北师大版八年级上册数学期中考试试题带答案

一、选择题。（每小题只有一个正确答案）

1．4的算术平方根是(    )

A．2    B．－2    C．±2    D．16

2．实数,0,,,,0.3131131113…（相邻两个3之间依次多一个1），其中有理数的个数是（　　）

A．4    B．3    C．2    D．1

3．下列各组数中互为相反数的是（    ）

A．与    B．与    C．2与    D．与

4．一个正方形的面积为16cm2，则它的对角线长为（　　）

A．4 cm    B．4cm    C．8cm    D．6cm

5．化简（2﹣）4×（2+）3的结果为（　　）

A．﹣2+    B．2﹣    C．2+    D．﹣2﹣

6．已知在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣2，3），下列说法正确的是（　　）

A．点A与点B（2，﹣3）关于x轴对称   B．点A与点C（﹣3，﹣2）关于x轴对称

C．点A与点D（2，3）关于y轴对称   D．点A与点E（3，2）关于y轴对称

7．下列图形中，表示一次函数y＝mx＋n与正比例函数y＝mnx（m，n为常数，且mn≠0）的图象的是（    ）

A． B．C． D．

8．小莹和小博士下棋，小莹执圆子，小博士执方子．如图，棋盘中心方子的位置用（﹣1，0）表示，右下角方子的位置用（0，﹣1）表示．小莹将第4枚圆子放入棋盘后，所有棋子构成一个轴对称图形．她放的位置是（　　）

A．（﹣2，1）    B．（﹣1，1）    C．（1，﹣2）    D．（﹣1，﹣2）

9．如图，△ABC的顶点A,B,C在边长为1的正方形网格的格点上,BD⊥AC于点D,则BD的长为 (    )

A．    B．    C．    D．

10．如图，矩形BCDE的各边分别平行于x轴或y轴，物体甲和物体乙分别由点A（2，0）同时出发，沿矩形BCDE的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第2012次相遇地点的坐标是（   ）

A．（2，0）    B．（－1，1）    C．（－2，1）    D．（－1，－1）

二、填空题

11．化简：__________．

12．若点A（m+3，1﹣m）在y轴上，则点A的坐标为_____．

13．在平面直角坐标系中，第二象限内的点到横轴的距离为，到纵轴的距离为，则点的坐标是________．

14．若一个正数的两个平方根分别是a+3和2﹣2a，则这个正数的立方根是_____．

15．如图，中，，将折叠，使点与的中点重合，折痕为则线段的长为________．

三、解答题

16．计算：(1)         (2) 

17．如图，在△ABC中，点D为边BC的中点，若AB=17，BC=30，AD=8．

（1）试说明AD⊥BC；

（2）试说明△ABC是等腰三角形．

18．下面的方格图是由边长为1的若干个小正方形拼成的，ABC的顶点A，B，C均在小正方形的顶点上．

（1）在图中建立恰当的平面直角坐标系，取小正方形的边长为一个单位长度，且使点A的坐标为（﹣4，2）；

（2）在（1）中建立的平面直角坐标系内画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出△A1B1C1各顶点的坐标．

19．如图，过点A（2，0）的两条直线，分别交y轴于B，C，其中点B在原点上方，点C在原点下方，已知AB=.

（1）求点B的坐标；

（2）若△ABC的面积为4，求的解析式．

20．小刚根据以往的学习经验，想通过由“特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律.

以下是小刚的探究过程，请补充完整.

（1）具体运算，发现规律：

特例1：；特例2：；特例3：；

特例4：______（举一个符合上述运算特征的例子）；

（2）观察、归纳，得出猜想：

如果为正整数，用含的式子表示这个运算规律：______；

（3）请你证明猜想的正确性.

21．阅读材料：

小明在学习二次根式后,发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方,如.善于思考的小明进行了以下探索：

设(其中a、b、m、n均为整数),则有.

