四川省绵阳市南山中学2014-2015学年高一上学期期末数学试卷 Word版含...

一、填空题：本大题共10小题．每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．

1．（4分）tan（﹣225°）的值等于（）

    A．    ﹣1    B．    1    C．    ﹣    D．    

2．（4分）设集合A={a，b，c}，B={0，1}，则从A到B的映射共有（）

    A．    6个    B．    8个    C．    7个    D．    5个

3．（4分）已知α是第三象限的角，那么是（）象限的角．

    A．    第二    B．    第三    C．    第二或第三    D．    第二或第四

4．（4分）下列各组函数中，表示同一个函数的是（）

    A．    y=x﹣1和    B．    y=x0和y=1

    C．    f（x）=x2和g（x）=（x+1）2    D．    和

5．（4分）设a=log3，b=（）0.2，c=2，则（）

    A．    a＜b＜c    B．    c＜b＜a    C．    c＜a＜b    D．    b＜a＜c

6．（4分）若函数f（x）唯一的一个零点同时在区间（0，16），（0，8），（0，4），（0，2）内，那么下列命题中正确的是（）

    A．    函数f（x）在区间（0，1）内没有零点

    B．    函数f（x）在区间（0，1）或（1，2）内有零点

    C．    函数f（x）在区间（1，16）内有零点

    D．    函数f（x）在区间（2，16）内没有零点

7．（4分）要得到函数y=sin（﹣2x+）+2的图象，只需将函数y=sin（﹣2x）图象上的所有点（）

    A．    向右平移个单位长度，再向上平移2个单位长度

    B．    向左平移个单位长度，再向下平移2个单位长度

    C．    向右平移个单位长度，再向下平移2个单位长度

    D．    向左平移个单位长度，再向上平移2个单位长度

8．（4分）点P从O点出发，按逆时针方向沿周长为l的图形运动一周，O、P两点间的距离y与点P所走路程x的函数关系如图，那么点P所走的图形是（）

    A．        B．        C．        D．    

9．（4分）已知f（x）=sin2x+|sin2x|（x∈R），则下列判断正确的是（）

    A．    f（x）是周期为2π的奇函数

    B．    f（x）是值域为周期为π的函数

    C．    f（x）是周期为2π的偶函数

    D．    f（x）是值域为周期为π的函数

10．（4分）设f（x）是定义在R上的偶函数，对x∈R，都有f（x﹣2）=f（x+2），且当x∈时，﹣1，则函数y=f（x）﹣log2（x+2）的零点个数为（）

    A．    7    B．    6    C．    5    D．    4

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案直接填在答题卷中横线上．

11．（4分）已知集合A={1，2}，集合B满足A∪B={1，2}，则集合B有个．

12．（4分）若2a=5b=10，则=．

13．（4分）已知函数f（x）=2x2﹣mx+5的增区间为

19．（10分）已知函数f（x）=loga（a＞0，a≠1）是奇函数；

（1）求m的值；

（2）讨论f（x）的单调性；

（3）当f（x）的定义域为（1，a﹣2）时，f（x）的值域为（1，+∞），求a的值．

四川省绵阳市南山中学2014-2015学年高一上学期期末数学试卷

参与试题解析

一、填空题：本大题共10小题．每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．

1．（4分）tan（﹣225°）的值等于（）

    A．    ﹣1    B．    1    C．    ﹣    D．    

考点：    运用诱导公式化简求值． 

专题：    三角函数的求值．

分析：    原式中的角度变形后，利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．

解答：    解：原式=tan（﹣180°﹣45°）=tan（﹣45°）=﹣tan45°=﹣1，

故选：A．

点评：    此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．

2．（4分）设集合A={a，b，c}，B={0，1}，则从A到B的映射共有（）

    A．    6个    B．    8个    C．    7个    D．    5个

考点：    映射． 

专题：    计算题．

分析：    利用映射的定义进行求解，注意A集合有三个元素，每个元素可以有两种可能，从而求解；

解答：    解：∵集合A={a，b，c}，B={0，1}，关于A到B的映射设为f

∴f（a）=0或1；两种可能；

f（b）=0或1；

f（c）=0或1；

∴从A到B的映射共有：2×2×2=8，

故选B．

点评：    此题主要考查映射的定义，在平时的学习中一定要打牢基础，学好课本知识，此题是一道基础题；

