六年级奥数-牛吃草问题-教师讲义

牛吃草问题概念及公式

　牛吃草问题又称为消长问题或牛顿牧场，牛吃草问题的历史起源是17世纪英国伟大的科学家牛顿12—1727)提出来的。典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变，不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同，求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。由于吃的天数不同，草又是天天在生长的，所以草的存量随牛吃的天数不断地变化。解决牛吃草问题常用到四个基本公式，分别是︰

五大基本公式:

1) 设定一头牛一天吃草量为“1”

2）草的生长速度＝草量差÷时间差；

3）原有草量＝牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数；`

4）吃的天数＝原有草量÷（牛头数－草的生长速度）；

5)牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度。

这五个公式是解决牛吃草问题的基础。首先一般假设每头牛每天吃草量不变，设为"1"，解题关键是弄清楚已知条件，进行对比分析，从而求出每日新长草的数量，再求出草地里原有草的数量，进而解答题总所求的问题。

　　牛吃草问题是经典的奥数题型之一，这里我先介绍一些比较浅显的牛吃草问题，后面给大家开拓一下思维，首先，先介绍一下这类问题的背景，大家看知识要点

求天数   

例1、牧场上长满了牧草，牧草每天匀速生长，这片牧草可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天。问：这片牧草可供25头牛吃多少天？ 

解：假设1头牛1天吃的草的数量是1份  

 草每天的生长量：（200-150）÷（20-10）=5份

10×20=200份=原草量+20天的生长量 原草量：200-20×5=100份  或

15×10=150份=原草量+10天的生长量 原草量：150-10×5=100份         

100÷（25-5）=5天

答：这片牧草可供25头牛吃5天？ 

练习1（求时间）

1．1.一块牧场长满了草，每天均匀生长。这块牧场的草可供10头牛吃40天，供15头牛吃20天。可供25头牛吃＿＿天。    （   ）

A. 10     B. 5     C. 20

答案：A    假设1头牛1天吃草的量为1份。每天新生的草量为：(10×40-15×20)÷（40-20）=5（份）。那么愿草量为：10×40-40×5=200（份），安排5头牛专门吃每天新长出来的草，这块牧场可供25头牛吃：200÷（25-5）=10（天）。

2． 一个牧场长满青草，牛在吃草而草又在不断生长，已知牛27头，6天把草吃尽，同样一片牧场，23头牛9天把草吃尽。如果有牛21头，几天能把草吃尽？

3．有一片草地，草每天生长的速度相同。这片草地可供5头牛吃40天，或6供头牛吃30天。如果4头牛吃了30天后，又增加2头牛一起吃，这片草地还可以再吃几天？

4．牧场上长满了青草，而且每天还在匀速生长，这片牧场上的草可供9头牛吃20天，可供15头牛吃10天，如果要供18头牛吃，可吃几天？

5．由于天气逐渐寒冷，牧场上的牧草每天以均匀的速度减少，经测算，牧场上的草可供30头牛吃8天，可供25头牛吃9天，那么可供21头牛吃几天？ 

6． 由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长，反而以固定的速度在减少，如果某块草地上的草可供25头牛吃4天，或可供16头牛吃6天，那么可供10头牛吃多少天？

7．一片草地，每天都匀速长出青草，如果可供24头牛吃6天，或20头牛吃10天，那么可供18头牛吃几天？

8．有一块牧场，可供10头牛吃20天；15头牛吃10天；则它可供25头牛吃多少天 ？

9．牧场上长满牧草，每天匀速生长，这片牧草可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天。可供25头牛吃几天？

    10.有一块牧场，可供10头牛吃20天，15头牛吃10天，则它可供25头牛吃多少天？ 

　　A.3    B.4   C.5        D.6 

　　【牛老师答案】C 

　　【牛老师解析】设该牧场每天长草量恰可供X头牛吃一天，这片草场可供25头牛吃Y天 

　　根据核心公式 代入 

　　(200-150)/(20-10)=5 10*20-5*20=100 100/(25-5)=5(天） 

【牛老师例5】

　　A.16 B.20 C.24 D.28 

　　【牛老师答案】C 

　　林子里有猴子喜欢吃的野果，23只猴子可在9周内吃光，21只猴子可在12周内吃光，问如果有33只猴子一起吃，则需要几周吃光？（假定野果生长的速度不变）

　　A.2周 B.3周 C.4周 D.5周 

　　【牛老师答案】C 

    一片牧草，每天生长的速度相同．现在这片牧草可供20头牛吃12天，或可供60只羊吃24天．如果1头牛的吃草量等于4只羊的吃草量，那么12头牛与88只羊一起吃可以吃多少天？

