2022年1月福建省普通高中学业水平合格性考试数学含答案

2022年1月福建省普通高中学业水平合格性考试

数学试题

（考试时间：90分钟；满分：100分）

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。第I卷1至3页，第II卷4至6页。

注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的考生号、姓名填写在试题卷、答题卡上。考生要认真核对答题卡上粘

贴的条形码的“考生号、姓名”与考生本人考生号、姓名是否一致。

2．第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮

擦擦干净后，再选涂其他答案标号。第II卷用黑色字迹签字笔在答题卡上作答。在试题卷上作答，

答案无效。

3．考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回。

第Ⅰ卷（选择题45分）

一、选择题：本题共15小题，每小题3分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A={−2,0,1},B={0,1,2}，则A∩B=（）

A．{0,1}B．{−2,0,1}C．{0,1,2}D．{−2,0,1,2}

2．某简单几何体的三视图如图所示，则该几何体是（ ）

A ．球

B ．圆锥

C ．圆台

D ．圆柱

3．直线y =√3x +1的倾斜角是（ ） A ．π

6

B ．π

3

C ．2π

3

D ．5π

6

4．函数y =log 2(3x −2)的定义域是（ ） A ．(−∞,2

3

)

B ．(2

3

,+∞)

C ．(0,+∞)

D ．R

5．随机投掷一枚质地均匀的骰子，出现向上的点数为奇数的概率是（ ） A ．1

6

B ．1

3

C ．1

2

D ．2

3

6．等差数列{a n }中，若a 1=4，公差d =2，则a 5=（ ） A ．10

B ．12

C ．14

D ．22

7．已知函数f (x )={x 2−2,x ⩾0,2x ,x <0,

则f(f (1))=（ ）

A ．4

B ．2

C ．1

2

D ．−1

8．已知sin α=3

5，且α为第一象限角，则cos α=（ ） A ．4

5

B ．−4

5

C ．3

4

D ．−3

4

9．函数f (x )=2x +3x −4的零点所在的区间是（ ） A ．(−1,0)

B ．(0,1)

C ．(1,2)

D ．(2,3)

10．函数y =sin2x 的最小正周期是（ ） A ．π

2

B ．π

C ．2π

D ．4π

11．如图，在长方体体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E,F 分别是棱BB 1,B 1C 1的中点，以下说法正确的是（ ）

正视图

侧视图 府视图

A．A1E∥平面CC1D1D

B．A1E⊥平面BCC1B1

C．A1E∥D1F

D．A1E⊥D1F

12．函数y=x+1

的图象大致为（）

x

A．B．

C．D．

13．为了得到函数y=sin(x+π

)+1的图象，只需把函数y=sin x的图象（）

3

A．向右平移π

个单位长度，再向上平移1个单位长度

3

B．向右平移π

个单位长度，再向下平移1个单位长度

3

C．向左平移π

个单位长度，再向上平移1个单位长度

3

D．向左平移π

个单位长度，再向下平移1个单位长度

3

14．已知a=log34,b=log32,c=log21

测a,b,c的大小关系是（）

3A．aC．a15．下列各组向量中，可以用来表示向量a⃑=(3,5)的是（）

A．e1⃑⃑⃑⃑=(0,0),e2⃑⃑⃑⃑=(1,−2)

B．e1⃑⃑⃑⃑=(1,2),e2⃑⃑⃑⃑=(−1,−2)

C．e1⃑⃑⃑⃑=(2,3)，e2⃑⃑⃑⃑=(4,6)

D．e1⃑⃑⃑⃑=(1,3),e2⃑⃑⃑⃑=(2,−1)

二、填空题

16．数列{a n}的前几项和为S n，且a1=1,a n+1=2a n，则，S4=__________．17．△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且a=√3,A=60∘,B=45∘，则

b=__________．

18．已知向量a⃑与b⃑⃑满足|a⃑|=5,|b⃑⃑|=4，且a⃑⋅b⃑⃑=10，则a⃑与b⃑⃑的夹角等于

__________．

19．一车间为了规定工时定额，需要确定加工某零件所需的时间，为此进行了多次试验，收集了加工零件个数x与所用时间y（分钟）的相关数据，并利用最小二乘法求得回归方程y=0.67x+55．据此可预测加工200个零件所用的时间约为__________分钟．

20．某工厂要建造一个容积为9m3的长方体形无盖水池．如果该水池池底的一边长为1m，池底的造价为每平方米200元，池壁的造价为每平方米100元，那么要使水池的总造价最低，水池的高应为__________m．

三、解答题

21．在平面直角坐标系中，角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，

终边交单位圆于P点(3

5,4 5 ).

