第一章有理数复习学案(共三课时)

教学目标： 1：识记有理数的基本概念；

2：能够运用相关基础知识，解决简单的数学问题；

3：掌握并会运用有理数的运算规则和运算律进行计算。教学重难点：有理数的基本概念及运算法则。

教学过程：

（一）有理数的基本概念

一、知识要点再现

知识点一：生活中的正数和负数

1、像7，1.6，1

2

，

2

3

，这样的数叫_________，它们都比零_________．

2、在正数前面填上_________的数，如_________，这样的数叫做负数．

3、零既不是_________，也不是_________．

同步测试：

1、向东30米记作+30米，那么-50米记作（）．

2、在-0.1，2，-9，-2

5

，+1，0，

1

2

中，正数有_________，负数有_________．

知识点二：有理数

1、_________统称整数，_________统称分数。[来源:学科网]

2、_________和_________统称有理数．

同步测试：

1、把下列各数填在相应的集合里：[来源:学。科。网]

-5，+ 1

5

，0.，4，0，-1.1，

6

7

，-7，8

（1）分数{ }（2）整数{ }（3）有理数{ }

知识点三：数轴

1、规定了_________、_________和_________的_________叫做数轴。

2、任何一个有理数都可以用数轴上的_________来表示。

3、数轴上的两个点表示的数，右边的总比左边的_________，_________大于零，_________小于零，_________和_________大于负数．

4、同步测试：

1、把下列各数在数轴上标出，并用“＜”连接起来．

-3，5，0，- 7

3

,0.5

1、叫做互为相反数。其中一个是另一个的相反数。数a的相反数是，（a是任意一个有理数）；0的相反数是 .

若a、b互为相反数，则 . 若a+b=0，则

2、数轴上表示数a的点与原点的叫做数a的绝对值。记做|a|。

由绝对值的定义可得：|a-b|表示数轴上a点到b点的。

一个正数的绝对值是它；若a＞0，则︱a︱= a ;

一个负数的绝对值是它的；若a＜0，则︱a︱= -a ;

0的绝对值是 . 若a =0，则︱a ︱= 0 ; 对任何有理数a,总有︱a ︱≥0. 3. a 的到倒数是 ，若a 、b 互为倒数，则 ；若ab=1,则 同步测试：

1、-3的相反数是_________，0的相反数是_________，_________的相反数是23

. 2、求下列各式的值：3=_________，3-=_________，0-=_________，23

+=_________. 3、23

的倒数是 1的倒数是 0没有倒数 ，0.2的倒数是 七：有理数大小的比较：

1）数轴比较：

在数轴上的两个数，右边的数总比左边的数 ；

正数都大于 ，负数都小于 ；正数 一切负数；

2）两个负数，

即:若a ＜0,b ＜0,且︱a ︱＞︱b ︱, 则a ＜ b.

3） 做差法：∵ a-b>0 ，∴ ;

4） 做商法：∵ a/b>1，b>0 ，∴ .

八：科学记数法

把一个大于10的数记成 的形式，其中a 是 （1︱a ︱<10 ），这种记数法叫做科学记数法. n 是正整数。

注意：指数n 与原数整数位数之间的关系。

同步测试：(1)用科学记数法表示下列各数:

230000= 134000000000=

(2)下列用科学记数法表示的数,原来各是什么数?

4.315 ×103= 1.02 ×106=

九：近似数

接近准确数而不等于准确数的数。

同步测试：下列各题中数据是准确数的是（ ）．

A ．今天的气温是28C

B ．月球与地球的距离大约是38万千米

C ．小明的身高大约是148cm

D ．七年级学生共有800名

十：有效数字

从一个数 ，所有数字都是这个数的有效数字。

近似数与准确数的接近程度可用精确度表示。

例：如近似数2.04万，精确到 ，它有 个有效数字.