8．有一片草地，每天都在匀速生长，这片草可供16头牛吃20天，可供80只羊吃12天。如果一头牛的吃草量等于4只羊的吃草量，那么10头牛与60只羊一起吃可以吃多少天？

8天 

（1）按牛的吃草量来计算，80只羊相当于80÷4=20（头）牛。

（2）设1头牛1天的吃草量为1份。

（3）先求出这片草地每天新生长的草量：（16×20-20×12）÷（20-12）=10（份）

（4）再求出草地上原有的草量：16×20-10×20＝120（份）

（5）最后求出10头牛与60只羊一起吃的天数：120÷（10+60÷4-10）=8（天）

　1、牧场上有一片牧草，可供27头牛吃6周，或者供23头牛吃9周。如果牧草每周匀速生长，可供21头牛吃几周？

求牛的数量

例2、由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以固定速度在减少。已知某块草地上的草可供20头牛吃5天，或可供15头牛吃6天。照此计算，可供多少头牛吃10天？ 

解：假设1头牛1天吃的草的数量是1份  

草每天的减少量：（100-90）÷（6-5）=10份

20×5=100份……原草量-5天的减少量    原草量：100+5×10=150 或

15×6=90  份……原草量-6天的减少量   原草量：90+6×10=150份

（150-10×10）÷10=5头  

答：可供5头牛吃10天？

   总结：想办法从变化中找到不变的量。牧场上原有的草是不变的，新长出的草虽然在变化，但是因为是匀速生长，所以每天新长出的草量也是不变的。正确计算草地上原有的草及每天新长出的草，问题就会迎刃而解。

练习2（求牛数）

1)有一片草地，可供8只羊吃20天，或供14只羊吃10天．假设草的每天生长速度不变．现有羊若干只，吃了4天后又增加了6只，这样又吃了2天便将草吃完，问有羊多少只？

2)有一牧场长满草，每天牧草匀速生长。12头牛4周吃完6公顷的牧草，20头牛6周吃完12公顷的牧草．假设每公顷原有草量相等，草的生长速度不变．问多少头牛8周吃完16公顷的牧草？

3)有一牧场长满草，每天牧草匀速生长。这个牧场可供17头牛吃30天，可供19头牛吃24天。现有牛若干头在吃草，6天后，杀了4头牛，余下的牛吃了2天将草吃完。问原来有牛多少头？

4)有3个牧场长满草，第一牧场33公亩，可供牛22头吃54天；第二牧场28公亩，可供17头牛吃84天，第三牧场40公亩，可供多少头牛吃24天？（每块地每公亩草量相同且都是匀速生长）

5)有一牧场长满牧草，牧草每天匀速生长，这个牧场可供17头牛吃30天，可供19头牛吃24天，现在有若干头牛在吃草，6天后，4头牛死亡，余下的牛吃了2天将草吃完，问原来有牛多少头？

6)有一块匀速生长的草场，可供12头牛吃25天，或可供24头牛吃10天，那么它可供几头牛吃20天？

7)一片匀速生长的草地，可以供18投牛吃40天，或者供12头牛与36只羊吃25天，如果1头牛每天的吃草两相当于3只羊每天的吃草量。请问：这片草地让17头牛与多少只羊一起吃，刚好16天吃完？

8)有一口水井，如果水位降低，水就不断地匀速涌出，且到了一定的水位就不再上升。现在用水　吊水，如果每分吊4桶，则15分钟能吊干，如果每分钟吊8桶，则7分吊干。现在需要5分钟吊干，每分钟应吊多少桶水？