∴.这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法．

请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（a,b,m,n均为正整数）

(1)，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a=___，b=___；

(2)当a=7,n=1时，填空：7+     =（       +）2

(3)若，求a的值.

22．如图，Rt△AOB 在平面直角坐标系中,点O与坐标原点重合,点A在x轴上,点B在y轴上,，将△AOB沿直线BE折叠,使得OB边落在AB上,点O与点D重合.

（1）求直线BE的解析式;

（2）求点D的坐标;

（3）x轴上是否存在点P，使△PAD为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

23．如图，在中，是上的一点，若，，，，求的面积．

24．甲、乙两人相约周末登花果山，甲、乙两人距地面的高度（米）与登山时间（分）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题：

（1）甲登山上升的速度是每分钟        米，乙在地时距地面的高度为       米；

（2）若乙提速后，乙的登山上升速度是甲登山上升速度的3倍，请求出乙登山全程中，距地面的高度（米）与登山时间（分）之间的函数关系式．

（3）登山多长时间时，甲、乙两人距地面的高度差为50米？

参

1．A

【详解】

试题分析：一个正数有两个平方根，其中正的平方根是算术平方根．4的平方根是±2，所以4的算术平方根是2．

考点：算术平方根的意义．

2．B

【详解】

分析：根据实数的分类以及有理数的概念，直接判断即可.

详解：0,,,是有理数，共3个.

, , 0.3131131113…（相邻两个3之间依次多一个1）是无理数.

故选B.

点睛：此题主要考查了有理数的概念，有限小数或无限循环小数是有理数，化简判断即可求解，比较简单.

3．A

【分析】

先分别化简，再根据相反数的定义分别判断．

【详解】

解：A、，与-2互为相反数，故符合；

B、，不互为相反数，故不符合；

C、，不互为相反数，故不符合；

D、，不互为相反数，故不符合；

故选A．

【点睛】

本题考查了相反数，算术平方根和立方根，解决本题的关键是熟记相反数的定义．

4．B

【分析】

根据对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半，且正方形对角线相等，列方程解答即可．

【详解】

设正方形的对角线长为xcm，根据题意可得，

，解得x=（负值舍去），

∴正方形的对角线长为4cm.

故选B.

【点睛】

本题主要考查了正方形的性质，注意结论：对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半．此题也可首先根据面积求得正方形的边长，再根据勾股定理进行求解．

5．A

【解析】

【分析】

把题目中的式子化为，再利用平方差公式计算即可.

【详解】

（2﹣）4×（2+）3

=

=

=.

故选A.

【点睛】

本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．

6．C

【解析】

【分析】

根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数；关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变即可解答．

【详解】

∵点A的坐标为（-2，3），

∴点A关于x轴对称的点的坐标为（-2，-3），

点A关于y轴对称的点的坐标为（2，3），

∴选项A、B、D错误；选项C正确．

故选C．

【点睛】

本题主要考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标规律，关键是熟练掌握点的变化规律，不要混淆．

