培优锐角三角函数辅导专题训练及答案

1．已知Rt△ABC中，AB是⊙O的弦，斜边AC交⊙O于点D，且AD=DC，延长CB交⊙O 于点E．

（1）图1的A、B、C、D、E五个点中，是否存在某两点间的距离等于线段CE的长？请说明理由；

（2）如图2，过点E作⊙O的切线，交AC的延长线于点F．

①若CF=CD时，求sin∠CAB的值；

②若CF=aCD（a＞0）时，试猜想sin∠CAB的值．（用含a的代数式表示，直接写出结果）

【答案】（1）AE=CE；（2）①；②．

【解析】

试题分析：（1）连接AE、DE，如图1，根据圆周角定理可得∠ADE=∠ABE=90°，由于

AD=DC，根据垂直平分线的性质可得AE=CE；

（2）连接AE、ED，如图2，由∠ABE=90°可得AE是⊙O的直径，根据切线的性质可得

∠AEF=90°，从而可证到△ADE∽△AEF，然后运用相似三角形的性质可得=AD•AF．①当CF=CD时，可得，从而有EC=AE=CD，在Rt△DEC中运用三角函数可得

sin∠CED=，根据圆周角定理可得∠CAB=∠DEC，即可求出sin∠CAB的值；②当CF=aCD（a＞0）时，同①即可解决问题．

试题解析：（1）AE=CE．理由：

连接AE、DE，如图1，∵∠ABC=90°，∴∠ABE=90，∴∠ADE=∠ABE=90°，∵AD=DC，

∴AE=CE；

（2）连接AE、ED，如图2，∵∠ABE=90°，∴AE是⊙O的直径，∵EF是⊙OO的切线，

∴∠AEF=90°，∴∠ADE=∠AEF=90°，又∵∠DAE=∠EAF，∴△ADE∽△AEF，∴，∴=AD•AF．①当CF=CD时，AD=DC=CF，AF=3DC，∴=DC•3DC=，∴AE=DC，∵EC=AE，

∴EC=DC，∴sin∠CAB=sin∠CED===；

②当CF=aCD（a＞0）时，sin∠CAB=．

∵CF=aCD，AD=DC，∴AF=AD+DC+CF=（a+2）CD，∴=DC•（a+2）DC=（a+2），∴AE=DC，∵EC=AE，∴EC=DC，

∴sin∠CAB=sin∠CED==．

考点：1．圆的综合题；2．探究型；3．存在型．

2．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点M是斜边AB的中点，MD∥BC，且MD=CM，DE⊥AB于点E，连结AD、CD．

（1）求证：△MED∽△BCA；

（2）求证：△AMD≌△CMD；

（3）设△MDE的面积为S1，四边形BCMD的面积为S2，当S2=17

5

S1时，求cos∠ABC的

值．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）cos∠ABC=5 7 .

【解析】【分析】

（1）易证∠DME=∠CBA ，∠ACB=∠MED=90°，从而可证明△MED ∽△BCA ； （2）由∠ACB=90°，点M 是斜边AB 的中点，可知MB=MC=AM ，从而可证明∠AMD=∠CMD ，从而可利用全等三角形的判定证明△AMD ≌△CMD ； （3）易证MD=2AB ，由（1）可知：△MED ∽△BCA ，所以

2

114

ACB S MD S

AB ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以S △MCB =12S △ACB =2S 1，从而可求出S △EBD =S 2﹣S △MCB ﹣S 1=25