3．（4分）已知α是第三象限的角，那么是（）象限的角．

    A．    第二    B．    第三    C．    第二或第三    D．    第二或第四

考点：    象限角、轴线角． 

专题：    三角函数的求值．

分析：    先根据α所在的象限确定α的范围，进而确定的范围，进而看当k为偶数和为奇数时所在的象限．

解答：    解：∵α是第三象限角，即2kπ+π＜α＜2kπ+π，k∈Z．

当k为偶数时，为第二象限角；

当k为奇数时，为第四象限角．

故选：D．

点评：    本题主要考查了半角的三角函数．解题的关键是根据角的范围确定其所在的象限．

4．（4分）下列各组函数中，表示同一个函数的是（）

    A．    y=x﹣1和    B．    y=x0和y=1

    C．    f（x）=x2和g（x）=（x+1）2    D．    和

考点：    判断两个函数是否为同一函数． 

专题：    计算题．

分析：    通过对各选项的函数求出定义域、对应法则、值域，若三者相同时同一个函数．

解答：    解：对于A，y=x﹣1定义域为R，的定义域为x≠﹣1，故不是同一个函数

对于B，y=x0定义域为x≠0，y=1的定义域为R，故不是同一个函数

对于C，两个函数的对应法则不同，故不是同一个函数

对于D，定义域都是（0，+∞）而法则，是同一函数

故选D

点评：    本题考查函数的三要素：定义域、值域、对应法则．利用函数的三要素判断两个函数是否是同一函数．

5．（4分）设a=log3，b=（）0.2，c=2，则（）

    A．    a＜b＜c    B．    c＜b＜a    C．    c＜a＜b    D．    b＜a＜c

考点：    对数值大小的比较；指数函数单调性的应用． 

分析：    易知a＜0   0＜b＜1    c＞1 故 a＜b＜c

解答：    解析：∵由指、对函数的性质可知：，，

∴有a＜b＜c

故选A．

点评：    本题考查的是利用对数函数和指数函数单调性比较大小的知识．

6．（4分）若函数f（x）唯一的一个零点同时在区间（0，16），（0，8），（0，4），（0，2）内，那么下列命题中正确的是（）

    A．    函数f（x）在区间（0，1）内没有零点

    B．    函数f（x）在区间（0，1）或（1，2）内有零点

    C．    函数f（x）在区间（1，16）内有零点

    D．    函数f（x）在区间（2，16）内没有零点

考点：    函数零点的判定定理． 

专题：    压轴题；阅读型．

分析：    由题意可确定f（x）唯一的一个零点在区间（0，2）内，故在区间=sin（﹣2x+），

再向上平移2个单位长度得到的函数解析式为y=sin（﹣2x+）+2．

故选：A．

点评：    本题考查三角函数图象的平移变换，该类题目要注意平移方向及平移对象，属于基础题．

8．（4分）点P从O点出发，按逆时针方向沿周长为l的图形运动一周，O、P两点间的距离y与点P所走路程x的函数关系如图，那么点P所走的图形是（）

    A．        B．        C．        D．    

考点：    函数的图象． 

专题：    函数的性质及应用．

分析：    认真观察函数的图象，根据其运动特点，采用排除法求解．

解答：    解：观察函数的运动图象，可以发现两个显著特点：

①点P运动到周长的一半时，OP最大；

②点P的运动图象是抛物线．

设点M为周长的一半，如下图所示：

由图可知，

图1中，OM≤OP，不符合条件①，因此排除选项A；

图4中，OM≤OP，不符合条件①，并且OP的距离不是对称变化的，因此排除选项D．

另外，在图2中，当点P在线段OA上运动时，y=x，其图象是一条线段，不符合条件②，因此排除选项B．

故选：C．

点评：    本题考查动点问题的函数图象，考查对于运动问题的深刻理解，解题关键是认真分析函数图象的特点．选项D中出现了椭圆，增加了试题的难度．

9．（4分）已知f（x）=sin2x+|sin2x|（x∈R），则下列判断正确的是（）

    A．    f（x）是周期为2π的奇函数

    B．    f（x）是值域为周期为π的函数

    C．    f（x）是周期为2π的偶函数

    D．    f（x）是值域为周期为π的函数

考点：    三角函数的周期性及其求法． 

专题：    三角函数的图像与性质．

分析：    利用绝对值的代数意义化简函数f（x），并画出此分段函数的图象，根据函数的图象即可得到函数的最小正周期和值域．

解答：    解：若2kπ≤2x≤2kπ+π，即kπ≤x≤kπ+时，sin2x≥0，

f（x）=sin2x+|sin2x|=2sin2x；

若2kπ+π≤2x≤2kπ+2π，即kπ+≤x≤kπ+π时，sin2x＜0，

f（x）=sin2x+|sin2x|=0，

作出函数图象，如下图：

根据图象可知f（x）为周期函数，最小正周期为π，

函数的值域为．

故选：B

点评：    本题主要考查函数的周期性及其求法，涉及的知识有绝对值的代数意义，以及正弦函数的图象与性质，利用了分类讨论及数形结合的数学思想，根据题意正确画出已知函数的图象是解本题的关键．

