广东省实验中学2020年中考数学一模试题有答案精析

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的4个选项中只有一项释符合题目要求的）

1．2的倒数是（　　）

A．2 ．﹣2 ． ．﹣

2．下列图形中，不是中心对称图形有（　　）

A． ． ． ．

3．数据5，7，8，8，9的众数是（　　）

A．5 ．7 ．8 ．9、

4．下列四个几何体中，主视图是三角形的是（　　）

A． ． ． ．

5．下列计算正确的是（　　）

A．3a﹣a=3 ．a2+a2=a4 ．（3a）﹣（2a）=6a ．（a2）3=a6

6．函数y=中自变量x的取值范围是（　　）

A．x≥﹣3 ．x≥﹣3且x≠1 ．x≠1 ．x≠﹣3且x≠1

7．如图，⊙O的半径为1，A、B、C是圆周上的三点，∠BAC=36°，则劣弧BC的长是（　　）

A． ． ． ．

8．如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△AC′B′，则tanB′的值为（　　）

A． ． ． ．

9．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，反比例函数与正比例函数y=bx在同一坐标系内的大致图象是（　　）

A． ． ． ．

10．如图，第①个图形中一共有1个平行四边形，第②个图形中一共有5个平行四边形，第③个图形中一共有11个平行四边形，…则第⑩个图形中平行四边形的个数是（　　）

A．54 ．110 ．19 ．109

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

11．分解因式：2a2+4a=　　．

12．正n边形的一个外角的度数为60°，则n的值为　　．

13．已知一次函数y=（m+2）x+3，若y随x值增大而增大，则m的取值范围是　　．

14．关于x的一元二次方程x2+（m﹣2）x+m+1=0有两个相等的实数根，则m的值是　　．

15．如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B与CD的中点B'重合．若AB=2，BC=3，则△FCB'与△B'DG的面积比为　　．

16．如图，四边形ABCD中，∠BAD=130°，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为　　．

三、解答题

17．（9分）解方程：

18．（9分）先化简，再求值：（a+1）2﹣（a+1）（a﹣1），其中，a=﹣1．

19．（10分）以AB、AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，连接BE，CD，请你完成图形，并证明：BE=CD．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

20．（10分）我市某养殖场计划购买甲、乙两种鱼苗700尾，甲种鱼苗每尾3元，乙种鱼苗每尾5元．

（1）若购买这两种鱼苗共用去2500元，则甲、乙两种鱼苗各购买多少尾？

（2）购买甲种鱼苗不超过280尾，应如何选购鱼苗，使购买鱼苗的费用最低？并求出最低费用．

21．（12分）王老师为了了解所教班级学生自主学习、合作交流的具体情况，对本班部分学生进行了为期半个月的跟踪调查，并将调查结果分成四类，A：优秀；B：良好；C：合格；D：一般；并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：

（1）本次调查中，王老师一共调查了　　名同学，其中C类女生有　　名，D类男生有　　名；

（2）将上面的条形统计图补充完整；

（3）从被调查的A类和D类学生中分别选取一位同学进行“一对一”互助学习，请求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率．

22．（12分）如图，已知一次函数y=kx+b的图象交反比例函数y=（x＞0）图象于点A、B，交x轴于点C．

（1）求m得取值范围；

（2）若点A的坐标是（2，﹣4），且=，求m的值和一次函数的解析式．

23．（12分）已知如图，△ABC中AB=AC，AE是角平分线，BM平分∠ABC交AE于点M，经过B、M两点的⊙O交BC于G，交AB于点F，FB恰为⊙O的直径．

（1）求证：AE与⊙O相切；

（2）当BC=6，cosC=，求⊙O的直径．

24．（14分）如图①，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，动点P从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，点P，Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t妙（t≥0）．

（1）若三角形CPQ是等腰三角形，求t的值．

（2）如图②，过点P作PD∥BC，交AB于点D，连接PQ；

①是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由，并探究如何改变点Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度．