如π≈3.142（精确到千分位，或叫精确到0.001， 或叫保留四个有效数字）

基础检测

二、典型例题解析

例1.在数轴上表示下列各数，把下列各数从小到大用“＜”连接起来： -2，

72，0，-23，-92

，5

例2、把下列各数分别填在相应集合中：

1，-0.20，5

13，325，-7，0，-23.13，0.618，-2004．π 整数集合：{

…}； 负数集合：{

…}； 分数集合：{

…}； 有理数集合：{

…}． 例3、按规律填数：

（1）2，7，12，17，（ ），（ ），……

（2）1，2，4，8，16，（ ），（ ），……

例4、观察下列算式：22 – 02 =4=1 ×4，

42 – 22

=12=3 ×4，

62- 42 =20=5 ×4，

82 – 62 =28=7 ×4， …… （1）第5个等式是_______ _______；

（2）第n 个等式是_______ _______. 例5、如果规定符号*的意义是 ，求2*（-3）*4的值

例6、趣味题：小明参加“趣味数学”选修课，课上老师给了一个问题，小明看了很为难，你能帮他一下吗？ a 、b 互为相反数，c 、d 互为负倒数，

|m|＝2，则 －1＋m －cd 的值为多少？

例7、若|x －5|＋ |y ＋3|＝0，求2x ＋3y 的值。

b a b a b a +⋅=*m b a +

三、达标测试

1、下列说法中不正确的是（ ）

A ．-3.14既是负数，分数，也是有理数

B ．0既不是正数，也不是负数，但是整数

C ．-2000既是负数，也是整数，但不是有理数

D ．0是非正数

2、下列说法错误的是（ ）

Ａ．0是自然数；Ｂ．0是整数；Ｃ．0是有理数；Ｄ．0是正数．

3、 如果一个数的相反数比它本身大，那么这个数为（ ）

A 、正数

B 、负数

C 、整数

D 、不等于零的有理数

4、下列语句中，正确的是（ ） A.不存在最小的自然数 B.不存在最小的正有理数

C.存在最大的正有理数

D.存在最小的负有理数

5、ａ，ｂ为有理数，在数轴上如图所示，则下列成立的是（ ） ａ． －１． ０ｂ１．．．

Ａ．a 1＜１＜b 1；Ｂ．a 1＜b 1＜１；Ｃ．b 1＜１＜a 1；Ｄ．１＜a 1＜b

1 6、-3是＿＿＿的相反数，-3的绝对值是＿＿＿．

7、 8、数轴三要素是__________，___________，___________．

9、数轴上原点右边4.8厘米处的点表示的有理数是32，那么，数轴左边18厘米处的点表示的有理

数是____________．

10、九届一次会议上，同志所作的工作报告中指出：1997年

我国粮食总产量达到492500000t ，按要求填空：

（1）精确到百万位是 （用科学计数法表示）， 有 个有效数字，

它们是 （2）精确到亿位是 （用科学计数法表示）， 有 个有效数字，它们是

11．下列说法正确的是（ ）．

A ．近似数32.50有3个有效数字

B ．近似数25.120是精确到百分位

C ．近似数43.05有3个有效数字

D ．近似数54万精确到万位，有2个有效数字

12、已知a 、b 互为相反数，m 、n 互为倒数，|c|＝2求mn m

n b a -+)

(+c 的值。

四、拓展延伸、满足|a －b|= |a|＋|b|成立的条件是（ ）

A 、ab>0

B 、 ab>1

C 、ab ≤0

D 、ab ≤ 1

_________

"c":

一、知识要点再现

1：有理数加法法则

（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。

（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0.

（3）一个数同0相加，仍得这个数。

有理数加法的运算律

加法交换律：有理数的加法中，两个数相加，交换加数的位置，和不变。

表达式：a+b=b+a。

加法结合律：有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加或者先把后两个数相加，和不变。

表达式：（a+b）+c=a+（b+c）

2：有理数减法法则

减去一个数，等于加这个数的相反数。表达式：a-b=a+（-b）

同步测试

（1）（-3）+（-5）= （2）（-4.7）+2.9= （3）1

8

+（-0.125）=

（4）（-43

5

）+5

2

5

= （6）（-13

5

7

）+13

5

7

= （6）（+4

3

4

）+（-7.5）=

（7）（-8）-（-6）= （8）8-（-6）= （9）（-8）-6= （10）5-14=

（11）0-(+1

4

)-(+

1

2

)-(+

2

5

)-(-

3

4

)-(-

3

5

) （12）)

3

2

1

(

)

5

3

(

)

5

2

(

)

3

1

(-

+

+

+

+

+

-

3：有理数乘法法则

两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。

任何数同0相乘，都得0.

①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负

因数有偶数个时，积为正.

②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0.

有理数的乘法运算律

乘法交换律：有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等。

表达式：ab=ba

乘法结合律：三个数相乘，先把其中的两个数相乘，积相等。

表达式：（ab）c=a（bc）

乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。表达式：a（b+c）=ab+ac

4：有理数除法法则

除以一个数等于乘上这个数的倒数;即a÷b=a× (b≠0)

两数相除，同号得负，异号得正，并把绝对值相除。

0除以任何一个不等于0的数，都得0.

