山西省怀仁市2021-2022学年高二上学期期末数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

A． ． ． ．

2．椭圆的焦点为、，上顶点为，若，则（ ）

A． ． ． ．

3．若两直线与平行，则它们之间的距离为

A． ． ． ．

4．函数的导函数为，若已知图象如图，则下列说法正确的是（ ）

A．存在极大值点 ．在单调递增

C．一定有最小值 ．不等式一定有解

5．设是首项大于零的等比数列，则“”是“数列为递增数列”的

A．充分而不必要条件 ．必要而不充分条件

C．充分必要条件 ．既不充分也不必要条件

6．已知抛物线的焦点为，为坐标原点，点在抛物线上，且，点是抛物线的准线上的一动点，则的最小值为（ ）.

A． ． ． ．

7．已知数列是首项为，公差为1的等差数列，数列满足．若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是（    ）

A．， ． ．， ．

8．设，分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点，使 （为坐标原点），且，则双曲线的离心率为（ ）

 ． ． ．

9．过点P(-1，1)作圆C：的两条切线，切点分别为点A、B，则四边形ACBP的面积为（ ）

A． ．6 ． ．3

10．在公比为为q等比数列中，是数列的前n项和，若，则下列说法正确的是（    ）

A． ．数列是等比数列

C． ．

11．已知函数的图象在点处的切线与直线平行，若数列的前项和为，则的值为（    ）

A． ． ． ．

12．数列中，满足，，设，则（    ）

A． ． ． ．

14．设点和，在直线：上找一点，使取到最小值，则这个最小值为__________

15．已知点为椭圆上的动点，为圆的任意一条直径，则的最大值是__________．

16．设函数是函数的导函数，已知，且，则使得成立的x的取值范围是_________.

（2）已知函数在R上无极值点，求a的值.

18．设为数列的前n项和，，且.

（1）证明，数列为等差数列；

（2）若数列满足，求数列的前n项和.

19．已知圆．

（1）若直线与圆相切，且直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程；

（2）求与圆和直线都相切的最小圆的方程．

20．如图所示，直角梯形中，，，，四边形为矩形，，平面平面.

（1）求证：平面；

（2）求二面角的正弦值；

（3）在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出线段的长，若不存在，请说明理由.

21．已知椭圆的右焦点，右顶点为，点是椭圆上异于点的任意一点，的面积的最大值为.

（1）求椭圆的离心率；

（2）设经过点且斜率为的直线与椭圆在轴上方的交点为，圆同时与轴和直线相切，圆心在直线上，且，求椭圆的方程.

22．设函数其中为自然对数的底数.

（1）讨论的单调性；

（2）当时，证明：函数无零点；

（3）确定的所有可能取值，使得在区间内恒成立. 

参

1．D

【分析】

将直线方程转化为斜截式，再根据直线的斜率求出倾斜角；

【详解】

解：因为，所以，则直线的斜率，设倾斜角为，则，因为，所以

故选：D

2．C

【分析】

分析出为等边三角形，可得出，进而可得出关于的等式，即可解得的值.

【详解】

在椭圆中，，，，

如下图所示：

因为椭圆的上顶点为点，焦点为、，所以，

，为等边三角形，则，即，

因此，.

故选：C.

3．D

【分析】

根据两直线平行求得的值，利用平行线间距离公式求解即可

【详解】

与平行,

,即

直线为,即

故选D

【点睛】

本题考查求平行线间距离. 当直线与直线平行时,；平行线间距离公式为，因此两平行直线需满足,

4．C

【分析】

根据图象可得的符号，从而可得的单调区间，再对选项进行逐一分析判断正误得出答案.

【详解】

由所给的图象，可得当时，，当时，，

当时，，当时，，

可得在递减，递增；在递减，在递增，B错误，

且知，所以存在极小值和，无极大值，A错误，

同时无论是否存在，可得出一定有最小值，但是最小值不一定为负数，故C正确，D错误.

故选：C.

5．B

【分析】

根据等比数列通项公式分别讨论充分性与必要性即可得答案.

【详解】

解：设公比为，若，则，即，则有或，

所以当时，数列为摆动数列，故充分性不成立；

若数列为递增数列，则，由于，∴，故必要性成立.

所以“”是“数列为递增数列”的必要而不充分条件.

故选：B.

【点睛】

本题考查必要不充分条件，等比数列的单调性，是中档题.