②当t取何值时，△CPQ的外接圆面积的最小？并且说明此时△CPQ的外接圆与直线AB的位置关系？

25．（14分）已知抛物线y=﹣x2+3x+4交y轴于点A，交x轴于点B，C（点B在点C的右侧）．过点A作垂直于y轴的直线l．在位于直线l下方的抛物线上任取一点P，过点P作直线PQ平行于y轴交直线l于点Q．连接AP．

（1）写出A，B，C三点的坐标；

（2）若点P位于抛物线的对称轴的右侧：

①如果以A，P，Q三点构成的三角形与△AOC相似，求出点P的坐标；

②若将△APQ沿AP对折，点Q的对应点为点M．是否存在点P，使得点M落在x轴上？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

③设AP的中点是R，其坐标是（m，n），请直接写出m和n的关系式，并写出m的取值范围．

2020年广东省实验中学中考数学一模试卷

参与试题解析

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的4个选项中只有一项释符合题目要求的）

1．2的倒数是（　　）

A．2 ．﹣2 ． ．﹣

【考点】倒数．

【分析】直接根据倒数的定义进行解答即可．

【解答】解：∵2×=1，

∴2的倒数是．

故选C．

【点评】本题考查的是倒数的定义，即乘积是1的两数互为倒数．

2．下列图形中，不是中心对称图形有（　　）

A． ． ． ．

【考点】中心对称图形．

【分析】根据中心对称图形的概念求解．

【解答】解：A、是中心对称图形，故本选项错误；

B、是中心对称图形，故本选项错误；

C、是中心对称图形，故本选项错误；

D、不是中心对称图形，故本选项正确．

故选D．

【点评】本题考查了中心对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．

3．数据5，7，8，8，9的众数是（　　）

A．5 ．7 ．8 ．9、

【考点】众数．

【分析】根据众数是一组数据中出现次数最多的数据解答即可．

【解答】解：数据5、7、8、8、9中8出现了2次，且次数最多，

所以众数是8．

故选C．

【点评】本题考查了众数的定义，熟记定义是解题的关键，需要注意，众数有时候可以不止一个．

4．下列四个几何体中，主视图是三角形的是（　　）

A． ． ． ．

【考点】简单几何体的三视图．

【分析】主视图是从几何体的正面看，主视图是三角形的一定是一个锥体，是长方形的一定是柱体，由此分析可得答案．

【解答】解：主视图是三角形的一定是一个锥体，只有B是锥体．

故选：B．

【点评】此题主要考查了几何体的三视图，主要考查同学们的空间想象能力．

5．下列计算正确的是（　　）

A．3a﹣a=3 ．a2+a2=a4 ．（3a）﹣（2a）=6a ．（a2）3=a6

【考点】幂的乘方与积的乘方；合并同类项．

【分析】A：合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．

B：合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．

C：合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．

D：幂的乘方，底数不变，指数相乘．

【解答】解：∵3a﹣a=2a，

∴选项A不正确；

∵a2+a2=2a2，

∴选项B不正确；

∵（3a）﹣（2a）=a，

∴选项C不正确；

∵（a2）3=a6，

∴选项D正确．

故选：D．

【点评】此题主要考查了幂的乘方与积的乘方、合并同类项的方法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．

6．函数y=中自变量x的取值范围是（　　）

A．x≥﹣3 ．x≥﹣3且x≠1 ．x≠1 ．x≠﹣3且x≠1

【考点】函数自变量的取值范围．

【分析】根据被开方数为非负数和分母不分0列不等式计算．

【解答】解：根据题意得：，

解得：x≥﹣3且x≠1．

故选B．

【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，要注意几点：①被开方数为非负数；②分母不分0；③a0中a≠0．

7．如图，⊙O的半径为1，A、B、C是圆周上的三点，∠BAC=36°，则劣弧BC的长是（　　）

A． ． ． ．

【考点】弧长的计算；圆周角定理．

【分析】连接OB，OC，依据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即可求得劣弧BC的圆心角的度数，然后利用弧长计算公式求解即可．

