新人教A版(2019)高一上学期第一次月考数学试卷及答案解析

数 学 试 卷 

考生注意: 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第二卷（非选择题）两部分,共150分,考试时间120分钟.

2.请将各题答案填写在答题卡上.

第Ⅰ卷（选择题  共60分）

一、单项选择题（每小题5分,共40分）

1. 已知集合中的三个元素是△ABC的三边长,那么△ABC一定不是 【 】

（A）锐角三角形 （B）直角三角形 （C）钝角三角形 （D）等腰三角形

2. 集合,,则（CRB） 【 】

（A） （B） （C） （D）

3. 设A、B、U均为非空集合,且满足,则下列各式中错误的是 【 】

（A）（CUA） （B）（CUA）（CUB）

（C）（CUB） （D）（CUA）（CUB）CUB

4. “为正数”是“”的 【 】

（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件

（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件

5. 已知命题,那么是 【 】

（A） （B）≤0

（C）,≤0 （D）≤1,≤0

6. 已知函数（R）,若,则实数的值为 【 】

（A）2（B）3（C）4（D）5

7. 已知命题“R,使≤0”是假命题,则实数的取值范围是 【 】

（A） （B）0≤≤4 （C）≥4 （D）

8. 已知,则函数的最小值为 【 】

（A） （B） （C）2（D）

二、多项选择题（每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分）

9. 使成立的充分不必要条件可以是 【 】

（A） （B） （C） （D）

10. 下列说法中,正确的是 【 】

（A）若,则 （B）若,则

（C）若且,则 （D）若且,则

11. 已知Z,关于的一元二次方程≤0的解集中有且仅有3个整数,则的值可以是 【 】

（A）4（B）5（C）6（D）7

12. 下列说法正确的是 【 】

（A）若R,则≥2

（B）若≤≤5,则≤

（C）“或”是“”的必要不充分条件

（D）若,则

第Ⅱ卷  非选择题（共90分）

三、填空题（每小题5分,共20分）

13. 设,,若,则的取值范围是__________.

14. 已知,则的值是__________.

15. 若,使得不等式≥0成立,则实数的取值范围是__________.

16. 已知R+,,则:（1）的最小值是__________;

（2）的最小值是__________.

四、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（本题满分10分）

已知集合,集合.

（1）求（CRB）A;

（2）设集合,且,求实数的取值范围.

18.（本题满分12分）

设集合,集合.

（1）若,求;

（2）设命题,命题,若是成立的必要不充分条件,求实数的取值范围.

19.（本题满分12分）

已知函数.

（1）求的定义域;

（2）求的值域.

20.（本题满分12分）

已知R,,R,.

（1）若为真命题,求实数的取值范围;

（2）若均为真命题,求实数的取值范围.

21.（本题满分12分）

某单位决定投资3200元建一仓库（长方体状）,该仓库的高度为一定值,它的后墙利用旧墙不花钱,正面用铁栅,每1 m长造价40元;两侧墙砌砖,每1 m长造价45元（不考虑铁栅及墙体的厚度和高度）.

（1）若该仓库不需要做屋顶,求该仓库占地面积S的最大值;

（2）若为了使仓库防雨,需要为仓库做屋顶,顶部每1 m2造价20元,则当仓库占地面积S取最大值时,正面铁栅应设计为多长?

22.（本题满分12分）

（1）已知为正数,求证:≥3;

（2）已知正数满足,若恒成立,求实数的取值范围.

新人教A版高一上学期第一次月考

数 学 试 卷 答 案 解 析

考生注意: 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第二卷（非选择题）两部分,共150分,考试时间120分钟.

2.请将各题答案填写在答题卡上.

第Ⅰ卷（选择题  共60分）

一、单项选择题（每小题5分,共40分）

1. 已知集合中的三个元素是△ABC的三边长,那么△ABC一定不是 【 】

（A）锐角三角形 （B）直角三角形 （C）钝角三角形 （D）等腰三角形

答案  【 D 】

解析  本题考查集合元素的基本性质.集合的元素具有确定性、互异性和无序性.

∵,∴,∴△ABC一定不是等腰三角形.

∴选择答案【 D 】.

2. 集合,,则（CRB） 【 】

（A） （B） （C） （D）

答案  【 D 】

解析  本题考查集合的基本运算.