7．A

【分析】

根据“两数相乘，同号得正，异号得负”分两种情况讨论mn的符号，然后根据m、n同正时，同负时，一正一负或一负一正时，利用一次函数的性质进行判断．

【详解】

解：①当mn＞0，m，n同号，同正时y＝mx＋n过1，3，2象限，同负时过2，4，3象限；

②当mn＜0时，m，n异号，则y＝mx＋n过1，3，4象限或2，4，1象限．

故选：A．

【点睛】

此题主要考查一次函数与正比例函数的图象判断，解题的关键是熟知一次函数的图象与性质．

8．B

【详解】

解：棋盘中心方子的位置用（﹣1，0）表示，则这点所在的横线是x轴，

右下角方子的位置用（0，﹣1），则这点所在的纵线是y轴，

则当放的位置是（﹣1，1）时构成轴对称图形．

故选B．

9．A

【分析】

根据图形和三角形的面积公式求出△ABC的面积，根据勾股定理求出AC，根据三角形的面积公式计算即可．

【详解】

解：如图所示：记BC上的高为AE，

∵AE=4，AC= 

 BC=4 ，

即  

解得： 

故选：A．

【点睛】

本题主要考查了勾股定理的知识，解题的关键是利用勾股定理求出AC的长．

10．D

【详解】

利用行程问题中的相遇问题，由于矩形的边长为4和2，物体乙是物体甲的速度的2倍，求得每

一次相遇的地点，找出规律作答：

∵ 矩形的边长为4和2，物体乙是物体甲的速度的2倍，时间相同，

∴物体甲与物体乙的路程比为1：2．由题意知：

①第一次相遇物体甲与物体乙行的路程和为12×1，物体甲行的路程为12×=4，物体乙行的路程为12×=8，在BC边相遇；

②第二次相遇物体甲与物体乙行的路程和为12×2，物体甲行的路程为12×2×=8，物体乙行的路程为12×2×=16，在DE边相遇；

③第三次相遇物体甲与物体乙行的路程和为12×3，物体甲行的路程为12×3×=12，物体乙行的路程为12×3×=24，在A点相遇；

…

此时甲乙回到原出发点，则每相遇三次，两点回到出发点，

∵2012÷3=670…2，

故两个物体运动后的第2012次相遇地点的是：第二次相遇地点，即物体甲行的路程为12×2×=8，物体乙行的路程为12×2×=16，在DE边相遇．

此时相遇点的坐标为：（－1，－1）．故选D．

11．

【分析】

先判断两个实数的大小关系，再根据绝对值的代数意义化简，进而得出答案．

【详解】

解：∵，

∴原式

，

故答案为：．

【点睛】

此题主要考查了绝对值的代数意义，正确判断实数的大小是解题关键．

12．（0，4）

【解析】

【分析】

利用y轴上点的坐标特点得出m的值，即可求解．

【详解】

∵点A（m+3，1-m）在y轴上，

∴m+3=0，

解得：m=-3，

故1-m=4，

则点A的坐标为：（0，4）．

故答案为：（0，4）．

【点睛】

此题主要考查了点的坐标，正确把握点的坐标特点是解题关键．

13．（－3，2）

【分析】

根据点到x轴的距离是纵坐标的绝对值，点到y轴的距离是点的横坐标的绝对值，第二象限内点的横坐标小于零，纵坐标大于零，可得答案．

【详解】

∵点到横轴的距离为，到纵轴的距离为，

∴|y|=2，|x|=3，

由M是第二象限的点，得：

x=−3，y=2．

即点M的坐标是（−3，2)，

故答案为：（−3，2）．

【点睛】

此题考查象限及点的坐标的有关性质，解题关键在于第二象限内点的横坐标小于零，纵坐标大于零．

14．4

【分析】

根据一个正数的平方根有2个，且互为相反数求出a的值，即可确定出正数的立方根．

【详解】

根据题意得：a+3+2-2a=0，

解得：a=5，

则这个正数为（5+3）2=，

则这个正数的立方根是4．

故答案为4．

【点睛】

本题考查了立方根以及平方根的定义，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．

15．4

【分析】

根据题意，设BN=x，由折叠DN=AN=9-x，在利用勾股定理列方程解出x，就求出BN的长．

【详解】

∵D是CB中点，BC=6

∴BD=3

设BN=x，AN=9-x，由折叠，DN=AN=9-x，

在中，，

，解得x=4

∴BN=4．

故答案是：4．

【点睛】

本题考查折叠的性质和勾股定理，关键是利用方程思想设边长，然后用勾股定理列方程解未知数，求边长．

16．(1);(2)2- 

【解析】

【分析】

（1）先把二次根式化简，然后合并同类二次根式即可；

（2）先算乘除，再算加减即可.

【详解】

(1)   

=

=；

 (2) 

=

=

=2-.