【解答】解：连接OB，OC．

∠BOC=2∠BAC=2×36°=72°，

则劣弧BC的长是： =π．

故选B．

【点评】本题考查了弧长的计算公式以及圆周角定理，正确理解圆周角定理是关键．

8．如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△AC′B′，则tanB′的值为（　　）

A． ． ． ．

【考点】锐角三角函数的定义；旋转的性质．

【分析】过C点作CD⊥AB，垂足为D，根据旋转性质可知，∠B′=∠B，把求tanB′的问题，转化为在Rt△BCD中求tanB．

【解答】解：过C点作CD⊥AB，垂足为D．

根据旋转性质可知，∠B′=∠B．

在Rt△BCD中，tanB==，

∴tanB′=tanB=．

故选B．

【点评】本题考查了旋转的性质，旋转后对应角相等；三角函数的定义及三角函数值的求法．

9．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，反比例函数与正比例函数y=bx在同一坐标系内的大致图象是（　　）

A． ． ． ．

【考点】二次函数的图象；正比例函数的图象；反比例函数的图象．

【分析】由已知二次函数y=ax2+bx+c的图象开口方向可以知道a的取值范围，对称轴可以确定b的取值范围，然后就可以确定反比例函数与正比例函数y=bx在同一坐标系内的大致图象．

【解答】解：∵二次函数y=ax2+bx+c的图象开口方向向下，

∴a＜0，

对称轴在y轴的左边，

∴x=﹣＜0，

∴b＜0，

∴反比例函数的图象在第二四象限，

正比例函数y=bx的图象在第二四象限．

故选：B．

【点评】此题主要考查了从图象上把握有用的条件，准确选择数量关系解得a的值，简单的图象最少能反映出2个条件：开口向下a＜0；对称轴的位置即可确定b的值．

10．如图，第①个图形中一共有1个平行四边形，第②个图形中一共有5个平行四边形，第③个图形中一共有11个平行四边形，…则第⑩个图形中平行四边形的个数是（　　）

A．54 ．110 ．19 ．109

【考点】规律型：图形的变化类．

【分析】得到第n个图形在1的基础上如何增加2的倍数个平行四边形即可．

【解答】解：第①个图形中有1个平行四边形；

第②个图形中有1+4=5个平行四边形；

第③个图形中有1+4+6=11个平行四边形；

第④个图形中有1+4+6+8=19个平行四边形；

…

第n个图形中有1+2（2+3+4+…+n）个平行四边形；

第⑩个图形中有1+2（2+3+4+5+6+7+8+9+10）=109个平行四边形；

故选D．

【点评】考查图形的变化规律；得到第n个图形中平行四边形的个数在第①个图形中平行四边形的个数1的基础上增加多少个2是解决本题的关键．

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

11．分解因式：2a2+4a=　2a（a+2）　．

【考点】因式分解-提公因式法．

【分析】直接提取公因式2a，进而分解因式得出即可．

【解答】解：2a2+4a=2a（a+2）．

故答案为：2a（a+2）．

【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．

12．正n边形的一个外角的度数为60°，则n的值为　6　．

【考点】多边形内角与外角．

【分析】先根据正n边形的一个外角的度数为60°求出其内角的度数，再根据多边形的内角和公式解答即可．

【解答】解：∵正n边形的一个外角的度数为60°，

∴其内角的度数为：180°﹣60°=120°，

∴=120°，解得n=6．

故答案为：6．

【点评】本题考查的是多边形的内角与外角，熟知多边形的内角和公式是解答此题的关键．

13．已知一次函数y=（m+2）x+3，若y随x值增大而增大，则m的取值范围是　m＞﹣2　．

【考点】一次函数图象与系数的关系．

【分析】根据一次函数的图象与系数的关系列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．

【解答】解：∵一次函数y=（m+2）x+3中，y随x值增大而增大，

∴m+2＞0，解得m＞﹣2．

故答案为：m＞﹣2．

【点评】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，熟知一次函数y=kx+b（k≠0）中，当k＞0时，函数图象经过一三象限是解答此题的关键．

