人教版必修五含参不等式和恒成立问题(含答案)

1、一元二次不等式含参问题

含参不等式的解法：由于解含参数不等式的主要目的是求未知数的取值集合，而不是求参数的范围，因此在分析含参数不等式时，把参数看成是常数，确定不等式的类型，按相应类型不等式的解题方法进行转化；但在求解过程中要审视参数对不等式类型、同解变形、解的结构等是否有不确定性影响，若有不确定性则进行分类讨论，否则不予讨论。

(1)按项的系数的符号分类，即;

(2)按判别式的符号分类，即；

 的根的大小来分类，即；

例题1：解的不等式：（1）。2) 

例题2：解关于的不等式：（1） 

例题3：解不等式（1）. 

2、一元二次不等式恒成立问题

1、不等式对任意实数恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0，它的解集为R的条件为；ax2＋bx＋c＜0的解集为R的条件为；的解集为R的条件为 ；的解集为R的条件为.

2、对于一般恒成立问题：

方法一：转化为函数的最值（或值域）（1）对任意x都成立；（2）对任意x都成立。简单计作：“大的大于最大的，小的小于最小的”。

方法二：数形结合，如果不等式中涉及的函数、代数式对应的图象、图形较易画出时，可通过图象、图形的位置关系建立不等式求得参数范围.

方法三：分离参数，把要求的参变量分离出来，单独放在不等式的一侧，将另一侧看成新函数，于是将问题转化成新函数的最值问题；（1）对于取值范围内的任一个数都有恒成立，则；（2）对于取值范围内的任一个数都有恒成立，则

例题1：若的定义域为R,求b范围。

例题2：已知关于的不等式恒成立，试求的取值范围.

例题3：已知，求使不等式对任意恒成立的的取值范围。

【巩固训练】

1、解不等式

2、解关于的不等式

3、解关于x的不等式：

4、不等式 对恒成立，求的范围。

5、已知函数时恒成立，求实数的取值范围。

含参不等式专题答案

3、一元二次不等式含参问题

例题1：解：(1)当即，解集；当即Δ＝0，解集；

当或即,此时两根分别为，，

显然,  ∴不等式的解集为

(2)当，解集为R；当，解集为；当，解集

例题2：解：（1）当时，解集为{}；当时，解集为{}；当时，解集为{}；当时，解集为；当时，解集为{}.

（2）当，解集是；当，解集是；当，解集是

    ；当，解集是。

例题3：解：（1）当或时，原不等式的解集为；

  当或时，可得其解集为；当或时, 解集为。

（2）；；；

      ；。

4、一元二次不等式恒成立问题

例题1：解：的定义域为R,

 一元二次不等式的解集为R.

例题2：解：由题意知：

①当，即时，不等式化为，它恒成立，满足条件.

②当，即时，原题等价于

综上：

例题3：解法1：数形结合

结合函数的草图可知时恒成立

。所以的取值范围是。

解法2：转化为最值研究

① 当上的最大值。

②当，得，所以。

综上：的取值范围是。

注：1. 此处是对参数进行分类讨论，每一类中求得的的范围均合题意，故对每一类中所求得的的范围求并集。

  2. 恒成立；     

解法3：分离参数

。设， 

当时，所以的取值范围是。

注：1. 运用此法最终仍归结为求函数的最值，但由于将参数a与变量x分离，因此在求最值时避免了分类讨论，使问题相对简化。

  2. 本题若将“”改为“”可类似上述三种方法完成。

【巩固训练】

1、解：因式分解，得:，方程的两根为

①当 即时，解集为：{︱ 或};

②当即时，解集为：{︱ 且};

③当即时，解集为：{︱ 或}.

综上，

①时，解集为：{︱ 或};②时，解集为：{︱ 且};

③时，解集为：{︱ 或}.

3、解:∵ 

∴①当时，；

②时，原不等式变为;

③时，;

④时，，或;

⑤时，或.

注意：该分类讨论就分类讨论!

4、解：原不等式可转化为对恒成立。

①当时，即时，对一切，恒成立；

②当时

  ，解得的范围为。（你还有其他方法吗？）

5、解： 即，

不等式可转化为对恒成立，令，则

由可知在上为减函数，故

∴即的取值范围为。