(1)求sin(π−α)的值；

(2)求tan(π

4

+α)的值．

22．某校高三年级共有学生1000名．该校为调查高三学生的某项体育技能水平，从中随机抽取了100名学生进行测试，记录他们的成绩，并将数据分成6组：

[40,50),[50,60),⋯,[90,100]，整理得到频率分布直方图，如图．

(1)若a =0.002,b =0.006，估计该校高三学生这项体育技能的平均成绩；

(2)如果所抽取的100名学生中成绩分布在区间[60,70)内的有8人，估计该校高三学生这项体育技能成绩低于60分的人数．

23．如图，在三棱锥P −ABC 中，平面PAC ⊥平面ABC,AC ⊥BC

(1)求证：PA ⊥ BC ；

(2)若PA =PC =BC =2,∠BAC =30∘，求三棱锥P −ABC 的体积. 24．已知函数f (x )=

e x −e −x

2

,g (x )=

e x +e −x

2

． (1)从f (x ),g (x )中选择一个函数，判断其奇偶性，并证明你的结论； (2)若函数ℎ(x )=f (x )−ag (x )有零点，求实数a 的取值范围．

25．已知圆C 过点A (1,2),B (2,1)，且圆心C 在直线y =−x 上．P 是圆C 外的点，过点P 的直线l 交圆C 于M,N 两点． (1)求圆C 的方程；

(2)若点P 的坐标为(0,−3)，求证：无论l 的位置如何变化|PM |⋅|PN |恒为定值； (3)对于（2）中的定值，使|PM |⋅|PN |恒为该定值的点P 是否唯一？若唯一，请给予证明；若不唯一，写出满足条件的点P 的集合（不必证明）．

1．A

【解析】

【分析】

根据集合交集的定义即可求解.

【详解】

解：因为集合A={−2,0,1},B={0,1,2}，

所以A∩B={0,1}，

故选：A.

2．D

【解析】

【分析】

由几何体的三视图可得该几何体为圆柱，从而即可得答案.

【详解】

解：由正视图和侧视图可知，该几何体不可能是球、圆锥、圆台，故选项A、B、C错误，

因此该几何体为圆柱，即选项D正确，

故选：D.

3．B

【解析】

【分析】

根据直线斜率等于倾斜角的正切值，从而求出倾斜角θ

【详解】

因为：y=√3x+1，所以：k=√3

由于：k=tanθ，则tanθ=√3，即：θ=π

3

故选：B.

【点睛】

本题考查直线斜率与倾斜角的关系

4．B

【解析】

【分析】

根据真数大于零，即可解出．

【详解】

由3x−2>0解得：x>2

3

．

故选：B．

5．C

【解析】

【分析】

分别求出点数向上的结果数和向上的点数为奇数的结果数，由古典概率可得答案.

【详解】

随机投掷一枚质地均匀的骰子，点数向上的结果有6种，其中向上的点数为奇数的有3种

所以出现向上的点数为奇数的概率是3

6=1

2

故选：C

6．B

【解析】

【分析】

根据等差数列的性质直接计算即可.

【详解】

由等差数列的性质可知：a5=a1+4d=4+4×2=12；故选：B.

7．C

【解析】

【分析】

根据分段函数的定义即可求解.

【详解】

解：因为f(x)={x2−2,x⩾0

2x,x<0

，所以f(1)=12−2=−1，

所以f(f (1))=f (−1)=2−1=1

2， 故选：C. 8．A 【解析】 【分析】

根据三角函数值在各象限的符号以及平方关系即可解出． 【详解】

因为α为第一象限角，sin α=3

5，所以cosα=√1−sin 2α=4

5． 故选：A ． 9．B 【解析】 【分析】

根据函数零点存在定理即可判断. 【详解】

解：因为f (x )=2x +3x −4为R 上的增函数，又f (0)=20+3×0−4=−3<0，f (1)=21+3×1−4=1>0，

所以函数f (x )=2x +3x −4的零点所在的区间是(0,1)， 故选：B. 10．B 【解析】 【分析】

根据正弦型函数的最小正周期公式即可得出答案. 【详解】

解：由函数y =sin2x ， 则最小正周期T =2π2

=π.

故选：B. 11．A 【解析】

【分析】

对A ：由平面ABB 1A 1 ∥平面CC 1D 1D ，然后根据面面平行的性质定理即可判断； 对B ：若A 1E ⊥平面BCC 1B 1，则A 1E ⊥ BB 1，这与A 1E 和BB 1不垂直相矛盾，从而即可判断；

对C 、D ：以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，由A 1E ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑与D 1F ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑不是共线向量，且

A 1E ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅D 1F ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=b 2>0，从而即可判断.

【详解】

解：对A ：由长方体的性质有平面ABB 1A 1 ∥平面CC 1D 1D ，又A 1E ⊂平面ABB 1A 1，所以A 1E ∥平面CC 1D 1D ，故选项A 正确；

对B ：因为E 为棱BB 1的中点，且A 1B 1⊥BB 1，所以A 1E 与BB 1不垂直，

所以若A 1E ⊥平面BCC 1B 1，则A 1E ⊥ BB 1，这与A 1E 和BB 1不垂直相矛盾，故选项B 错误；

对C 、D ：以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

设DA =a,DC =b,DD 1=c ，则A 1=(a,0,c )，E (a,b,c

2)，D 1(0,0,c )，F (a

2,b,c)，

所以A 1E ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(0,b,−c 2)，D 1F ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(a 2,b,0)，

因为A 1E ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑与D 1F ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑不是共线向量，且A 1E ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅D 1F ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=b 2>0，