S 1，由于1EBD S ME S EB =，从而可知

52ME EB =，设ME=5x ，EB=2x ，从而可求出AB=14x ，BC=7

2，最后根据锐角三角函数的定义即可求出答案． 【详解】

（1）∵MD ∥BC ， ∴∠DME=∠CBA ， ∵∠ACB=∠MED=90°， ∴△MED ∽△BCA ；

（2）∵∠ACB=90°，点M 是斜边AB 的中点， ∴MB=MC=AM ， ∴∠MCB=∠MBC ， ∵∠DMB=∠MBC ，

∴∠MCB=∠DMB=∠MBC ， ∵∠AMD=180°﹣∠DMB ，

∠CMD=180°﹣∠MCB ﹣∠MBC+∠DMB=180°﹣∠MBC ， ∴∠AMD=∠CMD ， 在△AMD 与△CMD 中，

MD MD AMD CMD AM CM =⎧⎪

∠=∠⎨⎪=⎩

， ∴△AMD ≌△CMD （SAS ）； （3）∵MD=CM ， ∴AM=MC=MD=MB ， ∴MD=2AB ，

由（1）可知：△MED ∽△BCA ， ∴

2

114

ACB S MD S

AB ⎛⎫== ⎪⎝⎭，

∴S △ACB =4S 1， ∵CM 是△ACB 的中线， ∴S △MCB =

1

2

S △ACB =2S 1，

∴S △EBD =S 2﹣S △MCB ﹣S 1=2

5

S 1， ∵

1EBD

S ME

S

EB

=

， ∴1125

S ME

EB S =

，

∴

5

2

ME EB =， 设ME=5x ，EB=2x ， ∴MB=7x ， ∴AB=2MB=14x ，

∵

1

2MD ME AB BC ==， ∴BC=10x ，

∴cos ∠ABC=105

147

BC x AB x ==. 【点睛】

本题考查相似三角形的综合问题，涉及直角三角形斜边中线的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的判定与性质，三角形面积的面积比，锐角三角函数的定义等知识，综合程度较高，熟练掌握和灵活运用相关的性质及定理进行解题是关键.

3．如图，等腰△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=36°，BC=1，点D 在边AC 上且BD 平分∠ABC ，设CD=x ．

（1）求证：△ABC ∽△BCD ； （2）求x 的值；

（3）求cos36°-cos72°的值．

【答案】(1)证明见解析；（2）15

2

-+；（3）5816．

【解析】

试题分析：（1）由等腰三角形ABC 中，顶角的度数求出两底角度数，再由BD 为角平分线求出∠DBC 的度数，得到∠DBC=∠A ，再由∠C 为公共角，利用两对角相等的三角形相似得

（2）根据（1）结论得到AD=BD=BC，根据AD+DC表示出AC，由（1）两三角形相似得比例求出x的值即可；

（3）过B作BE垂直于AC，交AC于点E，在直角三角形ABE和直角三角形BCE中，利用锐角三角函数定义求出cos36°与cos72°的值，代入原式计算即可得到结果．

试题解析：（1）∵等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，

∴∠ABC=∠C=72°，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠CBD=36°，

∵∠CBD=∠A=36°，∠C=∠C，

∴△ABC∽△BCD；

（2）∵∠A=∠ABD=36°，

∴AD=BD，

∵BD=BC，

∴AD=BD=CD=1，

设CD=x，则有AB=AC=x+1，

∵△ABC∽△BCD，

∴AB BC BD CD

=

，即

11

1

x

x

+

=，

整理得：x2+x-1=0，

解得：x1=

15

-+

，x2=

15

--

（负值，舍去），

则x=

15

2

-+

；

（3）过B作BE⊥AC，交AC于点E，

∵BD=CD，

∴E为CD中点，即15

-+

在Rt△ABE中，cosA=cos36°=

15

151

4

4

15

1

AE

AB

-+

+

==

-+

+

，在Rt△BCE中，cosC=cos72°=15

15 4

14

EC

BC

-+

-+

==，

则cos36°-cos72°=

51

4

+

=-

15

4

-+

=

1

2

．

【考点】1.相似三角形的判定与性质；2.等腰三角形的性质；3.黄金分割；4.解直角三角形．

4．已知：△ABC内接于⊙O，D是弧BC上一点，OD⊥BC，垂足为H．

（1）如图1，当圆心O 在AB边上时，求证：AC=2OH；

（2）如图2，当圆心O在△ABC外部时，连接AD、CD，AD与BC交于点P，求证：

∠ACD=∠APB；

（3）在（2）的条件下，如图3，连接BD，E为⊙O上一点，连接DE交BC于点Q、交AB 于点N，连接OE，BF为⊙O的弦，BF⊥OE于点R交DE于点G，若∠ACD﹣

∠ABD=2∠BDN，AC=，BN=，tan∠ABC=，求BF的长．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）24.