14．关于x的一元二次方程x2+（m﹣2）x+m+1=0有两个相等的实数根，则m的值是　0或8　．

【考点】根的判别式．

【分析】先根据方程有两个相等的实数根列出关于m的方程，求出m的值即可．

【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+（m﹣2）x+m+1=0有两个相等的实数根，

∴△=（m﹣2）2﹣4（m+1）=0，即m2﹣8m=0，解得m=0或m=8．

故答案为：0或8．

【点评】本题考查的是根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：

当△=0时，方程有两个相等的两个实数根．

15．如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B与CD的中点B'重合．若AB=2，BC=3，则△FCB'与△B'DG的面积比为　16：9　．

【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质．

【分析】设BF=x，则CF=3﹣x，B'F=x，在Rt△B′CF中，利用勾股定理求出x的值，继而判断△DB′G∽△CFB′，根据面积比等于相似比的平方即可得出答案．

【解答】解：设BF=x，则CF=3﹣x，B'F=x，

∵点B′为CD的中点，

∴B′C=1，

在Rt△B′CF中，B'F2=B′C2+CF2，即x2=1+（3﹣x）2，

解得：x=，即可得CF=3﹣=．

∵∠DB′G+∠DGB'=90°，∠DB′G+∠CB′F=90°，

∴∠DGB′=∠CB′F，

∴Rt△DB′G∽Rt△CFB′，

根据面积比等于相似比的平方可得： =（）2=（）2=．

故答案为：16：9．

【点评】此题考查的是翻折变换，解答本题的关键是求出FC的长度，然后利用面积比等于相似比的平方进行求解．

16．如图，四边形ABCD中，∠BAD=130°，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为　100°　．

【考点】轴对称-最短路线问题．

【分析】作点A关于BC的对称点A′，关于CD的对称点A″，根据轴对称确定最短路线问题，连接A′A″与BC、CD的交点即为所求的点M、N，利用三角形的内角和定理列式求出∠A′+∠A″，再根据轴对称的性质和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠AMN+∠ANM=2（∠A′+∠A″），然后计算即可得解．

【解答】解：如图，作点A关于BC的对称点A′，关于CD的对称点A″，

连接A′A″与BC、CD的交点即为所求的点M、N，

∵∠BAD=130°，∠B=∠D=90°，

∴∠A′+∠A″=180°﹣∠130°=50°，

由轴对称的性质得：∠A′=∠A′AM，∠A″=∠A″AN，

∴∠AMN+∠ANM=2（∠A′+∠A″）=2×50°=100°．

故答案为：100°．

【点评】本题考查了轴对称确定最短路线问题，轴对称的性质，三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，确定出点M、N的位置是解题的关键，要注意整体思想的利用．

三、解答题

17．解方程：

【考点】解分式方程．

【分析】观察可得方程最简公分母为x﹣2，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．

【解答】解：原方程即．

方程两边都乘以（x﹣2），得x﹣1﹣1=3（x﹣2）．

解得x=2．

经检验x=2是原方程的增根，

∴原方程无解．

【点评】（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．

（2）解分式方程一定注意要验根．

18．先化简，再求值：（a+1）2﹣（a+1）（a﹣1），其中，a=﹣1．

【考点】整式的混合运算—化简求值．

【分析】先根据完全平方公式和平方差公式算乘法，再合并同类项，最后代入求出即可．

【解答】解：（a+1）2﹣（a+1）（a﹣1）

=a2+2a+1﹣a2+1

=2a+2，

当a=﹣1时，原式=2×（﹣1）+2=2．

【点评】本题考查了整式的混合运算和求值的应用，能正确运用运算法则进行化简是解此题的关键．

19．（10分）（2020•广东校级一模）以AB、AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，连接BE，CD，请你完成图形，并证明：BE=CD．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；作图—复杂作图．

【分析】分别以A、B为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点D，连接AD，BD，同理连接AE，CE，如图所示，由三角形ABD与三角形ACE都是等边三角形，得到三对边相等，两个角相等，都为60度，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得到三角形CAD与三角形EAB全等，利用全等三角形的对应边相等即可得证．