10．（4分）设f（x）是定义在R上的偶函数，对x∈R，都有f（x﹣2）=f（x+2），且当x∈时，﹣1，则函数y=f（x）﹣log2（x+2）的零点个数为（）

    A．    7    B．    6    C．    5    D．    4

考点：    函数零点的判定定理． 

专题：    计算题；作图题；函数的性质及应用．

分析：    函数y=f（x）﹣log2（x+2）的零点个数转化为函数f（x）与函数y=log2（x+2）的图象的交点的个数，作图求解．

解答：    解：由题意作函数f（x）与函数y=log2（x+2）的图象如下，

两个函数有4个交点，

故函数y=f（x）﹣log2（x+2）的零点个数为4；

故选D．

点评：    本题考查了函数的零点与函数的图象的应用，属于基础题．

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案直接填在答题卷中横线上．

11．（4分）已知集合A={1，2}，集合B满足A∪B={1，2}，则集合B有4个．

考点：    并集及其运算． 

专题：    计算题．

分析：    根据集合B满足A∪B={1，2}，可得B⊆A，进而根据n元集合有2n个子集，得到答案．

解答：    解：∵集合A={1，2}有两个元素，

若A∪B={1，2}，

则B⊆A

故满足条件的集合B有22=4个

故答案为：4

点评：    本题考查的知识点是并集及其运算，子集的个数，由已知得到B⊆A，及n元集合有2n个子集，是解答的关键．

12．（4分）若2a=5b=10，则=1．

考点：    对数的运算性质． 

专题：    计算题．

分析：    首先分析题目已知2a=5b=10，求的值，故考虑到把a和b用对数的形式表达出来代入，再根据对数的性质以及同底对数和的求法解得，即可得到答案．

解答：    解：因为2a=5b=10，

故a=log210，b=log510

=1

故答案为1．

点评：    此题主要考查对数的运算性质的问题，对数函数属于三级考点的内容，一般在高考中以选择填空的形式出现，属于基础性试题同学们需要掌握．

13．（4分）已知函数f（x）=2x2﹣mx+5的增区间为

解得m=﹣8，

∴f（x）=2x2+8x+5，

∴f（1）=2+8+5=15，

故答案为：15．

点评：    本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键．

14．（4分）函数的单调递增区间是，k∈Z．

考点：    正弦函数的图象． 

专题：    三角函数的图像与性质．

分析：    利用正弦函数的单调性进行求解即可．

解答：    解：∵=﹣sin（3x﹣）

∴由2kπ≤3x﹣≤2kπ，k∈Z，

即kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，

故函数的递增区间为，k∈Z，

故答案为：，k∈Z

点评：    本题主要考查三角函数单调区间的求解，根据正弦函数的单调性是解决本题的关键．

15．（4分）对任意x∈R，函数f（x）表示﹣x+3，x+，x2﹣4x+3中的较大者，则f（x）的最小值是2．

考点：    函数的最值及其几何意义；函数的图象． 

专题：    计算题；作图题；函数的性质及应用．

分析：    由题意比较三者之间的大小，从而可得f（x）=，从而求最小值．

解答：    解：由x+﹣（﹣x+3）＞0得，x＞1；

由x2﹣4x+3﹣（﹣x+3）＞0得，x＞3或x＜0；

由x2﹣4x+3﹣（x+）＞0得，x＞5或x＜；

则f（x）=；

结合函数的图象如下，

fmin（x）=f（1）=﹣1+3=2；

故答案为：2．

点评：    本题考查了分段函数的化简与应用，属于中档题．

三、解答题：本大题共4小题，每小题10，共40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

16．（10分）已知集合A={x|2a≤x≤a+3}，B={x|x＜﹣1或x＞1}

（I）若A∩B=∅，求a的取值范围；

（Ⅱ）若A∪B=R，求a的取值范围．

考点：    并集及其运算；交集及其运算． 

专题：    集合．

分析：    （I）由A∩B=∅，分A为空集与不为空集两种情况，求出a的取值范围即可；

（Ⅱ）由A∪B=R，确定出a的范围即可．

解答：    解：（I）分两种情况考虑：

（i）当A=∅时，则有2a＞a+3，解得：a＞3，满足A∩B=∅；

（ii）当A≠∅时，则有2a≤a+3，即a≤3，不满足A∩B=∅，无解，

综上，a的范围为{a|a＞3}；

（II）∵A={x|2a≤x≤a+3}，B={x|x＜﹣1或x＞1}，且A∪B=R，

∴2a≤﹣1或a+3≥1，

解得：﹣2≤a≤﹣，

则a的范围为{a|﹣2≤a≤﹣}．

点评：    此题考查了交集及其运算，以及并集及其运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．

17．（10分）如图，函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R，（其中A＞0，ω＞0，0≤φ≤）的部分图象，其图象与y轴交于点（0，）        