【解析】

试题分析：（1）易证OH为△ABC的中位线，可得AC=2OH；（2）∠APB=∠PAC+∠ACP，∠ACD=∠ACB+∠BCD，又∵∠PAC =∠BCD，可证∠ACD=∠APB；（3）连接AO延长交于⊙O于点I，连接IC，AB与OD相交于点M，连接OB，易证∠GBN=∠ABC，所以BG=BQ.在Rt△BNQ中，根据tan∠ABC=，可求得NQ、BQ的长.利用圆周角定理可求得IC和AI 的长度，设QH=x，利用勾股定理可求出QH和HD的长度，利用垂径定理可求得ED的长度，最后利用tan∠OED=即可求得RG的长度，最后由垂径定理可求得BF的长度．

试题解析：（1）在⊙O中，∵OD⊥BC，∴BH=HC，∵点O是AB的中点，∴AC=2OH；（2）在⊙O中，∵OD⊥BC，∴弧BD=弧CD，∴∠PAC=∠BCD，∵∠APB=∠PAC+∠ACP，∠ACD=∠ACB+∠BCD，∴∠ACD=∠APB；（3）连接AO延长交于⊙O于点I，连接IC，AB 与OD相交于点M，连接OB，

∵∠ACD﹣∠ABD=2∠BDN，∴∠ACD﹣∠BDN=∠ABD+∠BDN，∵∠ABD+∠BDN=∠AND，∴∠ACD﹣∠BDN=∠AND，∵∠ACD+∠ABD=180°，∴2∠AND=180°，∴∠AND=90°，

∵tan∠ABC=，∴，∴，

∴，∵∠BNQ=∠QHD=90°，

∴∠ABC=∠QDH，∵OE=OD，

∴∠OED=∠QDH，∵∠ERG=90°，∴∠OED=∠GBN，∴∠GBN=∠ABC，∵AB⊥ED，

∴BG=BQ=，GN=NQ=，

∵∠ACI=90°，tan∠AIC=tan∠ABC=，∴，∴IC=，∴由勾股定理可求得：AI=25，

设QH=x，∵tan∠ABC=tan∠ODE=，∴，∴HD=2x，∴OH=OD﹣HD=，BH=BQ+QH=，

∵OB2=BH2+OH2，∴，解得：，当QH=

时，∴QD=，

∴ND=，∴MN=，MD=15,∵，∴QH=不符合题意，舍去，当QH=时，∴QD=

∴ND=NQ+QD=，ED=，∴GD=GN+ND=,∴EG=ED﹣GD=，

∵tan∠OED=，∴，

∴EG=RG，∴RG=，∴ BR=RG+BG=12,∴BF=2BR=24．

考点：1圆；2相似三角形；3三角函数；4直角三角形.5．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=60°，BC=16cm，AD是斜边BC上的高，垂足为D，BE=1cm．点M从点B出发沿BC方向以1cm/s的速度运动，点N从点E出发，与点M 同时同方向以相同的速度运动，以MN为边在BC的上方作正方形MNGH．点M到达点D 时停止运动，点N到达点C时停止运动．设运动时间为t（s）．

（1）当t为何值时，点G刚好落在线段AD上？

（2）设正方形MNGH与Rt△ABC重叠部分的图形的面积为S，当重叠部分的图形是正方形时，求出S关于t的函数关系式并写出自变量t的取值范围．

（3）设正方形MNGH的边NG所在直线与线段AC交于点P，连接DP，当t为何值时，

△CPD是等腰三角形？

【答案】（1）3；（2）；（3）t=9s或t=（15﹣6）s.