9)有一片牧草，每天以均匀的速度生长，现在派17人去割草，30天才能把草割完，如果派19人去割草，则24天就能割完。如果需要6天割完，需要派多少人去割草？

10)有一桶酒，每天都因桶有裂缝而要漏掉等量的酒，现在这桶酒如果给6人喝，4天可喝完；如果由4人喝，5天可喝完。这桶酒每天漏掉的酒可供几人喝一天？

11)一水库存水量一定，河水均匀入库。5台抽水机连续20天可抽干；6台同样的抽水机连续15天可抽干。若要6天抽干，需要多少台同样的抽水机？

12)有一块牧场，可供10头牛吃20天；15头牛吃10天；则它可供多少头牛吃4天 ？

22头牛吃33公亩牧场的草，54天可以吃尽； 17头牛吃28公亩牧场的草，84天可以吃尽； 多少头牛吃40公亩牧场的草，24天可以吃尽？ 

 有一块牧场，可供10头牛吃20天，15头牛吃10天，则它可供多少头牛吃4天？ 

　　A.20    B.25   C.30    D.35 

　　【牛老师答案】C 

　　【牛老师解析】设该牧场每天长草量恰可供X头牛吃一天， 

　　根据核心公式代入 

　　(20×10-15×10)=5 10×20-5×20=100 100÷4+5=30(头）

如果22头牛吃33公亩牧场的草，54天后可以吃尽，17头牛吃28公亩牧场的草，84天可以吃尽，那么要在24天内吃尽40公亩牧场的草，需要多少头牛？ 

　　A.50 B.46 C.38 D.35 

　　【牛老师答案】D 

　　【牛老师解析】 设每公亩牧场每天新长出来的草可供X头牛吃1天，每公亩草场原有牧草量为Y ， 

　　24天内吃尽40公亩牧场的草，需要Z头牛 

　　根据核心公式： 

　　，代入 

　　，因此 ，选择D 

　　【牛老师注释】这里面牧场的面积发生变化，所以每天长出的草量不再是常量。 

　　下面我们来看一下上述“牛吃草问题”解题方法，在真题中的应用。 、

一块草地上的草以均匀的速度生长，如果20只羊5天可以将草地上的草和新长出的草全部吃光，而14只羊则要10天吃光。那么想用4天的时间，把这块草地的草吃光，需要＿＿只羊。                                           （    ）

A. 22     B. 23     C. 24

     假设1只羊1天吃草的量为1份。每天新生草量是：（14×10-20×5）÷（10-5）=8（份）原草量是：20×5-8×5＝60（份）安排8只羊专门吃每天新长出来的草，4天时间吃光这块草地共需羊：60÷4+8＝23（只）

练习：因天气寒冷，牧场上的草不仅不生长，反而每天以均匀的速度在减少。已知牧场上的草可供33头牛吃5天，可供24头牛吃6天，照此计算，这个牧场可供多少头牛吃10天?

13.有一牧场，牧草每天匀速生长，可供9头牛吃12天，可供8头牛吃16天，现在开始只有4头牛吃，从第7天开始，又增加了若干头牛，再用6天吃光所有的草，问增加了几头牛？

有一片匀速生长的牧草，可供17头牛吃30天，或可供19头牛吃24天。原来有若干头牛在草地上吃草，吃6天后卖了4头，余下的牛再吃2天便将草吃完，问原来有牛多少头？

3、有一片牧草，每天以均匀的速度生长，现在派17人去割草，30天才能把草割完，如果派19人去割草，则24天就能割完。如果需要6天割完，需要派多少人去割草？

牛的数量变化

   例3：一个牧场上的青草每天都匀速生长。这片青草可供27头牛吃6天，或供23头牛吃9天，现有一群牛吃了4天后卖掉2头，余下的牛又吃了4天将草吃完。这群牛原来有多少头？

解：设每头牛每天的吃草量为1份。

每天新生的草量为：（23×9-27×6）÷（20-10）=15份，

原有的草量为（27-15）×6=72份。

如两头牛不卖掉，这群牛在4+4=8天内吃草量

72+15×8+2×4=200份。

所以这群牛原来有200÷8=25头

草地大小变化

例4：有三块草地，面积分别是5，15，24亩。草地上的草一样厚，而且长得一样快。第一块草地可供10头牛吃30天，第二块草地可供28头牛吃45天，问第三块地可供多少头牛吃80天？ 

这是一道牛吃草问题，是比较复杂的牛吃草问题。 

　　把每头牛每天吃的草看作1份。 

　　因为第一块草地5亩面积原有草量＋5亩面积30天长的草＝10×30＝300份 

　　所以每亩面积原有草量和每亩面积30天长的草是300÷5＝60份 

　　因为第二块草地15亩面积原有草量＋15亩面积45天长的草＝28×45＝1260份 

　　所以每亩面积原有草量和每亩面积45天长的草是1260÷15＝84份 

　　所以45－30＝15天，每亩面积长84－60＝24份 

　　所以，每亩面积每天长24÷15＝1.6份 

　　所以，每亩原有草量60－30×1.6＝12份 

　　第三块地面积是24亩，所以每天要长1.6×24＝38.4份，原有草就有24×12＝288份 

　　新生长的每天就要用38.4头牛去吃，其余的牛每天去吃原有的草，那么原有的草就要够吃80天，因此288÷80＝3.6头牛 

　　所以，一共需要38.4＋3.6＝42头牛来吃。 

解法一： 

　　设每头牛每天的吃草量为1，则每亩30天的总草量为：10*30/5=60；

    每亩45天的总草量为：28*45/15=84

    那么每亩每天的新生长草量为(84-60)/(45-30)=1.6

    每亩原有草量为60-1.6*30=12，

那么24亩原有草量为12*24=288，   

24亩80天新长草量为24*1.6*80=3072，

      24亩80天共有草量3072+288=3360，

     所以3360/80=42(头) 