6．A

【分析】

求出点坐标，做出关于准线的对称点，利用连点之间相对最短得出为的最小值．

【详解】

解：抛物线的准线方程为，

，到准线的距离为2，故点纵坐标为1，

把代入抛物线方程可得．

不妨设在第一象限，则，

点关于准线的对称点为，连接，

则，于是

故的最小值为．

故选：A．

【点睛】

本题考查了抛物线的简单几何性质，属于基础题．

7．D

【分析】

由等差数列通项公式得，再结合题意得数列单调递增，且满足，，即，再解不等式即可得答案.

【详解】

解：根据题意：数列是首项为，公差为1的等差数列，

所以，

由于数列满足，

所以对任意的都成立，

故数列单调递增，且满足，，

所以，

解得．

故选：．

8．D

【分析】

由题意可知，可得，设，则，进而利用双曲线定义可用表示出，根据勾股定理求得和的关系，从而可求出双曲线的离心率

【详解】

解：因为，所以，

设，则，

因为，所以可得，

因为，所以，则，

所以，

故选：D

【点睛】

此题考查了双曲线的简单性质，考查了学生对双曲线定义的理解和运用，属于基础题

9．B

【分析】

先由圆的一般方程求得圆的圆心和半径，在利用切线的性质和三角形的面积公式计算得出选项.

【详解】

因为圆C：，所以圆C的标准方程为，则圆心，半径，

四边形ACBP的面积可以看作与的面积的和，且与全等，所以四边形ACBP的面积

故选：B.

10．D

【分析】

根据等比数列的通项公式、前项和公式的基本量运算，即可得到答案；

【详解】

，，故A错误；

，，显然数列不是等比数列，故B错误；

，故C错误； 

，，故D成立；

故选：D

11．A

【分析】

函数的图象在点处的切线与直线平行，利用导函数的几何含义可以求出，转化求解数列的通项公式，进而由数列的通项公式，利用裂项相消法求和即可．

【详解】

解：∵函数的图象在点处的切线与直线平行，

由求导得：，

由导函数得几何含义得：，可得，∴，

所以，∴数列的通项为，

所以数列的前项的和即为，

则利用裂项相消法可以得到： 

所以数列的前2021项的和为：. 

故选：A.

12．C

【分析】

由递推公式可归纳得，由此可以求出的值．

【详解】

因为，，

所以，

，

，

．

因此．

故选C．

【点睛】

本题主要考查利用数列的递推式求值和归纳推理思想的应用，意在考查学生合情推理的意识和数学建模能力．

13．

【分析】

先求函数的导数，再利用导数的几何意义求函数在处的切线方程.

【详解】

，，，

所以曲线在点处的切线方程为，

即.

故答案为：

【点睛】

本题考查导数的几何意义，重点考查计算能力，属于基础题型.

14．

【分析】

求出点关于直线：的对称点为，连结，则交直线于点，点即为所求的点，此时，.

【详解】

解：

设点关于直线：的对称点为

线段的中点在上

则

又，

解得，

故答案为：

【点睛】

本题考查线段和的最小值的求法，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用，

属于中档题.

15．

【分析】

设点，则且，计算得出，再利用二次函数的基本性质即可求得的最大值.

【详解】

解：圆的圆心为，半径长为，

设点，

由点为椭圆上的动点，可得：且，

由为圆的任意一条直径可得：

，，

，

，，

当时，取得最大值，即.

故答案为：.

16．

【分析】

构造函数利用导数研究单调性，即可得到答案；

【详解】

，令，

，

单调递减，且，

，

x的取值范围是，

故答案为：

17．（1）；（2）1

【分析】

（1）将问题转化为在内恒成立，求出的最小值，即可得到答案；

（2）对函数求导得，由，即可得到答案；

【详解】

（1）依题意知，在内恒成立，

所以在内恒成立，所以，

因为的最小值为1，

所以，所以实数m的取值范围是. 

（2），依题意有，

即，，解得.

18．

（1）证明见解析

（2）

【分析】

（1）根据与的关系，求得，即可得到答案；

（2）求出，再利用错位相减求和，即可得到答案；

（1）

∵，

∴，整理得，

两边同时除以得，，首项，

∴是以1为首项，1为公差的等差数列；

（2）

由（1）得，即，

当时，，

当时，也满足上式，∴数列的通项公式为，

令数列的前n项和为﹐

则①，

两边同时乘以2，得②，

①━②得：

.

