4.8简单的对数方程

上海大学附属中学周延军、蒋月娥

一、教材内容分析

本节是在学生了解了对数、对数的运算性质，指数函数与对数函数性质的基础上，为对数函数性质的应用安排的.由于对数方程属于超越方程，在一般情况下不可以用初等方程求解，所以只介绍几种最简单的特殊类型的对数方程的解法.教材从实例引入对数方程；说明对数方程来自于实践的需要，本节的重点是掌握几种简单的对数方程的解法；难点是掌握检验对数方程的增失根，关键是理解将对数方程转化为代数方程时，有时会扩大（缩小）字母的允许值范围.

二、教学目标设计

1．理解对数方程的意义，掌握简单的对数方程和解法.

2．理解解对数方程时可能会产生增根的原因，掌握解对数方程过程中检验增根的方法.

3．运用观察、类比、分析的方法探究对数方程的解法，领会化归、数形结合的数学思想，形成应用数学知识的意识，提高分析问题和解决问题的能力.

三、教学重点及难点

对数方程的解法；对数方程的增根与失根；造成增根与失根的原因.

四、教学流程设计

课堂小结并布置作业

五、教学过程设计

(一)复习引入新课

1、练习：

求下列函数的定义域(请两位学生板演)．

1．y=log2(x2-x-2)

2．y=log(x-2)4

(学生板演后教师评讲)

2、提出问题：如果以上的函数式中，y=2，那么怎样求x呢？

可以得到两个等式：log2(x2-x-2)=2及log(x-2)4=2．

反问：这是方程吗？

3、然后师生共同得出：在对数符号后面含有未知数的方程叫对数方程．

(二)对数方程的解法

一些简单的对数方程是可以求解的．如方程log(x-2)4=2，但怎么解呢？是否能将其转化为已学过的普通方程解呢？(这里体现了化归思想．)

引导学生将方程转化为：(x-2)2=4．

解得x1=4，x2=0．

提出问题：它们是原方程的解吗？

引导学生得出x=0不是原方程的解，因为当x=0时，原方程中的对数底数x-2小于0了，所以它不是原方程的解．

提出问题：那为什么会出现这种情形呢？

引导学生进行分析：实际上将原方程log(x-2)4=2转化为新方程(x-2)2=4后，未知数x的范围变大了，由{x|x＞2，且x≠3}，扩大为{x|x∈R且x≠2}，这样就可能产生增根.由此，指出验根的必要性.

小结：形如logg(x)f(x)=a的对数方程的解法是“化指法”，即将其化为指数式f(x)=g(x)a再求解，注意需验根．

例1　如果不考虑空气阻力，火箭的最大速度和燃料的质量、火箭（除燃料外）的质量之间的关系是，

当燃料质量是火箭质量的多少倍时，火箭的最大速度能达到

（1）（精确到0.1倍）  （2）（精确到0.1倍）

解：（1）根据题意，得

所以（倍）

（2）用同样方法，可得（倍）

综上所述，当燃料的质量分别是火箭质量的53.6倍和402.4倍时，火箭的最大速度能达到和.

例2：解方程

分析：利用对数运算性质变形为

解：原方程可变形为： 

可得： 

解得： 

经检验：是增根，原方程的根是

教师：我们注意到原方程允许解的范围是，而变形后方程：允许解的范围扩大了，因为，，所以方程产生增根.

小结：形如的对数方程可用“同底法”脱去对数符号，得，解出后，要满足.

例3　 解方程

解：运用换底公式把原方程化为： 

化简得： 

令，则

解得： 

由得

由得

经检验：，都是原方程的解.

小结：形如A(logax)2+Blogax+C=0的方程用换元法，令logax=y，将原方程化简为Ay2+By+C=0，然后解之．

(三)学生练习

1．解下列方程

lgx2=4；

lg2x＝4；

lg(x2-x-2)=lg(6-x-x2)

loga(x+3)=2．(a>0,a≠1)

2．解下列方程

lg(2-x)+lg(3-x)=lg12

lg(x2+75)-lg(x-4)=2

log3(log4x)=0

log2x+2log4x+log8x=7

例4：求方程x+lgx=3的近似解

分析：它不是简单的对数方程，无法用常规方法求其解，这说明不是所有对数方程我们现在都能解，此类非常规方程，目前只能用数形结合法求其近似解．

解：原方程化为：lgx=3-x

令y=lgx，y=3-x，在同一坐标系内画出函数y=lgx与y=3-x的图像，求得交点的横坐标x≈2.6，这个x值近似地满足lgx=3-x，所以它就是原方程的近似解．

小结：1．对于一些非常规对数方程可用数形结合法求近似解或研究其解的个数．

2．目前我们只学习了简单对数方程的解法．

(四)小结

1．简单对数方程的解法：

①型如logg(x)f(x)=a：化指法；

②型如logaf(x)=logag(x)：同底法；

③型如A(logax)2+Blogax+C=0：换元法；

④数形结合法．

2．解对数方程验根是必不可少的．

3．增强应用重要数学思想方法的意识，如本节课里体现的化归、数形结合等．

（五）作业：习题4.8

六、教学设计说明

（一）关于教学内容

本课时是研究对数方程的第一课时，主要是研究几种简单的对数方程的求解.因为对数方程的求解方法主要是将其转化为代数方程再进行求解，在转化过程中有时会将其范围扩大，所以要对方程的根进行检验.通过本节课的学习，不仅可以让学生运用观察、类比、分析的方法探究对数方程的解法，使学生领会化归、数形结合的数学思想，还能培养学生应用数学知识的意识，提高他们分析问题和解决问题的能力.

（二）关于教学方法

为了充分调动学生学习的积极性，体现学生的自主式学习，我选用了启发、自我探究的教学方式.在课堂教学过程中，始终贯彻“教师为主导、学生为主体、探究为主线、思维为核心”的教学思想，通过引导学生观察、比较、分析和概括，使学生能充分的开动思维，参与教学全过程.

（三）关于教学设计

为了达到教学目标，强化重点内容并突破教学中的难点，在课堂教学过程中，注重讲解方程产生增根的过程及其原因.为了让学生自己体会并发现产生增根的原因，精心设计例题及问题情景.

（四）关于学法指导

本课时通过教师适当引导，学生主动探究，结合对数运算性质、对数函数等概念，不仅使学生领会化归、数形结合的数学思想，还培养了学生主动思考、探究的精神，增强了学生在学习过程中的主动性，培养学生良好的学习习惯.