　　解法二：根据10头牛30天吃5亩可推出30头牛30天吃15亩，

            根据28头牛45天吃15亩，可以推出15亩每天新长草量 (28×45-30×30)/(45-30)=24；

       15亩原有草量：28×45-24×45=180；

       15亩80天所需牛180/80+24(头)

       24亩需牛：(180/80+24)*(24/15)=42头

    练习：有三块草地，面积分别为5公顷，6公顷和8公顷。每块地每公顷的草量相同而且长的一样快，第一块草地可供11头牛吃10天，第二块草地可供12头牛吃14天。第三块草地可供19头牛吃多少天？

 有三片草地，面积分别为4公顷，8公顷和10公顷．草地上的草一样厚，而且长得一样快．第一片草地上的草可供24头牛吃6周，第二片草地上的草可供36头牛吃12周．问：第三片草地上的草可供50头牛吃几天？ 

求最大量

例5：经测算，地球上的资源可供100亿人生活100年，或 可供80亿人生活300年。假设地球新生成的资源增长速度是一样的。那么，为了满足人类不断发展的要求，地球最多只能养活（   ）亿人。 70 

解：设1亿人1年所消耗的资源为1份

那么地球上每年新生成的资源量为：（80×300-100×100）÷（300-100）=70（份）

只有当地球每年新生资源不少于消耗点的资源时，地球上的资源才不至于逐渐减少，才能满足人类不断发展的需要。所以地球最多只能养活：70÷1=70（亿人）

　　练习3（求最多）

1)有一片牧场，操每天都在匀速生长（每天的增长量相等），如果放牧24头牛，则6天吃完草，如果放牧21头牛，则8天吃完草，设每头牛每天的吃草量相等，问：要使草永远吃不完，最多只能放牧几头牛？

    假设地球上新增长资源的增长速度是一定的，照此推算，地球上的资源可供110亿人生活90年，或可供90亿人生活210年，为了人类不断繁衍，那么地球最多可以养活多少亿人？

     有一片牧场，24头牛6天可以将草吃完，或21头牛8天可以吃完。要使牧草永远吃不完，至多可以放牧几头牛？

新型牛吃草

检票口吃人

　例1：旅客在车站候车室等车,并且排队的乘客按一定速度增加,检查速度也一定,当车站放一个检票口,需用半小时把所有乘客解决完毕,当开放2个检票口时,只要10分钟就把所有乘客OK了 求增加人数的速度还有原来的人数 

　　解：设一个检票口一分钟一个人 

　　1个检票口30分钟30个人 

　　2个检票口10分钟20个人 

　　(30-20)÷(30-10)=0.5个人 

　　原有1×30-30×0.5=15人 

　　或2×10-10×0.5=15人 

练习：一游乐场在开门前有100人排队等候，开门后每分钟来的游客是相同的，一个入口处每分钟可以放入10名游客，如果开放2个入口处20分钟就没人排队，现开放4个入口处，那么开门后多少分钟后没人排队？

物美超市的收银台平均每小时有60名顾客前来排队付款，每一个收银台每小时能应付80名顾客付款。某天某时刻，超市如果只开设一个收银台，付款开始4小时就没有顾客排队了，问如果当时开设两个收银台，则付款开始几小时就没有顾客排队了？         D

　　A.2小时           B.1.8小时           C.1.6小时                D.0.8小时 

画展9时开门，但早有人来排队等候入场。从第一个观众来到时起，每分钟来的观众人数一样多。如果开3个入场口，9点9分就不再有人排队了，那么第一个观众到达的时间是8点＿＿分。                                      （    ）

A. 10      B. 12     C. 15

C假设每个人口每分钟进入的观众量是1份。

每分钟来的观众人数为（3×9-5×5）÷（9-5）=0.5（份）

到9时止，已来的观众人数为：3×9-0.5×9＝22.5（份）

第一个观众来到时比9时提前了：22.5÷0.5＝45（分）

所以第一个观众到达的时间是9时-45分=8时15分。

禁毒图片展8点开门，但很早便有人排队等候入场。从第一个观众到达时起，每分钟来的观众人数一样多。如果开3个入场口，8点9分就不再有人排队；如果开5个入场口，8点5分就没有人排队。第一个观众到达时距离8点还有多少分钟？