【解析】

试题分析：（1）求出ED的距离即可求出相对应的时间t.

（2）先求出t的取值范围，分为H在AB上时，此时BM的距离，进而求出相应的时间．同样当G在AC上时，求出MN的长度，继而算出EN的长度即可求出时间，再通过正方形的面积公式求出正方形的面积.

（3）分DP=PC和DC=PC两种情况，分别由EN的长度便可求出t的值．

试题解析：∵∠BAC=90°，∠B=60°，BC=16cm

∴AB=8cm，BD=4cm，AC=8cm，DC=12cm，AD=4cm.

（1）∵当G刚好落在线段AD上时，ED=BD﹣BE=3cm

∴t=s=3s．

（2）∵当MH没有到达AD时，此时正方形MNGH是边长为1的正方形，令H点在AB 上，

则∠HMB=90°，∠B=60°，MH=1

∴BM=cm.∴t=s.

当MH到达AD时，那么此时的正方形MNGH的边长随着N点的继续运动而增大，令G点在AC上，

设MN=xcm，则GH=DH=x，AH=x，∵AD=AH+DH=x+x=x=4，

∴x=3．

当≤t≤4时，S MNGN=1cm2．

当4＜t≤6时，S MNGH=（t﹣3）2cm2

∴S关于t的函数关系式为：.

（3）分两种情况：

①∵当DP=PC时，易知此时N点为DC的中点，∴MN=6cm

∴EN=3cm+6cm=9cm.∴t=9s

故当t=9s的时候，△CPD为等腰三角形；

②当DC=PC时，DC=PC=12cm

∴NC=6cm

∴EN=16cm﹣1cm﹣6cm=（15﹣6）cm

∴t=（15﹣6）s

故当t=（15﹣6）s时，△CPD为等腰三角形．

综上所述，当t=9s或t=（15﹣6）s时，△CPD为等腰三角形．

考点：1.双动点问题；2.锐角三角函数定义；3.特殊角的三角函数值；4.正方形的性质；5.由实际问题列函数关系式；6.等腰三角形的性质；7.分类思想的应用.

6．如图，正方形OABC的顶点O与原点重合，点A，C分别在x轴与y轴的正半轴上，点

A的坐标为（4，0），点D在边AB上，且tan∠AOD＝1

2

，点E是射线OB上一动点，

EF⊥x轴于点F，交射线OD于点G，过点G作GH∥x轴交AE于点H．

（1）求B，D两点的坐标；

（2）当点E在线段OB上运动时，求∠HDA的大小；

（3）以点G为圆心，GH的长为半径画⊙G．是否存在点E使⊙G与正方形OABC的对角线所在的直线相切？若不存在，请说明理由；若存在，请求出所有符合条件的点E的坐标．