∵,∴CRB.

∴（CRB）.

∴选择答案【 D 】.

3. 设A、B、U均为非空集合,且满足,则下列各式中错误的是 【 】

（A）（CUA） （B）（CUA）（CUB）

（C）（CUB） （D）（CUA）（CUB）CUB

答案  【 B 】

解析  本题考查集合的基本运算与集合之间的基本关系.

有如下的结论:

（1）CU（）（CUA）（CUB）;

（2）CU（）（CUA）（CUB）.

本题可用借助Venn图进行判断,如下图所示.

易知（B）选项错误.

∴选择答案【 B 】.

4. “为正数”是“”的 【 】

（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件

（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件

答案  【 D 】

解析  本题考查充分必要条件的判断.

取,则,所以由“为正数”不能推出“”;

取,则,但不是正数,所以由“”不能推出“为正数”.

∴“为正数”是“”的既不充分也不必要条件.

∴选择答案【 D 】.

5. 已知命题,那么是 【 】

（A） （B）≤0

（C）,≤0 （D）≤1,≤0

答案  【 C 】

解析  本题考查含有一个量词的命题的否定.

对含有一个量词的命题进行否定的方法是:改变量词,否定结论.

命题,命题:,≤0.

∴选择答案【 C 】.

6. 已知函数（R）,若,则实数的值为 【 】

（A）2（B）3（C）4（D）5

答案  【 D 】

解析  本题考查求函数的解析式.

∵（R）

∴.

∵,∴,解之得:.

∴选择答案【 D 】.

7. 已知命题“R,使≤0”是假命题,则实数的取值范围是 【 】

（A） （B）0≤≤4 （C）≥4 （D）

答案  【 D 】

解析  本题考查含有一个量词的命题的否定.

一个命题和它的否定只能是一真一假,不能同真同假.

∵命题“R,使≤0”是假命题

∴该命题的否定:R,是真命题.

∴,解之得:.

∴选择答案【 D 】.

方法二:采用补集思想.

假设命题“R,使≤0”是真命题,即函数与轴有交点（包括顶点在轴上和部分图象位于轴的下方）.

∴≥0,解之得:≤.

∵命题“R,使≤0”是假命题

∴.

8. 已知,则函数的最小值为 【 】

（A） （B） （C）2（D）

答案  【 A 】

解析  本题考查利用基本不等式求最值.注意利用基本不等式求最值应满足的三个条件: 一正、二定、三相等.

∵,∴.

∴≥.

当且仅当,即时,等号成立.

∴.

∴选择答案【 A 】.

二、多项选择题（每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分）

9. 使成立的充分不必要条件可以是 【 】

（A） （B） （C） （D）

答案  【 ACD 】

解析  本题考查充分必要条件的判断.

∵,∴或.

显然,选项（A）、（C）、（D）符合题意.

∴选择答案【 ACD 】.

10. 下列说法中,正确的是 【 】

（A）若,则 （B）若,则

（C）若且,则 （D）若且,则

答案  【 BC 】

解析  本题考查不等式的基本性质.

对于（A）,当时,则有.故（A）错误;

对于（B）,∵,∴,∴.故（B）正确;

对于（C）,∵,∴,∴,∵,∴.故（C）正确;

对于（D）,∵,∴,∴.故（D）错误.

∴选择答案【 BC 】.

11. 已知Z,关于的一元二次方程≤0的解集中有且仅有3个整数,则的值可以是 【 】

（A）4（B）5（C）6（D）7

答案  【 CD 】

解析  本题考查整数解的个数问题,涉及到的数学思想方法有函数与方程思想、数形结合思想.

∵≤0,∴≤.

令,它们的图象如下图所示.

由图象可知:若≤只有3个整数解,则有≤8.

∵Z,∴的值为6或7或8.

∴选择答案【 CD 】.

12. 下列说法正确的是 【 】

（A）若R,则≥2

（B）若≤≤5,则≤

（C）“或”是“”的必要不充分条件

（D）若,则

答案  【 BCD 】

解析  对于（A）,当时,≥2.故（A）错误;

对于（B）,∵≤≤5

∴≤5,≤.

∴≤.故（B）正确;

对于（C）,显然,由“或”不能推出“”.