画展9点开门，但早就有人排队入场。以第一个观众来到时起，每分钟来的观众人数一样多。如果开3个入场口，则9分钟后就不再有人排队；如果开5个入场口，则5分钟后就不再有人排队。那么第一个观众到达的时间是几点几分？

电梯吃人

例1、自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼。已知男孩每分钟走20级梯级，女孩每分钟走15级梯级，结果男孩用了5分钟到达楼上，女孩用了6分钟到达楼上。问：该扶梯共有多少级？ 

解析：男孩：20×5 =100（级）    自动扶梯的级数-5分钟减少的级数

      女孩;15×6=90（级）       自动扶梯的级数-6分钟减少的级数

     每分钟减少的级数= (20×5-15×6) ÷(6-5)=10(级)

     自动扶梯的级数= 20×5+5×10=150（级）

  例 两个顽皮孩子逆着自动扶梯行驶的方向行走，男孩每秒可走3级阶梯，女孩每秒可走2级阶梯，结果从扶梯的一端到达另一端男孩走了100秒，女孩走了300秒。问该扶梯共有多少级？

3×100=300自动扶梯级数+100秒新增的级数

2×300=600自动扶梯级数+300秒新增的级数

每秒新增的级数：（2×300-3×100）÷（300-100）=1.5（级）

自动扶梯级数= 3×100-100×1.5=150（级）

    自动扶梯以均匀速度由下往上行驶，小明和小丽从扶梯上楼，已知小明每分钟走25级台阶，小丽每分钟走20级台阶，结果小明用了5分钟，小丽用了6分钟分别到达楼上。该扶梯共有多少级台阶？

商场的自动滚梯以均匀的速度由下往上行驶着,两个孩子嫌滚梯走的太慢，于是在行驶的滚梯上,男孩每秒钟向上走1 级台阶，女孩每3秒向上走2级台阶，结果男孩用50秒到达搂上，女孩用了60秒到达搂上。问商场的自动滚梯共有多少级？ 

水管抽水

例1、水库原有存水量一定，河水每天入库。5台抽水机连续20天抽干，6台同样的抽水机连续15天可抽干，若要6天抽干，要多少台同样的抽水机？

　分析：

　　5台    20天    原有水+20天入库量

　　6台    15天    原有水+15天入库量

　　？台    6天     -原有水+6天入库量

　解答：设1台1天抽水量为"1"，第一次总量为5×20=100，第二次总量为6×15=90

　　    每天入库量(100-90)÷(20-15)=2

　　    20天入库2×20=40，

        原有水100-40=60

　　    6天的总水量60+2×6=72

        72÷6=12（台）

  练习：一个水池，池底有水流均匀涌出．若将满池水抽干，用10台水泵需2小时，用5台同样的水泵需7小时，现要在半小时内把满池水抽干，至少要这样的水泵多少台？

设每台水泵每小时抽水量为一份．

　　（1）水流每小时的流入量：

　　（5×7-10×2）÷（7-2）=3（份）

　　（2）水池原有水量：

　　5×7-3×7=14（份）

　　或 10×2-3×2=14（份）

　　（3）半小时内把水抽干，至少需要水泵：

（14+3×0.5）÷0.5=31（台）

     练习：有一水井，继续不断涌出泉水，每分钟涌出的水量相等。如果使用3架抽水机来抽水，36分钟可以抽完，如果使用5架抽水机来抽水，20分钟可抽完。现在12分钟内要抽完井水，需要抽水机多少架？

有一个灌溉用的中转水池，一直开着进水管往里灌水，一段时间后，用2台抽水机排水，则用40分钟能排完；如果用4台同样的抽水机排水，则用16分钟排完。问如果计划用10分钟将水排完，需要多少台抽水机？   【牛老师答案】B

　　A.5台        B.6台           C.7台             D.8台 

   一条船有一个漏洞，水以均匀的速度漏进船内，待发现时船舱内已进了一些水。如果用12人舀水，3小时舀完。如果只有5个人舀水，要10小时才能舀完。现在要想在2小时舀完，需要多少人？

例：有一水池，池底有泉水不断涌出。要想把水池的水抽干，如用10台抽水机需抽8小时；如用8台抽水机需抽12小时。那么，如果用6台抽水机，需抽多少小时？

解答：

设一台抽水机一小时抽水一份。

则每小时涌出的水量是：（20×10-15×10）÷(20-10)=5份，

池内原有的水是：（10-5）×20=100份.