（Ⅰ）求函数的解析式；

（Ⅱ）若，求的值．

考点：    正弦函数的图象；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 

专题：    三角函数的图像与性质．

分析：    （Ⅰ）根据图象确定A，ω 和φ的值即可求函数的解析式；

（Ⅱ）利用三角函数的诱导公式进行化简即可．

解答：    解：（ I）∵0≤φ≤，

∴由五点对应法得，解得ω=2，φ=，

则f（x）=Asin（ωx+φ）=Asin（2x+），

∵图象与y轴交于点（0，），

∴f（0）=Asin=，解得A=2，

故．

（ II）∵，

∴得，

则===．

点评：    本题主要考查三角函数解析式的求解以及诱导公式的应用，根据图象确定A，ω 和φ的值是解决本题的关键．

18．（10分）如图：有一块半径为2的半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形ABCD的形状，它的下底是圆的直径，上底CD的端点在圆周上．梯形的周长令为y，腰长为x

（Ⅰ）求周长y关于腰长x的函数关系式，并求其定义域；

（Ⅱ）当梯形周长最大时，求此时梯形的面积S．

考点：    函数解析式的求解及常用方法；函数的最值及其几何意义． 

专题：    函数的性质及应用．

分析：    （ I）画出图形，结合图形，求出周长y关于腰长x的函数解析式，再求出函数的定义域即可；

（Ⅱ）求出函数y的最大值，并求出此时对应的梯形的面积S．

解答：    解：（ I）如图所示，作DE⊥AB于E，连接BD，

因为AB为直径，所以∠ADB=90°；

在Rt△ADB与Rt△AED中，∠ADB=90°=∠AED，∠BAD=∠DAE，

所以Rt△ADB∽Rt△AED；

所以=，即AE=；

又AD=x，AB=4，所以AE=；

所以CD=AB﹣2AE=4﹣2×=4﹣，

于是y=AB+BC+CD+AD=4+x+4﹣+x=﹣x2+2x+8，

由于AD＞0，AE＞0，CD＞0，所以x＞0，＞0，4﹣＞0，

解得0＜x＜2；

故所求的函数为y=﹣x2+2x+8（0＜x＜2）；

（Ⅱ）因为y=﹣x2+2x+8=﹣（x﹣2）2+10，

又0＜x＜2，所以，当x=2时，y有最大值10，

此时，梯形的腰长AD=x=2，下底长AB=4，所以AE==1；

所以上底长CD=AB﹣2AE=4﹣2×1=2，高DE=；

∴梯形的面积为S=（AB+CD）•DE=×（4+2）×=3．

点评：    本题考查了函数模型的应用问题，也考查了求函数最值的问题，是综合性题目．

19．（10分）已知函数f（x）=loga（a＞0，a≠1）是奇函数；

（1）求m的值；

（2）讨论f（x）的单调性；

（3）当f（x）的定义域为（1，a﹣2）时，f（x）的值域为（1，+∞），求a的值．

考点：    奇偶性与单调性的综合． 

专题：    函数的性质及应用．

分析：    （1）直接利用奇函数的定义，化简即可求m的值；

（2）求出函数的定义域，通过对数的底数的取值范围讨论f（x）的单调性；

（3）当f（x）的定义域为（1，a﹣2）时，利用（2）的结果函数的单调性，结合f（x）的值域为（1，+∞），即可求a的值．

解答：    （本小题满分14分）

解：（1）∵f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），即

得m=﹣1；

（2）由（1）得，定义域为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），

令，则=为（﹣∞，﹣1）和（1，+∞）上的减函数，

当a＞1，由复合函数的单调性可得f（x）为（﹣∞，﹣1）和（1，+∞）上的减函数；

当0＜a＜1时，由复合函数的单调性可得f（x）为（﹣∞，﹣1）和（1，+∞）上的增函数；

（3）∵a﹣2＞1∴a＞3由（2）知：函数在（1，a﹣2）上是单调减函数，

又∵f（x）∈（1，+∞），∴f（a﹣2）=1，

即．

解得．

点评：    本题考查函数的奇偶性的应用，函数的单调性的应用，考查分析问题解决问题的能力．