【点睛】

本题考查了二次根式的性质及二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键.

17．（1）证明见解析；（2）证明见解析．

【解析】

【分析】

（1）根据已知条件计算出BD2+AD2=AB2，从而可判定AD⊥BC；（2）根据线段垂直平分线的性质可得AB=AC，即可得△ABC是等腰三角形．．

【详解】

（1）∵AD为中线，

∴BD=CD=15，

∵152+82=172，

∴BD2+AD2=AB2，

∴AD⊥BC，

（2）∵AD⊥BC，BD=DC，

∴AD是BC的垂直平分线，

∴AB=AC，

∴△ABC是等腰三角形．

【点睛】

本题主要考查了勾股定理逆定理，线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的判定，熟练运用勾股定理逆定理，线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的判定是解决问题的关键．

18．（1）见解析；（2）见解析，A1（4，2），B1（1，2），C1（2，5）．

【详解】

试题分析：（1）根据点A的坐标为（﹣4，2）建立坐标系即可；

（2）作出各点关于y轴的对称点，再顺次连接，写出三角形各顶点的坐标即可．

解：（1）如图所示；

（2）如图所示，A1（4，2），B1（1，2），C1（2，5）．

考点：作图-轴对称变换．

19．（1）（0，3）；（2）．

【分析】

（1）在Rt△AOB中，由勾股定理得到OB=3，即可得出点B的坐标；

（2）由=BC•OA，得到BC=4，进而得到C（0，-1）．设的解析式为， 把A（2，0），C（0，-1）代入即可得到的解析式．

【详解】

（1）在Rt△AOB中，

∵，

∴，

∴OB=3，

∴点B的坐标是（0，3） ．

（2）∵=BC•OA，

∴BC×2=4，

∴BC=4，

∴C（0，-1）．

设的解析式为， 

把A（2，0），C（0，-1）代入得：，

∴，

∴的解析式为是．

考点：一次函数的性质．

20．（1）（合理即可）；（2）；

（3）见解析.

【分析】

（1）根据题目中的例子可以写出例4；

（2）根据特例中被开方数与序号数之间的关系，可以写出相应的猜想；

（3）根据二次根式和分式的运算法则对等号左边的式子化简，即可得到等号右边的式子．

【详解】

解：（1）特例4：（合理即可）

（2）由特例可知，运算规律为：；

（3）证明：.

∵为正整数，

∴，

∴，

即.

【点睛】

本题考查二次根式的混合运算、分式的运算、数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．

21．（1）m2+3n2,2mn（2）4,2 (3)28或12

【分析】

（1）利用完全平方公式展开得到（m+n）2=m2+3n2+2mn，从而可用m、n表示a、b；

（2由（1）可知：n=1，由a=m2+3n2=7，得出m的值，从而得到b的值，然后填空即可；

（3）利用a=m2+3n2，2mn=6和a、m、n均为正整数可先确定m、n的值，然后计算对应的a的值．

【详解】

（1）（m+n）2=m2+3n2+2mn，∴a=m2+3n2，b=2mn；

（2）由（1）可知：n=1，∴a=m2+3n2=7，解得：m=2（负数舍去），∴m=2，n=1，∴b=2mn =4，∴7+4=（2+）2；

（3）a=m2+3n2，2mn=6．

∵a、m、n均为正整数，∴m=3，n=1或m=1，n=3．

①当m=3，n=1时，a=9+3=12；

②当m=1，n=3时，a=1+3×9=28．

∴a的值为28或12．

【点睛】

本题考查了二次根式的混合运算．先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．

22．（1）y=x+2 （2）（-3，）（3） 或（）或（0,0）或（-4,0）

【分析】

（1）先利用直角三角形的性质（直角三角形中，如果有一个角是30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．）和勾股定理求出点的坐标E（﹣2，0），进一步用待定系数法求出一次函数的解析式y=x+2．

