扬州市2011-2012学年高二数学期末考试模拟 1

2012．7

1．已知集合，，则      ．

2．复数的实部与虚部的和是      ． 

3．下列说法中错误的是      ．①一个命题的逆命题为真，它的否命题也一定为真；②命题“”的否定是“”； ③“矩形的两条对角线相等”的逆命题是真命题；④“≠3”是“||≠3”成立的充分条件．

4．已知集合，集合，若命题“”是命题“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是      ．

5．若函数，，则的最大值为      ．

6．设函数，……根据以上事实，由归纳推理可得：当且时，      ．

7．若,且,则的取值范围是      ． 

8．函数f (x)＝x－sinx在区间[0，π]上的最小值是      ．

9. 如图，直角梯形OABC位于直线右侧的图形面积为，则函数      ．

10. 已知函数，则的解集为   ．

11. 已知的图象的对称中心是(3,-1),则的值域为      ．

12. 设，若对一切xR，都有f(x)，则=      ．

13. 知，直线与函数有且仅有一个公共点，则      ．

14. 已知,且，则=      ．

15．如图，角的始边落在上轴，其始边、终边分别与单位圆交于点、（），△为等边三角形．（1）若点的坐标为，求的值；

（2）设，求函数的解析式和值域．

16．设为常数，函数为奇函数。

（1）求的值；（2）设，求的值；（3）若，求的取值范围。

17．如图所示的镀锌铁皮材料ABCD，上沿DC为圆弧，其圆心为A，圆半径为2米，AD⊥AB，BC⊥AB，且BC=1米。现要用这块材料裁一个矩形PEAF（其中P在圆弧DC上、E在线段AB上，F在线段AD上）做圆柱的侧面，若以PE为母线，问如何裁剪可使圆柱的体积最大？其最大值是多少？

18．已知函数（），其中、为实常数．

（1）若方程有且仅有一个实数解，求、的值；

（2）设，，写出的单调区间，并对单调递增区间用函数单调性定义进行证明；

（3）若对任意的，不等式在上恒成立，求实数的取值范围．

19．已知函数，其中．

（Ⅰ）若，，求的单调递减区间；（Ⅱ）对于给定的实数、、，函数图象上两点，（）处的切线分别为．若直线与平行，证明：A、B关于某定点对称，并求出该定点．

20．已知， 当时，的最大值为3，

（1）当时，求的值；（2）求关于的表达式；（3）求的最大值。

21．设是逆时针旋转的旋转变换，是以直线：为轴的反射变换，求先进行变换，后进行变换的复合变换矩阵。

22．已知二项式，求：（1）二项展开式第3项的二项式系数；（2）二项展开式第的系数；

（3）系数最大的项．

23．如图：在正方体中，是的中点，是线段上一点，且.

（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若平面平面,求的值.

24．假定某人每次射击命中目标的概率均为，现在连续射击3次。

（1）求此人至少命中目标2次的概率；⑵若此人前3次射击都没有命中目标，再补射一次后结束射击；否则，射击结束。记此人射击结束时命中目标的次数为X，求X的数学期望。

1．

2.

3.

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5.

6.

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8.

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10.

11.

12.

13. 

14.

15.

16.

17. 解法1：分别以AB、AD所在直线为轴、轴建立直角坐标系，则圆弧DC的方程为：，设，圆柱半径为，体积为，则，，， 

∴=，

，     6分

设，，

，令，得，    10分

当时，，是减函数；当时，，是增函数，

∴当时，有极大值，也是最大值，

∴当米时，有最大值米3，此时米，

答：裁一个矩形，两边长分别为和，能使圆柱的体积最大，其最大值为。     14分

解法2：设，则，，

由，得，

∴，

设，，，

令，得，

当时，，是减函数；当时，，是增函数，

∴当时，有极大值，也是最大值。以下略。

18. = —8、=9， 

19.（Ⅰ）当，时，，解得，故递减区间为．     4分

（Ⅱ）因为，

所以，所以，的斜率分别为，．

又直线与平行，所以，即，

因为，所以， 从而，

所以

．    14分

又由上，所以点，（）关于点对称．故当直线与平行时，点与点关于点对称．

注：对称点也可写成．    16分

20. 解：(1)当时，， 因为，令得：又对称轴是，而，  所以 

（2）

   （ⅰ）当时，即时，令得： 

此时， .     

（ⅱ）当时，即时，

     令得：  此时， .

 (3) （ⅰ）时，           

（ⅱ）时， 

因为所以的最大值为.              ……………（16分）

21.

22. ⑴设此人至少命中目标2次的事件为A,则， 

即此人至少命中目标2次的概率为．

 ⑵由题设知的可能取值为0，1，2，3，且，                                  

 ，，                                     

，从而.   

23. 解：（Ⅰ）不妨设正方体的棱长为1，以为轴建立空间直角坐标系，

则

于是： 

因为,

所以，因为为平面内两条相交直线

故    5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知平面的法向量取 

由，则

又设平面的法向量为,

由

得，

取得，即 

因为平面平面，

所以，得

24.