2021-2022学年广西桂林市高一(上)期末数学试卷(附答案详解)

一、单选题（本大题共12小题，共48.0分）

1.下列关系中，正确的是

A.     B.     C.     D. 

2.命题“，使得”的否定是

A. ，使得    B. ，使得

C. ，使得    D. ，使得

3.要完成下列两项调查：

某社区有户高收入家庭，户中等收入家庭，户低收入家庭，从中抽取户调查消费购买力的某项指标；

从某中学高二年级的名体育特长生中抽取人调查学习负担情况．

应采取的抽样方法是

A. 用系统抽样法，用简单随机抽样法

B. 用分层抽样法，用系统抽样法

C. 用分层抽样法，用简单随机抽样法

D. 都用分层抽样法

4.在同一坐标系中，函数与的大致图象是

A.     B. 

C.     D. 

5.若，则下列不等式一定成立的是

A.     B.     C.     D. 

6.“”是“”的

A. 充分不必要条件    B. 必要不充分条件

C. 充要条件    D. 既不充分也不必要条件

7.甲、乙两人破译一份电报，甲能破译的概率为，乙能破译的概率为，且两人是否破译成功互不影响，则两人都成功破译的概率为

A.     B.     C.     D. 

8.若，则的最小值等于

A.     B.     C.     D. 

9.已知函数，，则

A.     B.     C.     D. 

10.函数的零点所在的一个区间是

A.     B.     C.     D. 

11.设，则，，的大小关系是

A.     B.     C.     D. 

12.函数的单调递减区间是

A.     B.     C.     D. 

二、多选题（本大题共3小题，共12.0分）

13.下列函数中是偶函数，且在上为增函数的有

A.     B.     C.     D. 

14.从装有个红球和个白球的口袋中任取个球，那么互斥而不对立的事件是

A. 恰有个红球与恰有个红球    B. 至少有个白球与都是红球

C. 恰有个红球与恰有个白球    D. 至少有个红球与至少有个白球

15.已知是定义域为的奇函数，函数，当时，恒成立，则

A. 在上单调递增

B. 的图象与轴有个交点

C. 

D. 不等式的解集为

三、填空题（本大题共5小题，共20.0分）

16.已知幂函数的图象经过点，则______．

17.函数的定义域为______．

18.已知，，用，表示为______．

19.已知，，若，则的最小值是______．

20.已知一组样本数据，，，，的极差为若，则其方差为______．

四、解答题（本大题共7小题，共70.0分）

21.已知全集，，．

求；

求．

22.已知函数．

用定义证明函数在区间上单调递增；

求函数的最大值和最小值．

23.为适应新冠肺炎疫情长期存在的新形势，打好疫情防控的主动仗，某学校大力普及科学防疫知识，现需要在名女生、名男生中任选人担任防疫宣讲主持人，每位同学当选的机会是相同的．

写出试验的样本空间，并求当选的名同学中恰有名女生的概率；

求当选的名同学中至少有名男生的概率．

24.某种产品的成本是元件，试销阶段每件产品的售价单位：元与产品的日销售量单位：件之间有如表所示的关系：

当每件产品的售价为多少时日利润单位：元最大，并求最大值．

25.某校对名高一学生的某次数学测试成绩进行统计，分成，，，，五组，得到如图所示频率分布直方图．

求图中的值；

估计该校高一学生这次数学成绩的众数和平均数；

估计该校高一学生这次数学成绩的分位数．

26.已知函数的图象恒过定点，且点又在函数的图象．

求实数的值；

解不等式；

有两个不等实根时，求的取值范围．

27.己知函数是定义域为的奇函数．

求实数的值；

若，不等式在上恒成立，求实数的取值范围；

若，且函数在上最小值为，求的值．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：根据元素与集合的关系，用符号，