（2）过D作DG⊥OA于G．由折叠可知DE=2．再由∠EDG=30°，得到GE=1，DG=，从而可求出D的坐标；

（3）设P（x，0）．可求得DG=，AD=．然后分三种情况讨论：

①以A为圆心，AD为半径作圆与x轴交于点P；②以D为圆心，DA为半径作圆与x轴交于点P；③设线段AD的垂直平分线交x轴于P．

【详解】

（1）∵OB=，AO=6，∴AB==，∴∠BAO=30°，∴∠ABO=60°．

∵沿BE折叠O、D重合，∴∠EBO=30°，OE=BE，设OE=x，则（2x）2=x2+，∴x=2，即 BE=4，E（﹣2，0），设y=kx+b代入得：，解得：，∴直线BE的解析式是：；

（2）过D作DG⊥OA于G．

∵沿BE折叠O、D重合，∴DE=2．

∵∠DAE=30°，∴∠DEA=60°，∠ADE=∠BOE=90°，∴∠EDG=30°，∴GE=1，DG=，∴OG=1+2=3，∴D的坐标是：D；

（3）设P（x，0）．

∵∠OAB=30°，DG=，∴AD=2DG=．分三种情况讨论：

①以A为圆心，AD为半径作圆与x轴交于点P，则AP=AD=，∴P(，0)；

②以D为圆心，DA为半径作圆与x轴交于点P，则AP=2AG= DG=6．

∵OA=6，∴P与O重合，∴P（0，0）；

③设线段AD的垂直平分线交x轴于P，则PA=PD，∴，解得：x=－4，∴P（－4，0）．

综上所述：P的坐标为：P(，0)或P（0，0）或P（－4，0）．

【点睛】

本题是一次函数综合题．解答此题的关键是根据两点坐标用待定系数法求出解析式，注意一题多解．

23．84

【分析】

先根据，，，利用勾股定理的逆定理求证是直角三角形，再利用勾股定理求出的长，然后利用三角形面积公式即可得出答案．

【详解】

解：，

是直角三角形，

，

在中，，

，

．

因此的面积为84．

故答案为84．

【点睛】

此题主要考查学生对勾股定理和勾股定理的逆定理的理解和掌握，解答此题的关键是利用勾股定理的逆定理求证是直角三角形．

24．（1）10；30；（2）；（3）4分钟、9分钟或15分钟．

【分析】

（1）根据速度=高度÷时间即可算出甲登山上升的速度；根据高度=速度×时间即可算出乙在A地时距地面的高度b的值；

（2）分0≤x≤2和x≥2两种情况，根据高度=初始高度+速度×时间即可得出y关于x的函数关系；

（3）当乙未到终点时，找出甲登山全程中y关于x的函数关系式，令二者做差等于50即可得出关于x的一元一次方程，解之即可求出x值；当乙到达终点时，用终点的高度-甲登山全程中y关于x的函数关系式=50，即可得出关于x的一元一次方程，解之可求出x值．综上即可得出结论．

【详解】

（1）（300-100）÷20=10（米/分钟），

b=15÷1×2=30．

故答案为：10；30．

（2）当0≤x≤2时，y=15x；

当x≥2时，y=30+10×3（x-2）=30x-30．

当y=30x-30=300时，x=11．

∴乙登山全程中，距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式为．

（3）甲登山全程中，距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式为y=10x+100（0≤x≤20）．

当10x+100-（30x-30）=50时，解得：x=4；

当30x-30-（10x+100）=50时，解得：x=9；

当300-（10x+100）=50时，解得：x=15．

答：登山4分钟、9分钟或15分钟时，甲、乙两人距地面的高度差为50米．

【点睛】

本题考查了一次函数的应用以及解一元一次方程，解题的关键是：（1）根据数量关系列式计算；（2）根据高度=初始高度+速度×时间找出y关于x的函数关系式；（3）将两函数关系式做差找出关于x的一元一次方程．