【答案】（1）B （4，4），D （4，2）；（2）45°；（3）存在，符合条件的点为（8﹣

，8﹣）或（，）或1616,77⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或

1616,77⎛-- ⎝⎭

，理由见解析 【解析】

【分析】

（1）由正方形性质知AB=OA=4，∠OAB=90°，据此得B （4，4），再由tan ∠AOD= 12得AD=12

OA=2，据此可得点D 坐标； （2）由1tan 2GF GOF OF ∠=

=知GF=12OF ，再由∠AOB=∠ABO=45°知OF=EF ，即GF=12

EF ，根据GH ∥x 轴知H 为AE 的中点，结合D 为AB 的中点知DH 是△ABE 的中位线，即HD ∥BE ，据此可得答案；

（3）分⊙G 与对角线OB 和对角线AC 相切两种情况，设PG=x ，结合题意建立关于x 的方程求解可得．

【详解】

解：（1）∵A （4，0），

∴OA ＝4，

∵四边形OABC 为正方形，

∴AB ＝OA ＝4，∠OAB ＝90°，

∴B （4，4），

在Rt △OAD 中，∠OAD ＝90°，

∵tan ∠AOD ＝

12， ∴AD ＝12OA ＝12

×4＝2， ∴D （4，2）；

（2）如图1，在Rt △OFG 中，∠OFG ＝90°

∴tan∠GOF＝GF

OF ＝

1

2

，即GF＝

1

2

OF，

∵四边形OABC为正方形，

∴∠AOB＝∠ABO＝45°，

∴OF＝EF，

∴GF＝1

2

EF，

∴G为EF的中点，

∵GH∥x轴交AE于H，

∴H为AE的中点，

∵B（4，4），D（4，2），

∴D为AB的中点，

∴DH是△ABE的中位线，

∴HD∥BE，

∴∠HDA＝∠ABO＝45°．

（3）①若⊙G与对角线OB相切，

如图2，当点E在线段OB上时，

过点G作GP⊥OB于点P，设PG＝x，可得PE＝x，EG＝FG2x，OF＝EF＝2x，

∵OA＝4，

∴AF＝4﹣2，

∵G为EF的中点，H为AE的中点，∴GH为△AFE的中位线，

∴GH＝1

2AF＝

1

2

×（4﹣22x）＝2﹣2x，

则x＝2﹣2x，

解得：x＝22﹣2，

∴E（8﹣42，8﹣42），

如图3，当点E在线段OB的延长线上时，

x＝2x﹣2，

解得：x＝2+2，

∴E（8+42，8+42）；

②若⊙G与对角线AC相切，

如图4，当点E在线段BM上时，对角线AC，OB相交于点M，

过点G作GP⊥OB于点P，设PG＝x，可得PE＝x，

EG＝FG2，

OF＝EF＝2x，

∵OA＝4，

∴AF＝4﹣2，

∵G为EF的中点，H为AE的中点，

∴GH为△AFE的中位线，

∴GH ＝12AF ＝12×（4﹣22x ）＝2﹣2x ， 过点G 作GQ ⊥AC 于点Q ，则GQ ＝PM ＝3x ﹣22，

∴3x ﹣22＝2﹣2x ， ∴4227

x +=， ∴421216,77E ⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭

； 如图5，当点E 在线段OM 上时，

GQ ＝PM ＝22﹣3x ，则22﹣3x ＝2﹣2x ，

解得4227

x -=， ∴1212,77E ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭

； 如图6，当点E 在线段OB 的延长线上时，

3x ﹣22x ﹣2，

解得：4227

x =（舍去）； 综上所述，符合条件的点为（8﹣2，8﹣2）或（2，2）或

4212

16,⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭或1212,⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭． 【点睛】 本题是圆的综合问题，解题的关键是掌握正方形和直角三角形的性质、正切函数的定义、三角形中位线定理及分类讨论思想的运用．

7．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的边AB 在x 轴上，点B 坐标（﹣6，0），点C 在y 轴正半轴上，且cos B ＝35

，动点P 从点C 出发，以每秒一个单位长度的速度向D 点移动（P 点到达D 点时停止运动），移动时间为t 秒，过点P 作平行于y 轴的直线l 与菱形的其它边交于点Q ．

（1）求点D 坐标；

（2）求△OPQ 的面积S 关于t 的函数关系式，并求出S 的最大值；

（3）在直线l 移动过程中，是否存在t 值，使S ＝

320ABCD

S 菱形？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）点D 的坐标为（10，8）．（2）S 关于t 的函数关系式为S ＝

24(04)220(410)3

3t t t t t ⎧⎪⎨-+<⎪⎩，S 的最大值为503．（3）3或7. 【解析】

【分析】

（1）在Rt △BOC 中，求BC,OC,根据菱形性质再求D 的坐标；（2）分两种情况分析：①当0≤t ≤4时和②当4＜t ≤10时，根据面积公式列出解析式，再求函数的最值；（3）分两种情况分析：当0≤t ≤4时，4t ＝12，；当4＜t ≤10时，22201233t t -