同步测试

（1）（-3）×9= （2） （-

12）÷（-2）= （3）0×（-5317

）×（+25．3）= （4）123×（-115）= （5）（34-78）÷（-78

）= （6）)78()32()431(412-⨯-⨯-⨯ （7） 25×34-(-25)×12+25×(-14)

（8） -60×(-15+12-112+16)（9）（-12557）÷（-5）；（10）-2.5÷58×（-14）．

5：有理数的乘方

求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方。

注意：负数、分数作为底数时，要添上括号。

乘方的运算法则

负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。

正数的任何次幂都是正数，0的任何次幂都是0。

乘方运算同步测试

（1）（－4）3= （2）（－1）200= （3）（－

12）3= （4）33= （5）24= （6）（－13

）2= （7）－43 = （8）－22 = （9） （10）2×（－3）3－4×（－3）+15；

6：有理数的混合运算顺序

（1）“先乘方，再乘除，最后加减”的顺序进行；

（2）同级运算，从左到右进行；

（3）如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。 同步测试

)2()3(]2)4[()3()2(223-÷--+-⨯-+-])2(542.05[32-⨯÷----)

3()2(])2(2[32-⨯---+-

二、典型例题解析

例1．一根长1m 的绳子，第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，如此剪下去，第六次后剩下的绳子的长度是（ ）．

A: B: C: D: 例2、 1+(-2)+3+(-4)+5+(-6)+7+(-8)+……+99+(-100)

例3、观察下面的每列数，按某种规律在横线上填上适当的数，并说明你的理由。 ⑴－23，－18，－13， ，； ⑵

5

,324,163,82--， ，； ⑶－2，－4，0，－2，2， ， 。

例4、、甲潜水员在海平面－50米作业，乙潜水员在海平面－28米作业，哪个离海平面比较近？近多少？

例5若的值求式子2731982,220052006+++=a a a a .

例6、8筐白菜，以每筐25kg 为标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称重的记录为：1.5、-3、+2、-0.5、1、-2、-2、-2.5，则8筐白菜的总质量是多少千克？（那种方法可以减少计算量）

例7、 规定一种新的运算：a △b=ab-a-b+1,如3△4＝3×4－3－4＋1，请比较（－3）△4与 4△（－

3）的大小.

三、达标检测

3)2

1(5)2

1

(6)21(12)21(

2、下列说法中正确的是 （ ） A 、异号两数相乘，取绝对值较大的因数的符号 B 、同号两数相乘，符号不变

C 、两数相乘，如果积为负数，那么这两个数异号，

D 、两数相乘，如果积为正数，那么这两个数都是正数。

3、一根一米长是绳子，第一次截去一半，第二次截去剩下的一半，如此下去，第六次剩下的绳子长度为 （ ）

A 、 3)21( 米

B 、5)2

1( 米 C 、6)2

1

( 米 D 、12)21(米

4、如果0)3(12

=++-b a ，那么1+b

a 的值是 （ ）

A 、 2-

B 、3-

C 、4-

D 、4

5、绝对值小于4的所有整数的和是__________，积是__________

6、用“<”“>”填空。

如果0,0>>b a ，那么0_____=+b a 如果0,0<如果b a b a ><>,0,0，那么0_____=+b a 如果b a b a ><<,0,0，那么0_____=+b a 7、平方等于它本身的数有__________，立方等于它本身的数有__________。

8、 （3

2

2

(2)(3)[(4)2](3)(2)-+-⨯-+--÷-

9、某人用400元购买了8套儿童服装,准备以一定价格出售,如果每套服装以56元的价格作为标准,超出的钱数记作正数,不足的记为负数,记录如下(单位:元):-3,+7,-8,-9,-2,0,-1,-6.当他卖完这8套儿童服装后是盈利还是亏损?

10、观察下面三行数：

－2，4，－8，16，－32，，…① 0，6，－6，18，－30，66，… ② －1，2，－4，8，－16，32，… ③

（1）第①行数按什么规律排列？（2）第②、③行数与第①行数分别有什么关系？ （3）取每行数的第10个数，计算这三个数的和．

)12()]328(19[2-÷+⨯-+

有理数单元达标测试卷

一、选择题（每题3分，共30分）

1、大于–3.5，小于2.5的整数共有（ ）个． （A ）6 （B ）5 （C ）4 （D ）3

2.下列正确的式子是 ( ) A.021>-

- B.4)4(--=-- C.5

4

65->- D.π->-14.3 3.下列说法正确的是 ( )

A. 几个有理数相乘, 当负因数有奇数个时, 积为负

B. 几个有理数相乘, 当负因数有偶数个时, 积为正

C. 几个有理数相乘, 当积为负时, 负因数有奇数个

D. 几个有理数相乘, 当因数有偶数个时, 积为正

4. a, b 是有理数, 它们在数轴上的对应点的位置如图1所示, 把a , -a , b , -b 按照从小到大的顺序排列是 ( )

