如图A、B、C、D所示。已知这四列波在同一种介质中均向右传播，则质点P能首先达到波谷的是（  ）

解析：四列波在同一种介质中传播，则波速v应相同。由T=λ/v得：TD>TA=TB>TC；

再结合波动方向和振动方向的关系得：C图中的P点首先达到波谷。

（3）两个时刻的波形问题：设质点的振动时间（波的传播时间）为t，波传播的距离为x。

则：t=nT+△t即有x=nλ+△x （△x=v△t） 且质点振动nT（波传播nλ）时，波形不变。

①根据某时刻的波形，画另一时刻的波形。

方法1：波形平移法：当波传播距离x=nλ+△x时，波形平移△x即可。

方法2：特殊质点振动法：当波传播时间t=nT+△t时，根据振动方向判断相邻特殊点（峰点，谷点，平衡点）振动△t后的位置进而确定波形。

②根据两时刻的波形，求某些物理量（周期、波速、传播方向等）

【例10】如图是一列向右传播的简谐横波在某时刻的波形图。

已知波速v=0.5m/s，画出该时刻7s前及7s后的瞬时波形图。

解析：λ=2m，v=0.5m/s，T ==4 s.所以⑴波在7s内传播

的距离为x=vt=3.5m=1λ⑵质点振动时间为1T。

方法1  波形平移法：现有波形向右平移λ可得7s后的波形；

现有波形向左平移λ可得7s前的波形。 

由上得到图中7s后的瞬时波形图（粗实线）和7s前的瞬时波形图（虚线）。

方法2   特殊质点振动法：根据波动方向和振动方向的关系，确定两个特殊点（如平衡点和峰点）在3T/4前和3T/4后的位置进而确定波形。请读者试着自行分析画出波形。

【例11】如图实线是某时刻的波形图象，虚线是经过0.2s

时的波形图象。求：

①波传播的可能距离 ②可能的周期（频率）

③可能的波速  ④若波速是35m/s，求波的传播方向   

⑤若0.2s小于一个周期时，传播的距离、周期（频率）、波速。

解析： 

①题中没给出波的传播方向，所以有两种可能：向左传播或向右传播。

向左传播时，传播的距离为x=nλ+3λ/4=（4n+3）m  （n=0、1、2  …）

向右传播时，传播的距离为x=nλ+λ/4=（4n+1）m   （n=0、1、2  …）

②向左传播时，传播的时间为t=nT+3T/4得：T=4t/（4n+3）=0.8 /（4n+3）（n=0、1、2  …）

向右传播时，传播的时间为t=nT+T/4得：T=4t/（4n+1）=0.8 /（4n+1）   （n=0、1、2  …）

③计算波速，有两种方法。v=x/t   或v=λ/T

向左传播时，v=x/t=（4n+3）/0.2=（20n+15）m/s. 或v=λ/T=4 （4n+3）/0.8=（20n+15）m/s.（n=0、1、2  …）

向右传播时，v=x/t=（4n+1）/0.2=（20n+5）m/s. 或v=λ/T=4 （4n+1）/0.8=（20n+5）m/s. （n=0、1、2  …）

④若波速是35m/s，则波在0.2s内传播的距离为x=vt=35×0.2m=7m=1λ，所以波向左传播。

⑤若0.2s小于一个周期，说明波在0.2s内传播的距离小于一个波长。则：

向左传播时，传播的距离x=3λ/4=3m；传播的时间t=3T/4得：周期T=0.267s；波速v=15m/s.向右传播时，传播的距离为λ/4=1m；传播的时间t=T/4得：周期T=0.8s；波速v =5m/s.

点评：做此类问题的选择题时，可用答案代入检验法。

（4）根据波的传播特点（运动状态向后传）确定某质点的运动状态问题：

【例12】一列波在介质中向某一方向传播，如图是此波在某一时刻的波形图，且此时振动还只发生在M、N之间，并知此波的周期为T，Q质点速度方向在波形中是向下的。则：波源是_____；P质点的起振方向为_________；从波源起振开始计时时，P点已经振动的时间为______。

解析：由Q点的振动方向可知波向左传播，N是波源。

由M点的起振方向（向上）得P质点的起振方向向上。振动从N点传播到M点需要1T，传播到P点需要3T/4，所以质点P已经振动的时间为T/4.