+= 【详解】

解：（1）在Rt △BOC 中，∠BOC ＝90°，OB ＝6，cos B ＝35

， 10cos OB BC B

∴==

8OC ∴==∵四边形ABCD 为菱形，CD ∥x 轴，

∴点D 的坐标为（10，8）．

（2）∵AB ＝BC ＝10，点B 的坐标为（﹣6，0），

∴点A 的坐标为（4，0）．

分两种情况考虑，如图1所示．

①当0≤t ≤4时，PQ ＝OC ＝8，OQ ＝t ，

∴S ＝

12

PQ •OQ ＝4t ， ∵4＞0， ∴当t ＝4时，S 取得最大值，最大值为16；

②当4＜t ≤10时，设直线AD 的解析式为y ＝kx +b （k ≠0），

将A （4，0），D （10，8）代入y ＝kx +b ，得：

4k b 010k b 8+=⎧⎨+=⎩，解得：4k 316b 3⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩

， ∴直线AD 的解析式为41633y x =

-． 当x ＝t 时，41633

y t =-， 418(10)3

33PQ t t ⎛⎫∴=--=- ⎪⎝⎭ 21220233

S PQ OP t t ∴=⋅=-+ 22202502(5),033333

S t t t =-+=--+-<∴当t ＝5时，S 取得最大值，最大值为503

． 综上所述：S 关于t 的函数关系式为S ＝24(04)220(410)3

3t t t t t ⎧⎪⎨-+<⎪⎩，S 的最大值为503． （3）S 菱形ABCD ＝AB •OC ＝80．

当0≤t ≤4时，4t ＝12，

解得：t ＝3；

当4＜

t ≤10时，222033

t

t -+＝12， 解得：t 1＝5（舍去），t 2＝

． 综上所述：在直线l 移动过程中，存在t 值，使S ＝

320ABCD S 菱形，t 的值为3或．

【点睛】

考核知识点：一次函数和二次函数的最值问题.数形结合，分类讨论是关键.

8．如图，在ABC △中，10AC BC ==，3

cos

5C =

,点P 是BC 边上一动点（不与点,A C 重合），以PA 长为半径的P 与边AB 的另一个交点为D ，过点D 作DE CB ⊥于点E .

()1当P 与边BC 相切时，求P 的半径；

()2联结BP 交DE 于点F ，设AP 的长为x ，PF 的长为y ，求y 关于x 的函数解析式，并直接写出x 的取值范围；

()3在()2的条件下，当以PE 长为直径的

Q 与P 相交于AC 边上的点G 时，求相交

所得的公共弦的长. 【答案】（1）409；（2）)25880010320

x x y x x -+=<<+；（3）105- 【解析】

【分析】 （1）设⊙P 与边BC 相切的切点为H ，圆的半径为R ，连接HP ，则HP ⊥BC ，cosC=35，则sinC=45，sinC=HP CP =R 10R -=45

，即可求解； （2）PD ∥BE ，则EB PD ＝BF PF ，即：2248805x x x y x

y --+=，即可求解； （3）证明四边形PDBE 为平行四边形，则AG=GP=BD ，即：5求解．

【详解】

（1）设⊙P 与边BC 相切的切点为H ，圆的半径为R ，

连接HP ，则HP ⊥BC ，cosC=35，则sinC=35， sinC=HP CP =R 10R -=45，解得：R=409

； （2）在△ABC 中，AC=BC=10，cosC=

35， 设AP=PD=x ，∠A=∠ABC=β，过点B 作BH ⊥AC ，

则BH=ACsinC=8，

同理可得：

CH=6，HA=4，AB=45，则：tan ∠CAB=2BP=()2284x +-=2880x x -+， DA=255x ，则BD=45-255

x ， 如下图所示，

PA=PD ，∴∠PAD=∠CAB=∠CBA=β，

5，sinβ=

5

，

EB=BDcosβ=（45-

25

x）×

5

=4-

2

5

x，

∴PD∥BE，

∴EB

PD

＝

BF

PF

，即：2

2

4880

5

x x x y

x y

--+-

=，

整理得：y=()