A. b a a b <<-<-

B. b a b a <<-<-

C.b a a b <-<<-

D.a a b b <-<<- 5. 在下列说法中，正确的个数是（ ）

（1）任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示 （2）数轴上的每一个点都表示一个有理数 （3）任何有理数的绝对值都不可能是负数 （4）每个有理数都有相反数

A 、1

B 、2

C 、3

D 、4

6. 有理数b a >, 则2

2

b a 与的大小关系是 ( ) A. 2

2

b a > B. 2

2

b a < C. 2

2

b a = D. 不能确定

7. 已知点A 和点B 在同一数轴上, 点A 表示数2-, 又已知点B 和点A 相距5个单位长度, 则点B

表示的数是 ( ) A. 3 B. 7- C. 73-或 D. 73或

8. 设n 是自然数, 则2

)1()1(1

+-+-n n 的值为 ( )

A. 0

B. 1

C. -1

D. 1或-1

9、下列说法中，错误的有（ ）

a b

①4

2

7

-是负分数；②1.5不是整数；③非负有理数不包括0；④整数和分数统称为有理数；⑤0是最小的有理数；⑥-1是最小的负整数。 A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个

10、 (2011重庆)如下表，从左到右在每个小格子中都填入一个整数．．，使得其中任意三个相邻．．

格子中所填整数之和都相等，则第2011个格子中的数为（ ）

A. 3

B. 2

C. 0

D. －1 二、 填空（每题3分，共24分）

1、是我国最大的岛屿，总面积为359.76平方千米，这个数据用科学计数法表示 _____________平方千米（保留两个有效数字）；数0.000125保留两个有效数字记为

2、3

1

-

的倒数是 ，相反数是 3、如果 ，那么 。

4、若3=a ，5=b ，05、在数-1，1，-5，-2，-3，6，任取三个数相乘，其中最大的积为 ，最小的积为

6、 某种细胞经过30分钟由一个成两个，经过3小时这种细胞由一个 成 个。

7、 用四舍五入得到的近似数4.03

10⨯精确到 ，有 个有效数字。

8、 北京与纽约的时差为-13（负号表示同一时刻纽约时间比北京时间晚）。如果现在是北京时间

15：00，那么纽约时间是 三、 计算题

1、 2

2

11[(2)(3)](2)5

-÷-+-+⨯- 2、)16(9

4

412)81(-÷⨯÷- 3、15191⨯ 4、 3)2(32)91()21(3

1

-÷⎥⎦⎤⎢⎣⎡÷-+-⨯-

162

=a _____=a

四、解答题

1.在数轴上表示下列各数，再用“<”连接起来.

3

1

3-, 3, -2.5, )6.1(-- , 0, 2--

2. 如果0)2(12=-++b a ，求20102011

)(a b a ++的值。

3.已知 a ，b 互为相反数，c ，d 互为倒数，x 的绝对值为1，求cdx x b a -++2

4、 某地实验测得数据表明，高度每增加1千米，气温大约下降6ºC ，若该地面温度为

21ºC ，（1）高空某处高度是8km,求此处的温度是多少度；（2）高空某处温度为—24ºC ，求此处的高度是多少千米。

450g，则抽样的总质量是多少？

6、某供电局路线检修班乘汽车沿南北方向检修路线，检修班的记录员把当天行车情况记录如下：

（1）求J地与起点之间的路程有多少千米？

（2）若汽车每千米耗油0.12升。这天检修班从起点开始，最后到达J地，一共耗油多少升？

（精确到0.1升）

课堂小结：

本章的主要内容分为有理数的概念与有理数的运算两部分。在具体运算时，注意四个方面，一是运算法则，二是运算律，三是运算顺序，四是近似计算。

二、计算题（做在作业本上）

（1） （2）

（3） （4）

例6 小红家春天粉刷房间，雇佣了5个工人，干了10天完成；用了某种涂料150L ，费用为4800元；粉刷的面积是150m2，最后结算工钱时，有以下几种方案：

方案一：按工算，每个工为30元（一个工人1天是一个工）

方案二：按涂料费算，涂料费用的30％作为工钱；

方案三：按粉刷面积算，每平方米付工钱12元。

请你帮助小红家出主意，选择方案付钱最合算。

11. 32(3)4(3)15⨯--⨯-+ 12.