【解答】解：如图所示：

证明：∵△ABD和△ACE都是等边三角形，

∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，

∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，即∠CAD=∠EAB，

∵在△CAD和△EAB中，

，

∴△CAD≌△EAB（SAS），

∴BE=CD．

【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质以及基本作图，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．

20．（10分）（2020•广东校级一模）我市某养殖场计划购买甲、乙两种鱼苗700尾，甲种鱼苗每尾3元，乙种鱼苗每尾5元．

（1）若购买这两种鱼苗共用去2500元，则甲、乙两种鱼苗各购买多少尾？

（2）购买甲种鱼苗不超过280尾，应如何选购鱼苗，使购买鱼苗的费用最低？并求出最低费用．

【考点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用．

【分析】（1）设购买甲种鱼苗x尾，乙种鱼苗y尾，根据题意列一元一次方程组求解即可；

（2）设甲种鱼苗购买m尾，购买鱼苗的费用为w元，列出w与x之间的函数关系式，运用一次函数的性质解决问题．

【解答】解：（1）：（1）设购买甲种鱼苗x尾，乙种鱼苗y尾，根据题意可得：

，

解得：．

答：购买甲种鱼苗500尾，乙种鱼苗200尾．

（2）设甲种鱼苗购买m尾，购买鱼苗的费用为w元，则

w=3m+5（700﹣m）=﹣2m+3500，

∵﹣2＜0，

∴w随m的增大而减小，

∵0＜m≤280，

∴当m=280时，w有最小值，w的最小值=3500﹣2×280=2940（元），

∴700﹣m=420．

答：当选购甲种鱼苗280尾，乙种鱼苗420尾时，总费用最低，最低费用为2940元．

【点评】本题主要考查了二元一次方程组、一元一次不等式以及一次函数应用问题，审清题意，找到等量或不等关系是解决问题的关键．

21．（12分）（2020•禅城区一模）王老师为了了解所教班级学生自主学习、合作交流的具体情况，对本班部分学生进行了为期半个月的跟踪调查，并将调查结果分成四类，A：优秀；B：良好；C：合格；D：一般；并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：

（1）本次调查中，王老师一共调查了　20　名同学，其中C类女生有　2　名，D类男生有　1　名；

（2）将上面的条形统计图补充完整；

（3）从被调查的A类和D类学生中分别选取一位同学进行“一对一”互助学习，请求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率．

【考点】列表法与树状图法；扇形统计图；条形统计图．

【分析】（1）由条形统计图与扇形统计图，即可求得调查的总人数，继而分别求得C类女生与D类男生数；

（2）由（1）可补全条形统计图；

（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的情况，再利用概率公式即可求得答案．

【解答】解：（1）本次调查中，王老师一共调查了：（4+6）÷50%=20（名）；

其中C类女生有：20×25%﹣3=2（名），D类男生有：20﹣1﹣2﹣4﹣6﹣3﹣2﹣1=1（名）；

故答案为：20，2，1；

（2）如图：

（3）画树状图得：

∵共有6种等可能的结果，所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的有3种情况，

∴所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率为： =．

【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图的知识．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

22．（12分）（2020•广东校级一模）如图，已知一次函数y=kx+b的图象交反比例函数y=（x＞0）图象于点A、B，交x轴于点C．

（1）求m得取值范围；

（2）若点A的坐标是（2，﹣4），且=，求m的值和一次函数的解析式．

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．

【分析】（1）根据双曲线位于第四象限，比例系数k＜0，列式求解即可；

（2）先把点A的坐标代入反比例函数表达式求出m的值，从而的反比例函数解析式，设点B的坐标为B（x，y），利用相似三角形对应边成比例求出y的值，然后代入反比例函数解析式求出点B的坐标，再利用待定系数法求解即可．