【例13】如图是一列向右传播的简谐横波在t=0时刻（开始计时）的波形图，已知在t=1s时，B点第三次达到波峰（在1s内B点有三次达到波峰）。则： 

①周期为________             ②波速为______；

③D点起振的方向为_________；④在t=____s时刻，此波传到D点；在t=____s和t=___s时D点分别首次达到波峰和波谷；在t=____s和t=___s时D点分别第二次达到波峰和波谷。

解析：

①B点从t=0时刻开始在经过t=2.5T=1s第三次达到波峰，故周期T=0.4s.  

②由v=λ/T=10m/s.  

③D点的起振方向与介质中各质点的起振方向相同。在图示时刻，C点恰好开始起振，由波动方向可知C点起振方向向下。所以，D点起振方向也是向下。

④从图示状态开始计时：此波传到D点需要的时间等于波从C点传播到D需要的时间，即：t=（45－4）/10=4.1s；   D点首次达到波峰的时间等于A质点的振动状态传到D点需要的时间，即：t=（45－1） /10=4.4s； D点首次达到波谷的时间等于B质点的振动状态传到D点需要的时间，即：t=（45－3）/10=4.2s；D点第二次达到波峰的时间等于D点首次达到波峰的时间再加上一个周期，即：t=4.4 s+0.4s=4.8 s.  D点第二次达到波谷的时间等于D点首次达到波峰的时间再加上一个周期，即：t=4.2s+0.4s=4.6s.

【例14】  已知在t1时刻简谐横波的波形如图中实线所示；在时刻t2该波的波形如图中虚线所示。t2-t1 = 0.02s。求：

（1）该波可能的传播速度。

（2）若已知T< t2-t1<2T，且图中P质点在t1时刻的瞬时速度方向向上，求可能的波速。

（3）若0.01s解析：（1）如果这列简谐横波是向右传播的，在t2-t1内波形向右匀速传播了，所以波速=100（3n+1）m/s （n=0，1，2，…）；同理可得若该波是向左传播的，可能的波速v=100（3n+2）m/s  （n=0，1，2，…）

（2）P质点速度向上，说明波向左传播，T< t2-t1 <2T，说明这段时间内波只可能是向左传播了5/3个波长，所以速度是唯一的：v=500m/s

（3）“Q比R先回到平衡位置”，说明波只能是向右传播的，而0.01s三、声波

1．空气中的声波是纵波。

2．空气中的声速可认为是340m/s，水中的声速是1450m/s，铁中的声速是5400m/s。

3．人耳可以听到的声波的频率范围是20Hz-20000Hz。频率低于20Hz的声波叫次声波，频率高于20000Hz的声波叫超声波。

4．人耳只能区分开相差0.1s以上的两个声音。

5．声波也能发生反射、干涉和衍射等现象。声波的共振现象称为声波的共鸣。

四、针对训练

1．（2004年全国理综卷）一列简谐横波沿x轴负方向传播，图1是t=1s时的波形图，图2是波中某振动质元位移随时间变化的振动图线（两图用同一时间起点），则图2可能是图1中哪个质元的振动图线？

A．x=0处的质元              B．x =1m处的质元

C．x =2m处的质元            D．x =3m处的质元

2．图中是观察水面波衍射的实验装置，AC和BD是两块挡板，AB是一个孔，O为波源，图中已画出波源所在区域波的传播情况，每两条相邻波纹（图中曲线）之间距离表示一个波长，则波经过孔之后的传播情况，下列描述正确的是：

A．此时能明显观察到波的衍射现象；

B．挡板前后波纹间距离相等；

C．如果将孔AB扩大，有可能观察不到明显的衍射现象；

D．如果孔的大小不变，使波源频率增大，能更明显地观察到衍射现象。

3．（2002年广东、广西卷）一列在竖直方向振动的简谐横波，波长为λ，沿 x 轴正方向传播.某一时刻，在振动位移向上且大小等于振幅一半的各点中，任取相邻的两点 P1、P2，已知P1的 x 坐标小于P2的 x 坐标.