所以,用25部抽水机需要:100÷(25-5)=5小时

练习：一个水池，池底有泉水不断涌出，用10部抽水机20小时可以把水抽干，用15部相同的抽水机10小时可把水抽干。那么用25部这样的抽水机多少小时可以把水抽干？

有一水池，池底有泉水不断涌出，要想把水池的水抽干，10台抽水机需抽8小时，8台抽水机需抽12小时，如果用6台抽水机，那么需抽多少小时？

蜗牛爬山

例：两只蜗牛同时从一口井的井顶爬向井底。白天往下爬，两只蜗牛的爬行速度是不同的，一只每天爬行20分米，另一只每天爬行15分米。黑夜往下滑，两只蜗牛滑行的速度却是相同的，结果一只蜗牛恰好用了5个昼夜到达井底，另一只恰好用了6个昼夜到达井底。那么，井深多少米？

蜗牛每夜下降：（20×5-15×6）÷（6-5）=10分米

所以井深：     （20+10）×5=150分米=15米

　　点评：此题按牛吃草问题来处理，考察了学生的思维和推理能力．

5. 快、中、慢三车同时从A地出发，追赶一辆正在行驶的自行车。三车的速度分别是每小时24千米、20千米、19千米。快车追上自行车用了6小时，中车追上自行车用了10小时，慢车追上自行车用（        ）小时。

自行车的速度是：（20×10-24×6）÷（10-6）=14（千米/小时）

三车出发时自行车距A地：（24-14）×6==60（千米）

慢车追上自行车所用的时间为：60÷（19-14）=12（小时）

甲、乙、丙三辆车同时从A地出发，出发后6分钟甲车超过了一名长跑运动员，过了2分钟后乙车也超过去了，又过了2分钟丙车也超了过去．已知甲车每分钟走1000米，乙车每分钟走800米，求丙车的速度.

10. 现有速度不变的甲、乙两车，如果甲车以现在速度的2倍去追乙车，5小时后能追上，如果甲车以现在的速度去追乙车，3小时后能追上。那么甲车以现在的速度去追，几小时后能追上乙车？

15小时

设甲车现在的速度为每小时行单位“1”，那么乙车的速度为：

（2×5-3×3）÷（5-3）=0.5

乙车原来与甲车的距离为：

2×5-0.5×5＝7.5

所以甲车以现在的速度去追，追及的时间为：

7.5÷（1-0.5）=15（小时

6. 一水池中原有一些水，装有一根进水管，若干根抽水管。进水管不断进水，若用24根抽水管抽水，6小时可以把池中的水抽干，那么用16根抽水管，（      ）小时可将可将水池中的水抽干。

 设1根抽水管每小时抽水量为1份。

（1）进水管每小时卸货量是：（21×8-24×6）÷（8-6）=12（份）

（2）水池中原有的水量为：21×8-12×8＝72（份）

（3）16根抽水管，要将水池中的水全部抽干需：72÷（16-12）=18（小时）

7. 某码头剖不断有货轮卸下货物，又不断用汽车把货物运走，如用9辆汽车，12小时可以把它们运完，如果用8辆汽车，16小时可以把它们运完。如果开始只用3辆汽车，10小时后增加若干辆，再过4小时也能运完，那么后来增加的汽车是（       ）辆。

1设每两汽车每小时运的货物为1份。

（1）进水管每小时的进水量为：（8×16-9×12）÷（16-12）=5（份）

（2）码头原有货物量是：9×12-12×5＝48（份）

（3）3辆汽车运10小时后还有货物量是：48+（5-3）×10=68（份）

（4）后来增加的汽车辆数是：（68+4×5）÷4-3=19（辆）

9. 某水库建有10个泄洪闸，现在水库的水位已经超过安全警戒线，上游的河水还在按一不变的速度增加。为了防洪，需开闸泄洪。假设每个闸门泄洪的速度相同，经测算，若打开一个泄洪闸，30小时水位降到安全线，若打开两个泄洪闸，10小时水位降到安全线。现在抗洪指挥部要求在5.5小时内使水位降到安全线，问：至少要同时打开几个闸门？