单元达标测试

1．一个有理数的平方，一定是（ ）．

A ．负数

B ．正数

C ．非负数

D ．非正数

5、画出数轴，把下列各组数分别在数轴上表示出来，并按从大到小的顺序排列，用“>”连接起来：

1，－2，3，－4．

4．近似数7.20所表示的准确值的范围是（ ）．

A ．

B ．

C ．

D ．

例1 某数学俱乐部有一种“秘密”的记帐方式。当他们收入300元时，记为－240；当他们用去

300元时，记为360。猜一猜，当他们用去100元时，可能记为多少？当他们收入100元

时，可能记为多少？说明你的理由。

3、－︱—6︱的相反数是（ ） A 、6 B 、-6 C 、±6 D 、6

1 4、下列各式中，结果正确的是（ ）

A 、6)2(3=-

B 、3

4)32

(2=- C 、21.0=0.02 D 、3)3(-=-27 3

2387432)312(21--+---6.0)531()32(25.0÷-⨯-÷-])3(2[61124--⨯--7.1957.205a <≤7.2007.205

a <≤7.107.30

a ≤<7.1957.205a ≤<

5、如果)(a --为正数，则a 为（ ）

A 、正数

B 、负数

C 、0

D 、任意有理数

（五）能力提高

1．观察下面依次排列的一列数，它的排列有什么规律？请接着写出面的3个数，你能说出第10个数，

第200个数，第201个数是什么吗?

(1)1，-1，1，-1，1，-1，1，-l ，____，____，____，…；

(2)1，-2，3，-4，5，-6，7，-8，____，____，____，…；

(3)- 1，111111,,,,,234567

---，____，____，____，…． 2．下列说法中正确的是 （ ）

A ．有最小的负整数，有最大的正整数

B ．有最小的负数，没有最大的正数

C ．有最大的负数，没有最小的正数

D ．没有最大的有理数和最小的有理数

3、下列说法正确的是（ ）

A 、正数、0、负数统称为有理数

B 、分数和整数统称为有理数

C 、正有理数、负有理数统称为有理数

D 、以上都不对

6、在0，1，-2，-3.5这四个数中，是负整数的是（ ）

A 、0

B 、1

C 、-2

D 、-3.5

10、下列一定是有理数的是（ ）

A 、π

B 、a

C 、a+2

D 、

27 11、气温下降－40C ,改成使用正数的说法是

13.某水泥厂计划每月生产水泥1000t ，一月份实际生产了950t ,二月份实际生产了1000t ,三月份实际生产了1100t ,用正数和负数表示每月超额完成计划的吨数各是多少？

课堂练习：

1．地图上标有甲地海拔高度30米，乙地海拔高度为20米，丙地海拔高度为-5米，其中最高处为_______地，最低处为_______地．

2．下列结论中正确的是 …………………………………（ ）

A ．0既是正数，又是负数

B ．O 是最小的正数

C ．0是最大的负数

D ．0既不是正数，也不是负数

3．在下列四组数(1)-3，2.3，14；(2)34，0，122；(3)113，0.3，7；(4)11,25

，2中，三个数都不是负数的组是…（ ）

A ．(1)(2)

B ．(2)(4)

C ．(3)(4)

D ．(2)(3)(4)4．“甲比乙大-3岁”表示的意义是______________________．

5..甲冷库的温度是-12°C,乙冷库的温度比甲冷酷低5°C,则乙冷库的温度

是 .

6.一种零件的内径尺寸在图纸上是9±0.05(单位:mm),表示这种零件的标准尺寸是9mm,则加工要求最大不超过标准尺寸多少?最小不小于标准尺寸多少?

1、下列四种说法中正确的是：（）

A.不是正数的数一定是负数

B．所有的整数都是正数

C．－a一定是负数

D．0既不是正数，也不是负数

2、填空：

（1）有理数中，最小的正整数是，最大的负整数是。

（2）最小的自然数是。

2．下列各数：-2，5，

1

3

-，0.63，0，7，-O.05，-6，9，

511

,

45

，1．其中正数有____个，负数有

___个，正分数有___个，负分数有___个，自然数有___个，整数有___个．3．给出下列说法：

①0是整数；②

1

2

3

-是负分数；③4.2不是正数；④自然数一定是正数；⑤负分数一定是负有理数，

其中正确的有……〖〗

A．1个B．2个C．3个D．4个

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2．甲、乙两人同时从A地出发，如果甲向南走50m记为+50m，则乙向北走30m记为什么?这时甲、乙两人相距多少米？

9. 322(10)[(4)(13)2]-+---⨯ 10. 3

4(2)5(0.28)4+-⨯--÷

11. 12. )4()21(5)1(1210

-⨯-÷+-、32)2(1)1(|2|2-⨯-----、32(3)4(3)15⨯--⨯-+322(2)(3)[(4)2](3)(2)-+-⨯-+--÷-