数学培优竞赛新方法(九年级)-第22讲 几何最值

知识纵横

    几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量（如线段长度、角度大小、图形面积等）的最大值或最小值。求几何最值问题的基本方式有：

    1.特殊位置与极端位置法：先考虑特殊位置或极端位置，确定最值的具体数据，在进行一般情况下的推证。

    2.几何定理（公理）法：应用几何中的不变量性质、定理.

    3.数行结合法：揭示问题中变动元素的代数关系，构造一元二次方程、二次函数等。

例题求解

【例1】   如图，在锐角中，，，的平分线交于点，点、分别是和上的动点，则的最小值     。

   （陕西省中考题）

思路点拨  画折线为直线，综合运用轴对称、垂线段最短等知识。

【例2】  如图，在中，AB=10，AC=8，BC=6，经过点C且与AB相切的动圆与CB、CA分别相交于点E、F，则线段EF的最小值（    ）。

    A.        B.4.75       C.5          D4.8

（兰州市中考题）

  思路点拨   设O与AB相切与T，连OC、OT,EF为O直径，则EF=OE+OF=OC+OT,将问题转化为求OC+OT的最小值。

【例3】  如图，正方形的边长为4cm，点是边上不与点B、C重合的任意一点，连接AP，过点P作PQ⊥AP交DC于点Q，设BP的长为cm，CQ的长为cm.

(1)求点P在BC上运动的过程中y的最大值；

(2)当cm时，求的值.

（河南省中考题）

 思路点拨  利用相似形建立与的函数关系式，由此导出的最大值

【例4】  如图，已知平行四边形ABCD，AB=a，BC=b（a>b）,P为AB边上的一动点，直线DP交CB的延长线于Q，求AP=BQ的最小值. 

                                            （永州市竞赛题）

思路点拨  设AP=x，把AP、BQ分别用x的代数式表示，运用不等式或（当且仅当a=b时取等号）来求最小值.

【例5】  如图，在四边形ABCD中，AD=DC=1，∠DAB=∠DCB=90，BC、AD的延长线交于P，求AB·S△PAB的最小值.

图形折叠

【例6】  在等腰中， ==5， =6.动点、分别在两腰、上（M不与A、B重合，N不与A、C重合），且MN//BC，将△AMN沿MN所在的直线折叠，使点A的对应点为P.

（1）当为何值时，点恰好落在上？

（2）设，与等腰重叠部分的面积为y，试写出y与x的函数关系式.当x为何值时，y的值最大，最大值是多少？.

（2011年宁夏中考题）

学力训练

基础夯实

1．如图，菱形ABCD的两条对角线分别长为6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，则PM+PN的最小值是_______。

（荆门市中考题）

2．如图，将两张长为8、宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值，那么菱形周长的最大值是________。

                                                          （烟台市中考题）

3．动手操作：在矩形纸片ABCD中，AB=3，AD=5.如图所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A处，折痕为PQ．当点A在BC边上移动时，折叠的端点P、Q也随之移动。若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则点A’在BC边上可移动的最大距离为_______。

（河南省中考题）

4．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC,AD=DC=4，BC=8。点N在上，CN=2,E是AB中点，在AC上找一点M，使EM+MN的值最小，此时最小值一定等于（  ）。

A. 6              B.8             C.4            D. 

（呼和浩特市中考题）

5．如图，在等腰中， ，AC=8，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、边上运动，且保持AD=CE，连接DE、DF、EF.在此运动变化的过程中，下列结论：①△DEF是等腰三角形；②四边形CDFE不可能为正方形；③DE长度的最小值为4；④四边形CDFE的面积保持不变；⑤△CDE面积的最大值为8.其中正确的结论是（  ）。

　 A．①②③          B．①④⑤         C．①③④        D．③④⑤

（重庆市中考题）

6．如图，已知A(-3,0)，b(0,-4)，P为双曲线（）上任意一点，过P作PC⊥X轴于C点，PD⊥Y轴于D点，则四边形ABCD面积的最小值为（  ）。

  A.22               B.23                 C.24                   D.26

（杭州市中考题）

7．如图，圆O的直径为5，在圆O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P，已知BC：CA=4：3，点P在半圆弧AB上运动（不与A、B重合），过C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点．