A.若＜，则P1向下运动，P2向上运动

B.若＜，则P1向上运动，P2向下运动

C.若＞，则P1向上运动，P2向下运动

D.若＞，则P1向下运动，P2向上运动

4．如图所示，一根张紧的水平弹性长绳上的 a、b两点，相 距14.0 m ，b 点在 a点的右方.当一列简谐横波沿此绳向右传播时，若 a点的位移达到正极大时，b点的位移恰为零，且向下运动.经过1.00 s 后，a点的位移为零，且向下运动，而 b点的位移恰达到负极大.则这简谐横波的波速可能等于

A.14 m/s           B.10 m/s           C.6 m/s           D.4.67 m/s

5．简谐横波在某时刻的波形图线如图所示，由此图可知

A．若质点 a向下运动，则波是从左向右传播的

B．若质点b向上运动，则波是从左向右传播的

C.若波从右向左传播，则质点 c向下运动

D．若波从右向左传播，则质点d向上运动

6．如图所示，O是波源，a、b、c、d是波传播方向上各质点的平衡位置，且Oa=ab=bc=cd=3 m，开始各质点均静止在平衡位置，t=0时波源O开始向上做简谐运动，振幅是0.1 m，波沿Ox 方向传播，波长是8 m，当O 点振动了一段时间后，经过的路程是0.5 m ，各质点运动的方向是

A．a 质点向上          B．b质点向上        C．c质点向下      D．d质点向下

7．如图在x y平面内有一沿x轴正方向传播的简谐横波，波速为1 m/s，振幅为4 cm，频率为2.5 Hz.在t=0时刻，P点位于其平衡位置上方最大位移处，则距P为0.2 m的Q点（见图）

A．在0.1 s时的位移是4 cm              B．在0.1 s时的速度最大

C．在0.1 s时的速度向下                 D．在0到0.1 s时间内的路程是4 cm

8．一列简谐横波，在t=0时刻的波形如图8-13所示，自右向左传播，已知在t1 =0.7 s时，P点出现第二次波峰（0.7 s内P点出现两次波峰），Q点的坐标是（-7，0），则以下判断中正确的是

A．质点A和质点B在t=0时刻的位移是相等的

B．在t=0时刻，质点C向上运动

C．.在t2=0.9 s 末，Q点第一次出现波峰

D．在t3=1.26 s 末，Q点第一次出现波峰

9．如图所示，一列沿 x 正方向传播的简谐横波，波速大小为 0.6 m/s ，P点的横坐标为96 cm ，从图中状态开始计时，求：

（1）经过多长时间，P质点开始振动，振动时方向如何？

（2）经过多少时间，P质点第一次到达波峰？

参：

1．A    2．ABC   3．AC   4．BD

5．BD   6．A    7．BD   8．BC

9．解析：开始计时时，这列波的最前端的质点坐标是24 cm ，根据波的传播方向，可知这一点沿 y轴负方向运动，因此在波前进方向的每一个质点开始振动的方向都是沿 y轴负方向运动，故P点开始振动时的方向是沿 y 轴负方向，P质点开始振动的时间是

（1）t==1.2 s

（2）用两种方法求解

质点振动法：这列波的波长是λ=0.24 m，故周期是

T==0.4 s

经过1.2 s，P质点开始振动，振动时方向向下，故还要经过T才能第一次到达波峰，因此所用时间是1.2 s+0.3 s=1.5 s.

波形移动法：质点P第一次到达波峰，即初始时刻这列波的波峰传到P点，因此所用的时间是

t′==1.5 s

教学后记

     机械波的传播特点，机械波的三大关系（波长、波速、周期的关系；空间距离和时间的关系；波形图、质点振动方向和波的传播方向间的关系）是考查重点，高考多以选

择题出现，且每年必考，这部分复习以小题型为主。