4个 设1个泄洪闸1小时的泄水量为1份。

（1）水库中每小时增加的上游河水量：（1×30-2×10）÷（30-10）=0.5（份）

（2）水库中原有的超过安全线的水量为：1×30-0.5×30＝15（份）

（3）在5.5小时内共要泄出的水量是：15+0.5×5.5＝17.75（份）

（4）至少要开的闸门个数为：17.75÷5.5≈4（个）（采用“进1”法取值）

其它情形 

漏水问题，排队等候问题...等均可看作这种问题。 “牛吃草”问题分析　　 

　5．　答案仅供参考：

　　1．设1头牛吃一天的草量为一份． 60只羊相当于60÷4=15头牛

　　（1）每天新长的草量：

　　（15×24-20×12）÷（24-12）=10（份）

　　（2）原有草量：

　　20×12-10×12=120（份）

　　或 15×24-10×24=120（份）

　　（3）12头牛与88只羊吃的天数：

　　120÷（12＋88÷4-10）=5（天）

　　3．设一只羊吃一天的草量为一份．

　　（1）每天新长的草量：

　　（8×20-14×10）÷（20-10）=2（份）

　　（2）原有的草量：

　　8×20-2×20=120（份）

　　（3）若不增加6只羊，这若干只羊吃6天的草量，等于原有草量加上4＋2=6天新长草量再减去6只羊2天吃的草量：

　　120＋2×（4＋2）-1×2×6=120（份）

　　（4）羊的只数：

　　120÷6=20（只）

　　4．设1头牛吃一周的草量为一份．

　　（1）每公顷每周新长的草量：

　　（20×6÷12-12×4÷6）÷（6-4）=1（份）

　　（2）每公顷原有草量：

　　12×4÷6-1×4=4（份）

　　（3）16公顷原有草量：

　　4×16=（份）

　　（4）16公顷8周新长的草量：

　　1×16×8=128（份）

　　（5）8周吃完16公顷的牧草需要牛数：

　　（128+）÷8=24（只）

　　5．（1）长跑运动员的速度：

　　[800×（6+2）-1000×6]÷2=200（米/分）

　　（2）三车出发时，长跑运动员与A地的距离：

　　1000×6-200×6=4800（米）

　　（3）丙车行的路程：

　　4800+200×（6+2+2）=6800（米）

　　（4）丙车的速度：

　　2、有一口水井，如果水位降低，水就不断地匀速涌出，且到了一定的水位就不再上升。现在用水　吊水，如果每分吊4桶，则15分钟能吊干，如果每分钟吊8桶，则7分吊干。现在需要5分钟吊干，每分钟应吊多少桶水？

　　　　4、有一桶酒，每天都因桶有裂缝而要漏掉等量的酒，现在这桶酒如果给6人喝，4天可喝完；如果由4人喝，5天可喝完。这桶酒每天漏掉的酒可供几人喝一天？

　　5、一水库存水量一定，河水均匀入库。5台抽水机连续20天可抽干；6台同样的抽水机连续15天可抽干。若要6天抽干，需要多少台同样的抽水机？

　　6800÷10=680（米/分）

1、由于天气逐渐变冷，牧场上的草每天以均匀的速度减少。经计算，牧场上的草可供20头牛吃5天，或可供16头牛吃6天。那么，可供11头牛吃几天？

　　2、有一水池，池底有泉水不断涌出。要想把水池的水抽干，10台抽水机需抽8时，8台抽水机需抽12时。如果用6台抽水机，那么需抽多少小时？

　　3、有一个水池，池底有一个打开的出水口。用5台抽水机20小时可将水抽完，用8台抽水机15小时可将水抽完。如果仅靠出水口出水，那么多长时间能把水漏完？

　　4、　　5、某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多。从开始检票到等候检票的队伍消失，若同时开5个检票口则需要30分钟，若同时开6个检票口则需要20分钟。如果要使队伍10分钟消失，那么需要同时开几个检票口？

1、牧场长满牧草，每天牧草匀速生长，这片牧场可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天。问可供25头牛吃几天？

　　2、　　3、一片牧草，可供9头牛吃12天，也可供8头牛吃16天。现在开始只有4头牛吃，从第7天起又增加了若干头牛来吃草，再吃6天吃完了所有的草。问从第7天起增加了多少头牛（草每天匀速生长，每头牛每天的吃草量相等）？

　　4、一片牧草，可供16头牛吃20天，也可供80只羊吃12天，如果每天1头牛的吃草量等于每天4只羊的吃草量，那么10头牛与60只羊一起吃这一片牧草，问几天可以吃完这片牧草（牧草每天生长的速度相同，每只羊、每头牛每天的吃草量相同）？

　　5、哥哥沿着向上移动的自动扶梯从顶向下走到底，共走了100级，相同的时间内，妹妹沿着自动扶梯从底向上走到顶，共走了50级。若哥哥单位时间内走的级数是妹妹的2倍。那么当自动扶梯静止时，自动扶梯能看到的部分有多少级？

