2008年全国高中数赛初赛试题及答案(江苏省)

初赛试题参及评分标准

一、选择题（本题满分30分，每小题6分）

1. 如果实数m，n，x，y满足，，其中a，b为常数，那么mx+ny 

   的最大值为                                                       答：[B]

A.      B.      C.      D. 

   解  由柯西不等式；或三角换元即可得到

，当，时，. 选B.

2. 设为指数函数. 在P(1,1)，Q(1,2)，M(2,3)，四点中，函数  

   与其反函数的图像的公共点只可能是点              答：[D]

        A. P           B. Q           C. M          D. N

   解  取，把坐标代入检验，，而，∴公共点只可能是

   点N. 选D.

3. 在如图的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列，每一纵列成等比

         A. 1           B. 2

     C. 3           D. 4

解  第一、二行后两个数分别为2.5，3与1.25，1.5；第三、四、五列中的，，，则. 选A.

4. 如果的三个内角的余弦值分别是的三个内角的正弦值，那么

答：[B]

A.与都是锐角三角形

B.是锐角三角形，是钝角三角形

C.是钝角三角形，是锐角三角形

D.与都是钝角三角形

    解  两个三角形的内角不能有直角；的内角余弦都大于零，所以是锐角三角形；若是锐角三角形，则不妨设

cos=sin=cos，  cos=sin=cos，

cos=sin=cos.

则  

，，，

即   ，矛盾. 选B.

5. 设a，b是夹角为30°的异面直线，则满足条件“，，且”的平面，                                                              答： [D]

   A. 不存在                   B. 有且只有一对     

   C. 有且只有两对             D. 有无数对

解  任作a的平面，可以作无数个. 在b上任取一点M，过M作的垂线. b与

垂线确定的平面垂直于. 选D.

二、填空题（本题满分50分，每小题10分）

6. 设集合，其中符号表示不大于x的最大整数，则

   . 

   解 ∵，的值可取.

当[x]=，则无解；     当[x]=，则，∴x=；

当[x]=0，则无解；       当[x]=1，则，∴.

所以.

7. 同时投掷三颗骰子，于少有一颗骰子掷出6点的概率是(结果要求写成既约

  分数）.

   解  考虑对立事件，.

8. 已知点O在内部，.的面积之比为5：1.

   解  由图，与的底边相同，

高是5：1. 故面积比是5：1.

9. 与圆外切，且与y轴相切的动圆圆心的轨迹方程为或

   .

解  由圆锥曲线的定义，圆心可以是以(2,0)为焦点、为准线的抛物线上的点；若切点是原点，则圆心在x轴负半轴上.所以轨迹方程为，或.

10. 在中，若tanAtanB=tanAtanC+tanctanB，则 = 3 . 

解  切割化弦，已知等式即，

   亦即，即=1，即. 

所以，，故.

三、解答题（本题满分70分，各小题分别为15分、15分、20分、20分）

11. 已知函数在时有最大值1，，并且时，的取值范围为. 试求m，n的值.

    解  由题，                                 ……5分

    ，，即，上单调减，

    且.               ……10分

    ，n是方程的两个解，方程即

=0，

    解方程，得解为1，，.

    ，，.                                ……15分

12.  A、B为双曲线上的两个动点，满足。

    （Ⅰ）求证：为定值；

    （Ⅱ）动点P在线段AB上，满足，求证：点P在定圆上.

证  （Ⅰ）设点A的坐标为，B的坐标为，则，

，A在双曲线上，则

.

    所以

. 

                                                                ……5分

    由得，所以，.

    同理，

，

所以

.

……10分

    （Ⅱ）由三角形面积公式，得，所以

    ，即.

    即.

    于是，.

    即P在以O为圆心、为半径的定圆上.                       ……15分

13. 如图，平面M、N相交于直线l. A、D为l上两点，射线DB在平面M内，射线

DC在平面N内. 已知，，，且，， 都是

锐角. 求二面角的平面角的余弦值（用，，的三角函数值表示）.

解  在平面M中，过A作DA的垂线，

交射线DB于B点；

在平面N中，过A作DA的垂线，

交射线DC于C点.

设DA=1，则

，，

，，                                  ……5分

    并且就是二面角平面角.                       ……10分

在中，利用余弦定理，可得等式

，

所以，

=，                      ……15分

故得到

.                     ……20分

14. 能否将下列数组中的数填入3×3的方格表，每个小方格中填一个数，使得每行、每列、两条对角线上的3个数的乘积都相等？若能，请给出一种填法；若不能，请给予证明.（Ⅰ）2,4,6,8,12,18,24,36,48；

  （Ⅱ）2,4,6,8,12,18,24,36,72.

解（Ⅰ）不能.                                                ……5分

因为若每行的积都相等，则9个数的积是立方数. 但是

2×4×6×8×12×18×24×36×48=21+2+1+3+2+1+3+2+4×3=219·38不是立方数，故不能.

（Ⅱ）可以.                                                  ……15分

如右表

表中每行、每列及对角线的积都是26·23.                          ……20分