【解答】解：（1）根据题意，反比例函数图象位于第四象限，

∴4﹣3m＜0，

解得：m＞；

（2）∵点A（2，﹣4）在反比例函数图象上，

∴4﹣3m=2×（﹣4）=﹣8，

∴解得：m=4，

∴反比例函数解析式为y=﹣，

∵=，∴ =，

设点B的坐标为（x，y），

则点B到x轴的距离为﹣y，点A到x轴的距离为4，

∴==，

解得：y=﹣1，

∴﹣=﹣1，

解得：x=8，

∴点B的坐标是B（8，﹣1），

设这个一次函数的解析式为y=kx+b，

∵点A、B是一次函数与反比例函数图象的交点，

∴，

解得：，

∴一次函数的解析式是y=x﹣5．

【点评】本题主要考查了反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，待定系数法求函数解析式，求出点B的坐标是解题的关键，也是本题的难点．

23．（12分）（2020•广东校级一模）已知如图，△ABC中AB=AC，AE是角平分线，BM平分∠ABC交AE于点M，经过B、M两点的⊙O交BC于G，交AB于点F，FB恰为⊙O的直径．

（1）求证：AE与⊙O相切；

（2）当BC=6，cosC=，求⊙O的直径．

【考点】切线的判定与性质；等腰三角形的性质；圆周角定理；解直角三角形．

【分析】（1）连接OM．根据OB=OM，得∠1=∠3，结合BM平分∠ABC交AE于点M，得∠1=∠2，则OM∥BE；根据等腰三角形三线合一的性质，得AE⊥BC，则OM⊥AE，从而证明结论；

（2）设圆的半径是r．根据等腰三角形三线合一的性质，得BE=CE=3，再根据解直角三角形的知识求得AB=12，则OA=12﹣r，从而根据平行线分线段成比例定理求解．

【解答】（1）证明：连接OM．

∵OB=OM，

∴∠1=∠3，

又BM平分∠ABC交AE于点M，

∴∠1=∠2，

∴∠2=∠3，

∴OM∥BE．

∵AB=AC，AE是角平分线，

∴AE⊥BC，

∴OM⊥AE，

∴AE与⊙O相切；

（2）解：设圆的半径是r．

∵AB=AC，AE是角平分线，

∴BE=CE=3，∠ABC=∠C，

又cosC=，

∴AB=BE÷cosB=12，则OA=12﹣r．

∵OM∥BE，

∴，

即，

解得r=2.4．

则圆的直径是4.8．

【点评】此题综合运用了等腰三角形的性质、平行线的判定及性质、切线的判定、平行线分线段成比例定理以及解直角三角形的知识．连接过切点的半径是圆中常见的辅助线之一．

24．（14分）（2020•广东校级一模）如图①，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，动点P从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，点P，Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t妙（t≥0）．

（1）若三角形CPQ是等腰三角形，求t的值．

（2）如图②，过点P作PD∥BC，交AB于点D，连接PQ；

①是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由，并探究如何改变点Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度．

②当t取何值时，△CPQ的外接圆面积的最小？并且说明此时△CPQ的外接圆与直线AB的位置关系？

【考点】圆的综合题．

【分析】（1）根据CQ=CP，列出方程即可解决．

（2））①不存在．不妨设四边形PDBQ是菱形，推出矛盾即可．

②如图，⊙O是△PQC的外接圆的圆心，作OM⊥AB于M，OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，连接OB、OC、OA，由•AC•OF+•AC•OE+•AB•OM=•BC•AC求出OM以及圆的半径即可解决问题．

【解答】解：（1）∵△CBP是等腰三角形，∠C=90°，

∴CQ=CP，

∴6﹣t=2t，

∴t=2，

∴t=2秒时，△CBP是等腰三角形．

（2）①不存在．

理由：不妨设四边形PDBQ是菱形，

则PD=BQ，

∴t=8﹣2t，

∴t=，

∴CQ=，PC=6﹣=，BQ=PD=，

∴OQ==6，

∴PQ≠BQ，

∴假设不成立，

∴不存在．

设点Q的速度为每秒a个单位长度．

∵四边形PDBQ是菱形，

∴PD=BD，

∴t=10﹣t，

∴t=，

∴BQ=PD=，

∴6﹣a=，

∴a=．

∴点Q的速度为每秒个长度单位时，使四边形PDBQ在某一时刻为菱形．

②如图，⊙O是△PQC的外接圆的圆心，作OM⊥AB于M，OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，连接OB、OC、OA．