，，，，可知C正确．

故选：．

根据元素与集合的关系，用符号，可得结论．

本题考查元素与集合的关系，比较基础．

2.【答案】

【解析】解：命题：“，使得”的否定：，使得，

故选：．

根据已知中的原命题，结合全称命题否定的方法，可得答案．

本题考查的知识点是全称命题，命题的否定，难度不大，属于基础题．

3.【答案】

【解析】解：由于家庭收入差异较大，故应该使用分层抽样．

从某中学高二年级的名体育特长生中抽取人调查学习负担情况，由于人数较少，故使用简单随机抽样，

故选：

根据抽样的定义分别进行判断即可．

本题主要考查抽样的应用，根据抽样的定义分别进行判断是解决本题的关键．比较基础．

4.【答案】

【解析】解：由函数与均为增函数，其图象上升，

故选：．

由指数函数和对数函数的图象可得结论．

本题考查函数的图象的判断，考查数形结合思想，属于基础题．

5.【答案】

【解析】解：对于，令，，满足，但，故A错误，

对于，，，

由不等式的可加性可得，，故B正确，

对于，当时，，故C错误，

对于，令，，满足，满足，故D错误．

故选：．

根据已知条件，结合不等式的可加性，以及特殊值法，即可求解．

本题主要考查了不等式的性质，掌握特殊值是解本题的关键，属于基础题．

6.【答案】

【解析】

【分析】

“”“”，反之不成立．即可判断出结论．

本题考查了不等式的解集、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

【解答】

解：“”“”，反之不成立．

因此“”是“”的充分不必要条件．

故选：．  

7.【答案】

【解析】解：甲、乙两人破译一份电报，甲能破译的概率为，乙能破译的概率为，

且两人是否破译成功互不影响，

则两人都成功破译的概率为．

故选：．

利用相互事件概率乘法公式直接求解．

本题考查概率的求法，考查相互事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

8.【答案】

【解析】解：若，则，

则，

当且仅当时取等号，

的最小值等于．

故选：．

利用基本不等式求最值即可．

本题考查了基本不等式在求最值中的应用，属于中档题．

9.【答案】

【解析】解：函数，，

，

则．

故选：．

求出，从而，由此能求出结果．

本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

10.【答案】

【解析】

【分析】

先判定已知函数的单调性，然后结合选项检验区间端点的函数值的正负，然后结合零点判定定理即可求解

本题主要考查了函数的零点的判定定理的简单应用，属于基础试题

【解答】

解：由已知可知，函数单调递增且连续

，，，

由函数的零点判定定理可知，函数的一个零点所在的区间是

故选C  

11.【答案】

【解析】解：，，，

，

故选：．

利用对数函数及指数函数的单调性及特值，比较三个数的大小．

本题考查了对数函数及指数函数的单调性，属于基础题．

12.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查复合函数的单调性，以及单调区间的求法．对应复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”，是中档题