2

5x x8x80

0x10

-+

<<；

（3）以EP为直径作圆Q如下图所示，

两个圆交于点G，则PG=PQ，即两个圆的半径相等，则两圆另外一个交点为D，GD为相交所得的公共弦，

∵点Q时弧GD的中点，

∴DG⊥EP，

∵AG是圆P的直径，

∴∠GDA=90°，

∴EP∥BD，

由（2）知，PD∥BC，∴四边形PDBE为平行四边形，

∴AG=EP=BD，

∴5

设圆的半径为r，在△ADG中，

55

AG=2r，

5

5

51

+

，

则：

5

5

相交所得的公共弦的长为5

【点睛】

本题考查的是圆知识的综合运用，涉及到解直角三角形、勾股定理等知识，其中（3），要关键是根据题意正确画图，此题用大量的解直角三角形的内容，综合难度很大．

9．已知抛物线y＝﹣1

6

x2﹣

2

3

x+2与x轴交于点A，B两点，交y轴于C点，抛物线的对称

轴与x轴交于H点，分别以OC、OA为边作矩形AECO．

(1)求直线AC的解析式；

(2)如图，P为直线AC上方抛物线上的任意一点，在对称轴上有一动点M，当四边形AOCP 面积最大时，求|PM﹣OM|的值．

(3)如图，将△AOC沿直线AC翻折得△ACD，再将△ACD沿着直线AC平移得△A'C′D'．使得点A′、C'在直线AC上，是否存在这样的点D′，使得△A′ED′为直角三角形？若存在，请求出点D′的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】(1) y＝1

3

x+2；(2) 点M坐标为（﹣2，

5

3

）时，四边形AOCP的面积最大，此时

|PM﹣OM|61 (3)存在，D′坐标为：（0，4）或（﹣6，2）或（

3

5

-，

19

5

）．

【解析】

【分析】

（1）令x＝0，则y＝2，令y＝0，则x＝2或﹣6，求出点A、B、C坐标，即可求解；（2）连接OP交对称轴于点M，此时，|PM﹣OM|有最大值，即可求解；

（3）存在；分①A′D′⊥A′E；②A′D′⊥ED′；③ED′⊥A′E三种情况利用勾股定理列方程求解即可．

【详解】

（1）令x＝0，则y＝2，令y＝0，则x＝2或﹣6，∴A（﹣6，0）、B（2，0）、C（0，

2），函数对称轴为：x＝﹣2，顶点坐标为（﹣2，8

3

），C点坐标为（0，2），则过点C

的直线表达式为：y＝kx+2，将点A坐标代入上式，解得：k

1

3

=，则：直线AC的表达式

为：y

1

3

=x+2；

（2）如图，过点P作x轴的垂线交AC于点H．

四边形AOCP面积＝△AOC的面积+△ACP的面积，四边形AOCP面积最大时，只需要△ACP

的面积最大即可，设点P坐标为（m，

1

6

-m2

2

3

-m+2），则点G坐标为（m，

1

3

m+2），

S△ACP

1

2

=PG•OA

1

2

=•（

1

6

-m2

2

3

-m+2

1

3

-m﹣2）•6

1

2

=-m2﹣3m，当m＝﹣3时，上式

取得最大值，则点P坐标为（﹣3，5

2

）．连接OP交对称轴于点M，此时，|PM﹣OM|有

最大值，直线OP的表达式为：y

5

6

=-x，当x＝﹣2时，y

5

3

=，即：点M坐标为（﹣2，

5 3），|PM﹣OM|的最大值为：2222

555

(32)()2()

