广东惠阳高级中学2010届高三文科数学高考前模拟试题

参考公式：锥体的体积公式，其中是锥体的底面积，是锥体的高

 一、选择题：（本大题共10小题。每小题5分共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填在答题卡里。）

1、已知集合，，则（  ）

A．        B．        C．      D． 

2、复数等于（ ）

A．         B．        C．           D．

3、下列说法错误的是（  ）                

    A．如果命题“”与命题“”都是真命题，那么命题q一定是真命题；

    B．命题“若”的否命题是：“若”；

    C．若命题p：；

    D．“”是“”的充分不必要条件

4、下列函数中,既是偶函数又在上单调递增的是（ ）

A．          B．         C．         D． 

5、若平面向量与的夹角是，且，则的坐标为（ ）

A．        B．        C．        D．

6、一个容量为10的样本数据，组成一个公差不为0的等差数列，若，且成等比数列，则此样本的平均数和中位数分别是（A）

    A．13，13    B．13，12    

    C．12，13    D．13，14

7、某程序框图如图所示，该程序运行后输出的值是 （  ）

    A．31    B．27

    C．63    D．15

8、已知、是三个互不重合的平面，是一条直线，给出下列命题中正确命题是（  ）

A．若，则            

B．若，则

C．若上有两个点到的距离相等，则   

D．若，则

9、函数在区间上是增函数，且，则（ ）

A.1              B.                C.               D.0

10、若直线被圆截得的弦长为4，则的最小值是（  ）

  A.5             B.6            C.8            D.9

二、填空题(本大题共5小题，考生做答4小题，每小题5分，共20分)

(一)必做题(11～13题)

11．某市高三数学抽样考试中，对90分以上

（含90分）的成绩进行统计，其频率分布图

如图所示，若130—140分数段的人数为90人，

则90—100分数段的人数为            

12、如图，三棱柱的棱长为2，底面是边长为2

的正三角形，AA1⊥面A1B1C1，正视图是边长

为2的正方形，则左视图的面积为            

13、曲线在点处的切线方程是            

(二)选做题(14～15题考生只能从中选作一题)

14.（坐标系与参数方程选做题）若直线与圆（为参数）相切，则实数m的值是_______

15.（几何证明选讲选做题）如图，AB为⊙O的直径，

 AC切⊙O于点A，且，过C的割线CMN交

AB的延长线于点D，CM=MN=ND，则AD的长等于_______.

三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

16．（本题满分12分）

    在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，

已知且 

（I）求角C的大小 ；

（II）求△ABC的面积。

17、（本题满分12分）

甲乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩后，得到如下的列联表.

(Ⅰ)请完成上面的列联表；

(Ⅱ)根据列联表的数据，若按的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系” .

(Ⅲ)若按下面的方法从甲班优秀的学生抽取一人：把甲班优秀的10名学生从2到11进行编号，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数之和为被抽取人的序号.试求抽到6或10号的概率.

参考公式: 

18、（本题满分14分）

如图所示几何体中，平面PAC⊥平面，，PA = PC,，，，若该几何体左视图（侧视图）的面积为．

（1）求证：PA⊥BC；

（2）画出该几何体的主视图（正视图）并求其面积S； 

（3）求出多面体的体积V．

19、（本题满分14分）

广东某公司为了应对美国次贷案所造成的全球性金融危机，决定适当进行裁员．已知这家公司现有职工人，每人每年可创利润10万元．根据测算，在经营条件不变的前提下，若裁员人数不超过现有人数的20%，则每裁员1人，留岗员工每人每年就能多创利润0.1万元；若裁员人数超过现有人数的20%，则每裁员1人，留岗员工每人每年就能多创利润0.12万元．为保证公司的正常运转，留岗的员工数不得少于现有员工人数的70%．为保障被裁员工的生活，公司要付给被裁员工每人每年2万元的生活费．设公司裁员人数为，公司一年获得的纯收入为万元．（注：年纯收入年利润–裁员员工的生活费）

（1）求出与的函数关系式；

（2）为了获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人？

20、（本题满分14分）

    已知椭圆的两个焦点为，在椭圆上，且

.

(1)求椭圆方程；

(2)若直线过圆的圆心，交椭圆于两点，且关于点对称，求直线的方程.

21、（本题满分14分）

已知数列｛｝中，，点在直线y=x上，其中n=1,2,3….

(Ⅰ)令，求证数列是等比数列；

(Ⅱ)求数列的通项；

(Ⅲ)设、分别为数列、的前n项和，是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，试求出，若不存在,则说明理由。

广东中学2010届高三文科数学高考前模拟试题

答案

 一、选择题：（本大题共10小题。每小题5分共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填在答题卡里。）

11、810                        12、                    13、

14、10或0                    15、

三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

16．（本题满分12分）

    在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，

已知且

（I）求角C的大小 ；

（II）求△ABC的面积。

解：（I）由

得    …………3分

整理，得    

解得：

    …………6分

（2）由余弦定理得：，即

    …………9分

 …………12分

17、（本题满分12分）

甲乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩后，得到如下的列联表.

