2011年上海市中考数学模拟试题压轴题分析徐汇25

在梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥AD，AB＝4，AD＝5，CD＝5．E为底边BC上一点，以点E为圆心，BE为半径画⊙E交直线DE于点F． 

（1）如图，当点F在线段DE上时，设BE＝x，DF＝y，试建立y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； 

（2）当以CD直径的⊙O与⊙E与相切时，求x的值；

（3）联接AF、BF，当△ABF是以AF为腰的等腰三角形时，求x的值．

                                                        图1

动感体验

请打开几何画板文件名“11徐汇25”，拖动点E在BC上运动，观察图形和图像，可以体验到，当F在ED上时，y随x的增大而减小；两圆可以外切一次，也可以内切一次，内切时四边形ABED正好是矩形；双击按钮“AB＝AF”，可以看到，△ABE与△AFE关于AE对称；双击按钮“FA＝FB” 可以看到，点F是DE的中点．

请打开超级画板文件名“11徐汇25”，

思路点拨

1．以DE为斜边构造直角三角形，就可以利用勾股定理建立x与y之间的关系式．

2．用x的式子表示两圆的半径和圆心距，分外切和内切两种情况列方程．

3．第（3）题无法先画出准确的示意图再进行计算，要先说理再列方程进行计算．计算要用到第（1）题的结论．

当AB＝AF时，△ABE与△AFE关于AE对称，通过解直角△ADF可以得到DF＝y＝4；当FA＝FB时，点F是DE的中点，因此x＝y．

满分解答

（1）如图2，过点D作DG⊥BC，垂足为G．

那么BG＝AD＝5，DG＝AB＝4．

在Rt△DEG中，DG＝4，EG＝5－x，DE＝x＋y，

由勾股定理，得(x＋y)2＝(5－x)2＋42．

变形，得．定义域为0＜x≤4.1．

（2）如图3，过点O作OH⊥BC，垂足为H．

在Rt△OCH中，OC＝，所以OH＝OC sin∠C＝2，CH＝OC cos∠C＝．

在Rt△OEH中， OH＝2，EH＝，所以．

对于⊙O，rO＝；对于⊙E，rE＝x；圆心距为OE．

①当两圆外切时，rO＋rE＝OE，所以（rO＋rE）2＝OE2．

解方程，得．

②当两圆内切时，| rO＋rE |＝OE，所以（rO－rE）2＝OE2．

解方程，得．

图2                     图3                      图4

（3）①如图5，当AF＝AB＝4时，由BE＝FE，知△ABE与△AFE关于AE对称．

在Rt△ADF中， AD＝5，AF＝4，所以DF＝y＝3．

如图5，当点F在线段DE上时，解方程，得x＝2．

如图6，当点F在线段DE延长线上时，解方程=3，解得x＝8．

②如图7，当FA＝FB时，点F在AB的垂直平分线上，此时F是DE的中点，x＝y．

解方程，得．

综上所述，当△ABF是以AF为腰的等腰三角形时， 2或．

图5                      图6                       图7

考点伸展

本题的梯形ABCD的情景不变，E是BC边上的一点，设BE＝x，那么直线DE能否同时平分梯形的周长和面积？能的话，求x的值．

先设直线DE平分梯形的周长，那么x＝2．再代入计算面积，DE不能平分梯形的面积．