19．（1）或x+y+1＝0或x+y﹣3＝0；（2）

【分析】

（1）设直线的方程为x+y＝k，直线l与圆C相切，，|1﹣k|＝2，得k＝﹣1或者3；

（2）根据与圆C和直线x﹣y﹣5＝0都相切的最小圆在圆C到直线x﹣y﹣5＝0的直线上，求出半径和圆心，即可求出答案．

【详解】

解：（1）当直线过原点时，设直线的方程为y＝kx.

，解得，

所以，

设直线的方程为x+y＝k，圆C：x2+y2+2x﹣4y+3＝0的标准方程为（x+1）2+（y﹣2）2＝2，

若直线l与圆C相切，，|1﹣k|＝2，得k＝﹣1或者3，

所以直线l的方程为x+y+1＝0，或者x+y﹣3＝0；

综上：或x+y+1＝0或x+y﹣3＝0.

（2）根据题意，由于，所以直线x﹣y﹣5＝0与圆C相离，

所求最小的圆心一定在过圆C的圆心（﹣1，2）的直线y＝﹣x+1上，且到直线x﹣y﹣5＝0的距离为，

设最小的圆心为（a，1﹣a），所以，|2a﹣6|＝3，

得，或者，根据题意，

所以最小的圆的方程为．

【点睛】

本题考查直线与圆的位置关系，考查直线与圆相切及最值问题，考查转化能力与计算能力，属于中档题.

20．（1）证明见解析；（2）；（3）存在，或.

【分析】

（1）由平面平面，可得平面，取为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，求平面的法向量和，证明即可.

（2）求平面的法向量和平面的法向量，由二面角的向量公式计算即可得到答案.

（3）假设在线段上存在点，根据可用表示出点P坐标，求出平面的法向量和的坐标，利用线面角的向量公式计算即可得到答案.

【详解】

（1）证明：四边形为矩形，，

又平面平面，平面平面，

平面.

取为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，

如图，则，，，，，

设平面的法向量，

，，

由，取，得，

又，，，

又平面，平面；

（2），，，，，

设平面的法向量，

则，取，得，

设平面的法向量，

则，取，得，

设二面角的平面角为，

则，

二面角的正弦值.

（3）假设在线段上存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，

设，，则，，，，，

解得，，，，，，

平面的法向量，，，，，，

直线与平面所成角的正弦值为，

，

解得或，

，或.

【点睛】

本题考查利用空间向量证明线面平行，利用空间向量求二面角的平面角和线面角，考查空间想象能力和计算能力，属于基础题.

21．（1）；（2）.

【分析】

（1）当的面积最大时，点位于椭圆的上或下顶点，列式计算椭圆的离心率；

（2）根据题意写出直线方程，与椭圆方程联立，求得点的坐标，设，根据，求解的值，再利用圆同时与轴和直线相切，求，得到椭圆方程.

【详解】

（1）当点位于椭圆的上或下顶点时，的面积最大，

此时有，即，

，，即 

得或（舍，离心率.

故椭圆的离心率为.

（2）由题可知，直线的方程为，

椭圆的方程为，

联立，得，

解得或，当时，；

当时，，点的坐标为.

点在直线上，可设点为，

又，，即，

，点.

圆同时与轴和直线相切，

即，解得，

故椭圆的方程为.

【点睛】

本题考查直线方程，圆，直线与圆锥曲线的位置关系，以及椭圆的性质，重点考查转化与化归思想，计算能力，属于中档题型.

22．（1）时，函数单调递减；时，函数在上单调递减，在上单调递增；（2）证明见解析；（3）

【分析】

（1）求导得到，讨论和两种情况，计算得到答案.

（2），即，设，证明，得到证明.

（3）讨论，，三种情况，计算，得到函数单调性，得到答案.

【详解】

（1），则，

当时，恒成立，函数单调递减；

当时，取，，解得，

在上单调递减，在上单调递增.

综上所述：时，函数单调递减；时，函数在上单调递减，在上单调递增.

（2），即，设，

则在上恒成立，故恒成立，故无解.

即时，函数无零点.

（3），即

当时，函数单调递减，故，恒成立，故不成立；

当时，，故，恒成立，故不成立；

当时，设，

则，

故恒成立.

综上所述：.

【点睛】

本题考查了函数单调性，函数零点问题，恒成立问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.