∵PQ===，

∴t=时，PQ最小值为．

此时PC=，CQ=，PQ=，

∵•AC•OF+•AC•OE+•AB•OM=•BC•AC，

∴×8×+×6×+×10×OM=24，

∴OM=，

∴OM＜OP，

∴△CPQ的外接圆与直线AB相交．

【点评】本题考查圆综合题、等腰直角三角形的性质、二次函数最小值问题、勾股定理、三角形面积等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会解题常用辅助线，学会利用面积法解决问题，属于中考压轴题．

25．（14分）（2020•广东校级一模）已知抛物线y=﹣x2+3x+4交y轴于点A，交x轴于点B，C（点B在点C的右侧）．过点A作垂直于y轴的直线l．在位于直线l下方的抛物线上任取一点P，过点P作直线PQ平行于y轴交直线l于点Q．连接AP．

（1）写出A，B，C三点的坐标；

（2）若点P位于抛物线的对称轴的右侧：

①如果以A，P，Q三点构成的三角形与△AOC相似，求出点P的坐标；

②若将△APQ沿AP对折，点Q的对应点为点M．是否存在点P，使得点M落在x轴上？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

③设AP的中点是R，其坐标是（m，n），请直接写出m和n的关系式，并写出m的取值范围．

【考点】二次函数综合题．

【分析】（1）先令x=0求出y的值即可得出A点坐标，再令y=0求出x的值即可得出BC两点的坐标；

（2）①分△AQP∽△AOC与△AQP∽△COA两种情况进行讨论；

②过点M作y轴的平行线交直线AQ于点E，过点P作PF⊥直线ME于点F，设Q（x，4），则P（x，﹣x2+3x+4），PQ=x2﹣3x=PM，再由△AEM∽△MFP求出PF的表达式，在Rt△AOM中根据勾股定理求出x的值，进而可得出P点坐标

③根据在位于直线l下方的抛物线上任取一点P，则有a＜0或a＞3，由点P在抛物线上即可建立m与n的关系．

【解答】解：（1）∵令x=0，则y=4，

∴A（0，4）；

∵令y=0，则﹣x2+3x+4=0，解得x1=4，x2=﹣1，

∴B（4，0），C（﹣1，0）；

（2）①∵以A，P，Q三点构成的三角形与△AOC相似，

∴△AQP∽△AOC与△AQP∽△COA，

∴或，

即或，解得x=或x=7，均在对称轴的右侧，

∴P（，）或（7，24）；

②如图所示，过点M作y轴的平行线交直线AQ于点E，过点P作PF⊥直线ME于点F，

设Q（x，4），则P（x，﹣x2+3x+4），PQ=x2﹣3x=PM，

∵∠EAM+∠EMA=90°，∠EMA+∠FMP=90°，

∴∠FMP=∠EAM．

∵∠MFP=∠AEM=90°，

∴△AEM∽△MFP，

∴．

∵MP=x2﹣3x，

∴，

∴PF=4x﹣12，

∴OM=（4x﹣12）﹣x=3x﹣12，

在Rt△AOM中，

∵OM2+OA2=AM2，即（3x﹣12）2+42=x2，解得x1=4，x2=5均在抛物线对称轴的右侧，

∴P（4，0）或（5，﹣6）．

③∵抛物线y=﹣x2+3x+4和A（0，4），

∴抛物线和直线l的交点坐标为A（0，4），（3，4），

设P（a，﹣a2+3a+4）；（a＜0或a＞3）

∵AP的中点是R，A（0，4），

∴=m， =n，

∴n=﹣2m2+3m+4，

∵a＜0或a＞3，

∴2m＜0，或2m＞3，

∴m＜0，或m．

【点评】此题是二次函数综合题，主要涉及到相似三角形的判定与性质、二次函数图象上点的坐标特点及用待定系数法求二次函数的解析式等知识，在解答（2）时要分△AQP∽△AOC与△AQP∽△COA两种情况进行讨论．