命题:若,则或的逆否命题是:若≤1且≤2,则≤3,是真命题,则原命题为真命题,即由“”可以推出“或”.

∴“或”是“”的必要不充分条件.故（C）正确;

对于（D）,构造函数,则函数是R上的增函数.

∵,∴.故（D）正确.

∴选择答案【 BCD 】.

第Ⅱ卷  非选择题（共90分）

三、填空题（每小题5分,共20分）

13. 设,,若,则的取值范围是__________.

答案  

解析  本题考查根据集合之间的基本关系确定参数的取值范围.

由题意可知:≤,即.

14. 已知,则的值是__________.

答案  2

解析  本题考查求分段函数的函数值.

∵,∴,∴.

15. 若,使得不等式≥0成立,则实数的取值范围是__________.

答案  

解析  本题考查存在性问题.

∵,使得不等式≥0成立

∴,使得≤成立.

设,只需当时,≤即可.

∴≥,即实数的取值范围是.

16. 已知R+,,则:（1）的最小值是__________;

（2）的最小值是__________.

答案  （1）; （2）.

解析  本题考查利用基本不等式求最值.

∵R+,,∴.

∴

≥.

当且仅当,即时,等号成立.

∴的最小值是;

（2）∵R+,

∴

≥.

当且仅当,即时,等号成立.

∴的最小值是.

四、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（本题满分10分）

已知集合,集合.

（1）求（CRB）A;

（2）设集合,且,求实数的取值范围.

解:（1）∵,∴CRB.

∴（CRB）A;

（2）∵,∴,则有

,解之得:.

∴实数的取值范围是.

18.（本题满分12分）

设集合,集合.

（1）若,求;

（2）设命题,命题,若是成立的必要不充分条件,求实数的取值范围.

解:（1）,.

当时,.

∴;

（2）∵是成立的必要不充分条件,∴.

显然,,则有,解之得:0≤≤2.

∴实数的取值范围是.

19.（本题满分12分）

已知函数.

（1）求的定义域;

（2）求的值域.

解:（1）解不等式组得:1≤≤3.

∴函数的定义域为;

（2）令,则.

∴.

设,∵,∴.

∴.

∵,∴.

∴函数的值域为.

20.（本题满分12分）

已知R,,R,.

（1）若为真命题,求实数的取值范围;

（2）若均为真命题,求实数的取值范围.

解:（1）由题意可知:方程有实数根.

∴≥0,解之得:≥.

∴实数的取值范围是;

（2）若为真命题,则R,恒成立.

当时,,解之得:,不符合题意;

当时,则有,解之得:.

综上,若为真命题,则实数的取值范围是.

若为真命题,即R,.

∴函数的图象与轴无交点.

∴,解之得:.

∴若为真命题,则实数的取值范围是.

∵均为真命题

∴实数的取值范围是.

或者:由（1）可知,若为真命题,则≥.

∴若为真命题,则.

21.（本题满分12分）

某单位决定投资3200元建一仓库（长方体状）,该仓库的高度为一定值,它的后墙利用旧墙不花钱,正面用铁栅,每1 m长造价40元;两侧墙砌砖,每1 m长造价45元（不考虑铁栅及墙体的厚度和高度）.

（1）若该仓库不需要做屋顶,求该仓库占地面积S的最大值;

（2）若为了使仓库防雨,需要为仓库做屋顶,顶部每1 m2造价20元,则当仓库占地面积S取最大值时,正面铁栅应设计为多长?

解:（1）设铁栅的长为m,一堵砖墙的长为y m,则有

≥

∴≤,当且仅当,即时,等号成立.

∴S的最大值为m2.

答:该仓库占地面积S的最大值为m2;

（2）由题意可知:.

∴≤3200,整理得:≤0.

∴≤0,∴≤10,≤100.

当且仅当,即时,等号成立.

答:当仓库占地面积S取最大值时,正面铁栅应设计为15 m长.

22.（本题满分12分）

（1）已知为正数,求证:≥3;

（2）已知正数满足,若恒成立,求实数的取值范围.

（1）证明:∵为正数

∴

≥.

当且仅当,即时,所有的等号成立.

∴≥3;

（2）解: 设,则.

∴

≥.

当且仅当,即时,等号成立,此时.

∴的最小值为.

∵恒成立,∴.

∴实数的取值范围是.