1. 一片牧场长满牧草，每天牧草都匀速生长，这片牧场可供10头牛吃20天，或可供15

头牛吃10天，问：可供多少头牛吃5天？  

2. 一片均匀生长的牧草，如果9头牛吃,12天吃光所有的草,如果8头牛吃16天吃完所有的

草。如果13头牛吃，多少天可以把草吃完？  

3. 有一片牧场,草每天生长的速度相同。草地上的草可供10头牛吃10周，或可供24只羊吃20周。已知每周1头牛和3只羊的吃草量相同，那么10头牛和12只羊一起吃草，可以吃多少周？  

3. 一条船有一个漏洞，水以均匀的速度进入船内，发现漏水时，船已经进了一些水。如果

用12个人来淘水，3小时可以淘光，如果用5个人来淘水，10小时才能淘光。现在要2小时淘光，需要安排多少人淘水？  

4. 一水库存原有水量一定，河水每天均匀入库。用5台同样的抽水机连续20天可将水抽干；用6台同样的抽水机连续工作15天可将水抽干。若想6天将水库里的水全部抽干，需要多少台同样的抽水机？   

5. 公路客运站早上5点开始售票，但早就有人排队等候买票了，每分钟来的旅客一样多，

从开始售票到等候买票的队伍消失，如果同时开5个售票口需30分钟，如果同时开6个售票口需20分钟。如果让队伍10分钟消失，那么要同时开几个售票口？  

67. 两个顽皮的孩子逆着自动扶梯的方向行走。男孩20秒走了27级，女孩走了24级，按

此速度男孩子2分钟到达另一端，而女孩需3分钟才能到达。问该自动扶梯共有多少级?  

8. 由于天气逐渐变冷，牧场上草每天以均匀的速度减少。经计算，牧场上的草可供20头

牛吃5天，或可供16头牛吃6天，则11头牛可以吃多少天？  

10.  12.

例1：一个数被3除余1，被4除余2，被5除余4，这个数最小是几？ 

题中3、4、5三个数两两互质。 

则〔4，5〕=20；〔3，5〕=15；〔3，4〕=12；〔3，4，5〕=60。 

为了使20被3除余1，用20×2=40； 

使15被4除余1，用15×3=45； 

使12被5除余1，用12×3=36。 

然后，40×1＋45×2＋36×4=274， 

因为，274>60，所以，274－60×4=34，就是所求的数。

例2：一个数被3除余2，被7除余4，被8除余5，这个数最小是几？ 

题中3、7、8三个数两两互质。 

则〔7，8〕=56；〔3，8〕=24；〔3，7〕=21；〔3，7，8〕=168。 

为了使56被3除余1，用56×2=112； 

使24被7除余1，用24×5=120。 

使21被8除余1，用21×5=105； 

然后，112×2＋120×4＋105×5=1229， 

因为，1229>168，所以，1229－168×7=53，就是所求的数。

例3：一个数除以5余4，除以8余3，除以11余2，求满足条件的最小的自然数。 

题中5、8、11三个数两两互质。 

则〔8，11〕=88；〔5，11〕=55；〔5，8〕=40；〔5，8，11〕=440。 

为了使88被5除余1，用88×2=176； 

使55被8除余1，用55×7=385； 

使40被11除余1，用40×8=320。 

然后，176×4＋385×3＋320×2=2499， 

因为，2499>440，所以，2499－440×5=299，就是所求的数。

例4：有一个年级的同学，每9人一排多5人，每7人一排多1人，每5人一排多2人， 

这个年级至少有多少人？ 

题中9、7、5三个数两两互质。 

则〔7，5〕=35；〔9，5〕=45；〔9，7〕=63；〔9，7，5〕=315。 

为了使35被9除余1，用35×8=280； 

使45被7除余1，用45×5=225； 

使63被5除余1，用63×2=126。 

然后，280×5＋225×1＋126×2=1877， 

因为，1877>315，所以，1877－315×5=302，就是所求的数。

例5：有一个年级的同学，每9人一排多6人，每7人一排多2人，每5人一排多3人，问这个年级至少有多少人？ 

题中9、7、5三个数两两互质。 

则〔7，5〕=35；〔9，5〕=45；〔9，7〕=63；〔9，7，5〕=315。 

为了使35被9除余1，用35×8=280； 

使45被7除余1，用45×5=225； 使63被5除余1，用63×2=126。 

然后，280×6＋225×2＋126×3=2508， 

因为，2508>315，所以，2508－315×7=303，就是所求的数。