233

-++--+=61．

（3）存在．

∵AE＝CD，∠AEC＝∠ADC＝90°，∠EMA＝∠DMC，∴△EAM≌△DCM（AAS），∴EM＝DM，AM＝MC，设：EM＝a，则：MC＝6﹣a．在Rt△DCM中，由勾股定理得：MC2＝

DC2+MD2，即：（6﹣a）2＝22+a2，解得：a

8

3

=，则：MC

10

3

=，过点D作x轴的垂线交x

轴于点N，交EC于点H．在Rt△DMC中，1

2

DH•MC

1

2

=MD•DC，即：DH

108

33

⨯=⨯2，

则：DH

8

5

=，HC22

6

5

DC DH

=-=，即：点D的坐标为（

618

55

-，）；

设：△ACD沿着直线AC平移了m个单位，则：点A′坐标（﹣6

1010

，D′坐标

为（

618

55

1010

，

-++），而点E坐标为（﹣6，2），则

2''

A D =22618(6)()55-++=36，2'A E =22()(2)1010+-=2410m -+，2'ED =22248()()551010+++=2128510

m ++．若△A ′ED ′为直角三角形，分三种情况讨论： ①当2''A D +2'A E =2

'ED 时，36+2410m -+=2128510m ++，解得：m =210，此时D ′（618551010

，-++）为（0，4）； ②当2''A D +2'ED =2'A E 时，36+2128510m ++=2410

m -+，解得：m =810-，此时D ′（618551010，-++）为（－6，2）； ③当2'A E +2'ED =2''A D 时，2410m -

++2128510m ++=36，解得：m =810-或m =10，此时D ′（618551010，-++）为（－6，2）或（35，195）． 综上所述：D 坐标为：（0，4）或（﹣6，2）或（

35，195）． 【点睛】

本题考查了二次函数知识综合运用，涉及到一次函数、图形平移、解直角三角形等知识，其中（3）中图形是本题难点，其核心是确定平移后A ′、D ′的坐标，本题难度较大．

10．如图，某人在山坡坡脚C 处测得一座建筑物顶点A 的仰角为63.4°，沿山坡向上走到P 处再测得该建筑物顶点A 的仰角为53°．已知BC ＝90米，且B 、C 、D 在同一条直线上，山坡坡度i ＝5：12．

(1)求此人所在位置点P 的铅直高度．(结果精确到0.1米)

(2)求此人从所在位置点P 走到建筑物底部B 点的路程(结果精确到0.1米)(测倾器的高度忽略不计，参考数据：tan53°≈43

，tan63.4°≈2)

分析：(1)过P作PF⊥BD于F，作PE⊥AB于E，设PF＝5x，在Rt△ABC中求出AB，用含x 的式子表示出AE，EP，由tan∠APE，求得x即可；(2)在Rt△CPF中，求出CP的长.

详解：过P作PF⊥BD于F，作PE⊥AB于E，

∵斜坡的坡度i＝5:12，

设PF＝5x，CF＝12x，

∵四边形BFPE为矩形，

∴BF＝PEPF＝BE.

在RT△ABC中，BC＝90，

tan∠ACB＝AB BC

，

∴AB＝tan63.4°×BC≈2×90＝180，

∴AE＝AB－BE＝AB－PF＝180－5x，EP＝BC＋CF≈90＋120x.

在RT△AEP中，

tan∠APE＝

18054

90123 AE x

EP x

-

≈

＝

＋

，

∴x＝20

7

，

∴PF＝5x＝10014.3

7

≈.

答：此人所在P的铅直高度约为14.3米.

由(1)得CP＝13x，

∴CP＝13×20

7

≈37.1，BC＋CP＝90＋37.1＝127.1.

答：从P到点B的路程约为127.1米.

点睛：本题考查了解直角三角形的应用，关键是正确的画出与实际问题相符合的几何图形，找出图形中的相关线段或角的实际意义及所要解决的问题，构造直角三角形，用勾股定理或三角函数求相应的线段长.