（1）求证：AC•CD=PC•BC；

（2）当点P运动到AB弧中点时，求CD的长；

（3）当点P运动到什么位置时，△PCD的面积最大？并求这个最大面积S．

（荆门市中考题）

8.工程师有一块长AD为12分米，宽AB为8分米的铁板，截去了长AE=2分米，AF=4分米的直角三角形，在余下的五边形中结的矩形MGCH，M必须在线段EF上．

（1）若截得矩形MGCH的面积为70平方分米，求矩形MGCH的长和宽．

（2）当EM为多少时，矩形MGCH的面积最大？并求此时矩形的周长．

                                                     （鄂州市中考题）

能力拓展

9．如图，△ABC是以AB为斜边的直角三角形，AC=4，BC=3，P为AB上一动点，且PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，则线段EF长度的最小值是___________。

          （“新知杯”上海市竞赛题）

10．如图，已知边长为2的正三角形ABC，两顶点A，B分别在平面直角坐标系的x轴、y轴的正半轴上滑动，点C在第一象限，连接OC，则OC长的最大值是_______________。

             （潍坊市中考题）                                                                       

11．如图，已知矩形ABCD中，AB=12，AD=3，E、F分别为AB、DC上的两个动点，则AF+FE+EC的最小值为________。

（四川省竞赛题）

12．已知凸四边形ABCD中，AB+AC+CD=16，那么AC=______、BD=________时，四边形ABCD面积最大，最大值是_______。

（第九届“华杯赛”试题）

13．已知△ABC的内切圆半径为r，角A=60°，BC=2根号3，则r的取值范围是______。

                                        （第19届江苏省竞赛题）

14．如图，△ABC的面积为1，点D、G、E 和F分别在边AB、AC、BC上，BD＜DA，DG∥BC，DE∥AC，GF∥AB．则梯形DEFG面积的最大可能值为__________。

                                                                （上海市竞赛题）

15．如图，已知∠MON=40°，P是∠MON中的一定点，点A、B分别在射线OM、ON上移动，当△PAB周长最小时，求∠APB的的值为（     ）   

A.80°  B.100°    C.120°   D.140°       

（武汉市竞赛题）

16．直线被以为圆心、为半径的圆所截的最短弦长为（      ）

 A.            B.            C.            D.          

（2011年武汉市中考题）

17．如图.y的正半轴上有两点A(0，a)，B（0，b），其中b>a>0，在x轴正半轴上取点C，使角ACB最大，求C坐标.

                                             （河北省竞赛题）

18．如图，正方形ABCD的边长为1，点M、N分别在BC、CD上，使得△CMN的周长为2.

求：（1）∠MAN的大小；

   （2）△MAN面积的最小值．

            （“宇振杯”上海市竞赛题）

综合创新

19．如图1至图4中，两平行线AB、CD间的距离均为6，点M为AB上一定点．

    思考

    如图1，圆心为0的半圆形纸片在AB，CD之间（包括AB，CD），其直径MN在AB上，MN=8，点P为半圆上一点，设∠MOP=α．

当α=度时，点P到CD的距离最小，最小值为．

    探究一

    在图1的基础上，以点M为旋转中心，在AB，CD　之间顺时针旋转该半圆形纸片，直到不能再转动为止，如图2，得到最大旋转角∠BMO=度，此时点N到CD的距离是．

    探究二

    将如图1中的扇形纸片NOP按下面对α的要求剪掉，使扇形纸片MOP绕点M在AB，CD之间顺时针旋转．

（1）如图3，当α=60°时，求在旋转过程中，点P到CD的最小距离，并请指出旋转角∠BMO的最大值；

（2）如图4，在扇形纸片MOP旋转过程中，要保证点P能落在直线CD上，请确定α的取值范围．

  (参考数据：）

20．如图，在正方形ABCD内，已知两个动圆⊙O1与⊙O2互相外切，且⊙O1与边AB、AD相切，⊙O2与边BC、CD相切．若正方形ABCD的边长为1，⊙O1与⊙O2的半径分别为r1，r2．

①求r1与r2的关系式；

②求⊙O1与⊙O2面积之和的最小值． 

（Ⅱ）如图2，若将（Ⅰ）中的正方形ABCD改为一个宽为1，长为的矩形，其他条件不变，则⊙O1与⊙O2面积的和是否存在最小值，若不存在，请说明理由；若存在，请求出这个最小值．    

                                    （天津市竞赛题）