由对数式的真数大于求出原函数的定义域，再求出内函数的减区间，结合复合函数的单调性得答案

【解答】

解：由，得或，

函数的定义域为，

又内层函数的对称轴方程为，

则内函数在上为减函数，在上为增函数，

且外层函数对数函数为定义域内的增函数，

故复合函数数的单调递减区间为．

故选：．  

13.【答案】

【解析】解：为奇函数，故A错误；

为偶函数，且在上为增函数，故B正确；

为奇函数，故C错误；

为偶函数，且在上为增函数，故D正确．

故选：．

由常见函数的奇偶性和单调性可得结论．

本题考查函数的奇偶性和单调性的判断，考查推理能力，属于基础题．

14.【答案】

【解析】解：从装有个红球和个白球的口袋中任取个球，

对于，恰有个红球与恰有个红球不能同时发生，能同时不发生，是互斥而不对立事件，故A正确；

对于，至少有个白球与都是红球是对立事件，故B错误；

对于，恰有个红球与恰有个白球不能同时发生，能同时不发生，是互斥而不对立事件，故C正确；

对于，至少有个红球与至少有个白球能同时发生，不是互斥事件，故D错误．

故选：．

利用互斥事件、对立事件的定义直接求解．

本题考查互斥而不对立事件的判断，考查互斥事件、对立事件的定义等基础知识，是基础题．

15.【答案】

【解析】解：因为当时，恒成立，

即恒成立，

所以在时恒成立，

即在上单调递减，故A错误；

由是定义域为的奇函数，得也为的奇函数，且，

所以，的图象与轴有个交点，故B正确；

由得，

所以，故C正确；

由在上单调递减且为奇函数，，

则得或，故D 错误．

故选：．

由题意可得在时恒成立，推得的奇偶性和单调性，可得结论．

本题考查函数的奇偶性和单调性的定义和运用，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．

16.【答案】

【解析】解：幂函数的图象经过点，，，，

则，

故答案为：．

由题意，利用幂函数的定义和性质，求得函数的解析式，从而求得的值．

本题主要考查幂函数的定义和性质，属于基础题．

17.【答案】

【解析】解：函数，

，

解得且，

的定义域为．

故答案为：．

根据函数的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可．

本题考查了根据函数解析式求定义域的应用问题，是基础题．

18.【答案】

【解析】解：，

故答案为：．

利用换底公式结合对数的运算性质求解．

本题主要考查了对数的运算性质，以及换底公式的应用，属于基础题．

19.【答案】

【解析】解：，，，

，

当且仅当时取等号，

的最小值是，

故答案为：．

先变形得到，再利用基本不等式求最值即可．

本题考查了基本不等式在求最值中的应用，属于中档题．

20.【答案】

【解析】解：根据题意，样本数据，，，，的极差为，而，

则必有或，

解可得或，又由，则，

数据为，，，，，其平均数，

则其方差；

故答案为：．

根据题意，由数据的极差分析可得的值，进而由方差公式计算可得答案．

本题考查数据的方差、极差的计算，注意求出的值，属于基础题．

21.【答案】解：因为，，

所以．

，，，

所以，

所以．

【解析】利用交集的定义直接求解．

先求出，再由并集的定义，求出．

本题考查集合的运算，考查交集、补集、并集的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

22.【答案】证明：任取，且，分分 

，且，，，分 

，即 

函数在上为增函数．分 

解：由知，函数在区间单调递增，

当时，函数取得最小值，为，分 

当时，函数取得最大值，为，分 

所以函数在上的最大值为，最小值为分

【解析】利用定义法即可证明的单调性；

利用单调性即可求解最值．

本题主要考查函数单调性的证明与函数最值的求法，考查运算求解能力，属于基础题．

23.【答案】解：将名女生，名男生分别用，；，，表示，

则从名同学中任选名同学试验的样本空间为，，，，，

，，，，，共有个样本点，

设事件当选的名同学中恰有名女生，

则，，，，，，样本点有个，

，

即当选的名同学中恰有名女生的概率是．

设事件当选的名同学中至少有名男生，事件当选的名同学中全部都是女生，事件，为对立事件，

因为，，

．

即当选的名同学中至少有名男生的概率是．

【解析】列举出样本空间，求出基本事件总数和事件包含的基本事件数，再利用古典概型的概率计算公式求解即可．

利用对立事件求解即可．

本题主要考查古典概型的概率计算公式，属于中档题．

24.【答案】解：适合，理由如下：

把，分别代入，得 

解得则，

把，分别代入，检验成立．

设日利润为单位：元，

则，

当时，，

则当每件产品的售价为元时日利润最大，且最大值为元．

【解析】本题考查函数的实际应用，考查学生的运算能力，属于中档题．

代入表中数据解方程即可求出；

求出日利润的解析式，再求函数的最值即可．

25.【答案】解：由于组距为，所以有，

解得．

众数为，

平均数为．

因为到的频率和为，到的频率和为，

所以分位数为．

【解析】利用频率分布直方图的性质列方程，能求出．

利用频率分布直方图能求出众数，平均数．

到的频率和为，到的频率和为，由此能求出分位数．

本题考查频率、众数、平均数、分位数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

26.【答案】解：函数的图象恒过定点，

分

又点在函数上，

，

，

分

分

不等式的解集为分

分

若，，

；

；

若，则，

；

，故的取值范围为分

【解析】依题意，可求得，将其代入的解析式即可求得实数的值；

利用对数函数的性质即可求得不等式的解集；

由，通过对的符号分类讨论可求得的范围，从而可求得的取值范围．

本题考查指数函数与对数函数的性质，考查解不等式，考查转化思想与分类讨论思想，考查综合分析与运算的能力，属于难题．

27.【答案】解：因为是定义域为的奇函数，所以，

所以，所以，经检验，当时，为上的奇函数；

由知：，

因为，所以，又且，所以，

所以是上的单调递减函数，

又是定义域为的奇函数，

所以，

即在上恒成立，

所以，即，

所以实数的取值范围为；

因为，所以，解得或舍去，

所以，

令，则，

因为在上为增函数，且，所以，

因为在上最小值为，

所以在上的最小值为，

因为的对称轴为，

所以当时，，解得或舍去，

当时，，解得，

综上可知：．

【解析】由奇函数的定义和性质，可得所求值；

求得的单调性，应用二次函数的性质解不等式可得所求范围；

求得，应用指数函数的单调性和换元法，可得所求值．

本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和应用，考查转化思想和运算能力，属于中档题．