(Ⅰ)请完成上面的列联表；

(Ⅱ)根据列联表的数据，若按的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系” .

(Ⅲ)若按下面的方法从甲班优秀的学生抽取一人：把甲班优秀的10名学生从2到11进行编号，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数之和为被抽取人的序号.试求抽到6或10号的概率.

参考公式: 

解：(Ⅰ)

 (Ⅱ)根据列联表中的数据，得到

因此有95%的把握认为“成绩与班级有关系”。            …………6分

(Ⅲ)设“抽到6或10号”为事件A，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数为（x，y）。

所有的基本事件有（1，1）、（1，2）、（1，3）、……、（6，6），共36个。        …………8分

事件A包含的基本事件有：

（1，5）、（2，4）、（3，3）、（4，2）、（5，1）、

（4，6）、（5，5）、（6、4），共8个        …………10分

        …………11分

答：有95%的把握认为“成绩与班级有关系”，抽到6或10号的概率为        …………12分

18、（本题满分14分）

如图所示几何体中，平面PAC⊥平面，，PA = PC,，，，若该几何体左视图（侧视图）的面积为．

（1）求证：PA⊥BC；

（2）画出该几何体的主视图（正视图）并求其面积S； 

（3）求出多面体的体积V．

解：（1），BC=2，，，∴，        …………2分

∵平面PAC⊥平面，平面PAC∩平面=AC,

∴BC⊥平面PAC 

∵PA平面PAC，  ∴PA⊥BC.         …………4分

（2）该几何体的主视图如下：

        …………6分

∵PA = PC，取AC的中点D，连接PD，则PD⊥AC，

又平面PAC⊥平面，则PD⊥平面ABC，

∴几何体左视图的面积===．

∴PD=，并易知是边长为1的正三角形，…………8分

∴主视图的面积是上、下底边长分别为1和2，PD的长为高的直角梯形的面积，

∴S=.         …………10分

（3）取PC的中点N，连接AN，由是边长为1的正三角形，可知AN⊥PC，

由（1）BC⊥平面PAC，可知AN⊥BC，

∴AN⊥平面PCBM，

∴AN是四棱锥A—PCBM的高且AN= ，…………12分

由BC⊥平面PAC，可知BC⊥PC，

由可知四边形PCBM是上、下底边长分别为1和2，PC的长1为高的

直角梯形，其面积． ．…………14分

19、（本题满分14分）

广东某公司为了应对美国次贷案所造成的全球性金融危机，决定适当进行裁员．已知这家公司现有职工人，每人每年可创利润10万元．根据测算，在经营条件不变的前提下，若裁员人数不超过现有人数的20%，则每裁员1人，留岗员工每人每年就能多创利润0.1万元；若裁员人数超过现有人数的20%，则每裁员1人，留岗员工每人每年就能多创利润0.12万元．为保证公司的正常运转，留岗的员工数不得少于现有员工人数的70%．为保障被裁员工的生活，公司要付给被裁员工每人每年2万元的生活费．设公司裁员人数为，公司一年获得的纯收入为万元．（注：年纯收入年利润–裁员员工的生活费）

（1）求出与的函数关系式；

（2）为了获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人？

（1）当，，

即， …………2分

当时，

  …………4分

∴与的函数关系式为        …………6分，                  

（2）由，

而，则时，；    …………9分

由

而，则时，；   …………12分

由于，则当时，公司获利最大，     …………13分

答：裁员50人时，公司获得最大的经济效益．  …………14分

20、（本题满分14分）

    已知椭圆的两个焦点为，在椭圆上，且

.

(1)求椭圆方程；

(2)若直线过圆的圆心，交椭圆于两点，且关于点对称，求直线的方程.

解:(1),, 

,

,    

.        …………4分

所以椭圆.…………6分

(2)设,

,

即.    …………9分

又因圆的方程为,所以 (-3,1),又因关于点对称，

即为的中点，

,

,

.…………12分

，即.…………14分

21、（本题满分14分）

已知数列｛｝中，在直线y=x上，其中n=1,2,3….

(Ⅰ)令

(Ⅱ)求数列

(Ⅲ)设的前n项和,是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，试求出，若不存在,则说明理由。

解：（I）由已知得  

又

            …………2分

是以为首项，以为公比的等比数列.             …………4分

（II）由（I）知，

…………6分

将以上各式相加得：

…………8分

（III）存在，使数列是等差数列，先证明如下

…………10分

…………12分

数列是等差数列的充要条件是、是常数

即

又

当且仅当，即时，数列为等差数列. …………14分