所以A 1E 与D 1F 不平行，且A 1E 与D 1F 不垂直，故选项C 、D 错误. 故选：A. 12．A 【解析】 【分析】

x

的奇偶性以及值域即可解出．【详解】

因为y=f(x)=x+1

x 的定义域为{x|x≠0}，且f(−x)=−f(x)，所以函数y=x+1

x

为

奇函数，其图象关于原点对称，所以排除C；又当x>0时，y=x+1

x

≥2，当且仅当x=1时取等号，所以排除B，D．

故选：A．

13．C

【解析】

【分析】

由三角函数图象变换求解

【详解】

要得到函数y=sin(x+π

3

)+1，

需把函数y=sin x的向左平移π

3

个单位长度，再向上平移1个单位长度，

故选：C

14．D

【解析】

【分析】

运用对数的性质直接判断即可.

【详解】

a=log34>1，03

=−log23<0，

∴a>b>c；

故选：D.

15．D

【解析】

【分析】

在平面向量中能作为基底的充分必要条件是一组不平行的非零向量，按照这个条件逐项分析即可.【详解】

对于A，e1⃑⃑⃑⃑=(0,0)是零向量，不可以；

对于B，e1⃑⃑⃑⃑=−e2⃑⃑⃑⃑，是平行向量，不可以；

对于C，e1⃑⃑⃑⃑=1

2

e2⃑⃑⃑⃑，是平行向量，不可以；

对于D，不存在实数λ使得e1⃑⃑⃑⃑=λe2⃑⃑⃑⃑成立，是一组不平行的非零向量，可以；故选：D.

16．15

【解析】

【分析】

按照等比数列写出通项公式和求和公式计算即可.

【详解】

∵a n+1=2a n，∴{a n}是首项为1，公比为2的等比数列，

S4=a1×1−q4

1−q =1×1−24

1−2

=15

故答案为15.

17．√2

【解析】

【分析】

直接运用正弦定理计算即可. 【详解】

由正弦定理得：a

sinA =b

sinB

,∴b=a×sinB

sinA

=√3×sin45°

sin60°

=√3×

√2

2

√3

2

=√2；

故答案为：√2.

18．π

3

##60°

【解析】

【分析】

直接用数量积的定义求夹角即可. 【详解】依题意，cos⟨a,⃑⃑⃑⃑b⃑⃑⟩=a⃑⃑·b⃑⃑

|a⃑⃑|·|b⃑⃑|=10

5×4

=1

2

，∴a⃑与b⃑⃑的夹角为π

3

；

故答案为：π

3

.

19．1

【解析】

【分析】

根据回归方程y=0.67x+55即可求解.

【详解】

解：因为回归方程y=0.67x+55，

所以当x=200时，y=0.67×200+55=1，

所以可预测加工200个零件所用的时间约为1分钟，

故答案为：1.

20．3

【解析】

【分析】

写出底边长和高的关系式，运用基本不等式运算即可.

【详解】

由题意，设底面另一边长为x，高为y，则有xy=9，

总造价为S=200x+2×100y+2×100xy=200x+200y+1800≥2×200√xy+1800=3000，当且仅当x=y=3时等号成立，

故答案为：3.

21．(1)4

5

(2)-7

【解析】

【分析】

先求出sinα和tanα，在根据诱导公式和两角和正切公式计算即可.

(1)

由题意，sinα=4

5,tanα=

4

5

3

5

=4

3

，∴sin(π−α)=sinα=4

5

；

(2)

tan(π

4+α)=tan

π

4

+tanα

1−tanπ

4

tanα

=1+

4

3

1−4

3

=−7；

综上，sin(π−α)=4

5,tan(π

4

+α)=−7.

22．(1)80.4

(2)20

【解析】

【分析】

（1）根据直方图所给出的数据求平均数即可；

（2）根据直方图面积等于1，求出a，再将频率作为概率计算即可.

(1)

由直方图可知：平均成绩x=45×0.02+55×0.02+65×0.06+75×0.4+

85×0.3+95×0.2=80.4，

即平均成绩为80.4；

(2)

由于在[60,70)内有8人，∴b=0.008，∴a=0.001，

低于60分的人数约为2×0.001×10×1000=20人；

综上，平均成绩约为80.4分，低于60分的人数约为20人.

23．(1)证明见解析

(2)2√3

3

【解析】

【分析】

（1）根据面面垂直的性质定理可得BC⊥平面PAC，从而即可得证PA⊥BC；

（2）由三棱锥P−ABC的体积V P−ABC=1

3

S△APC×BC即可求解.

(1)

证明：因为平面PAC⊥平面ABC,AC⊥BC，平面PAC∩平面ABC=AC，BC⊂平面ABC，

所以BC⊥平面PAC，又PA⊂平面PAC，

所以PA⊥BC；

(2)

解：由（1）知BC ⊥平面PAC ，所以BC ⊥AC ， 又BC =2,∠BAC =30∘，所以AC =2√3， 因为PA =PC =2，所以cos∠APC =

22+22−(2√3)

2

2×2×2=−12，

所以sin∠APC =√1−cos 2∠APC =√3

2，

所以S △APC =1

2×2×2×√3

2

=√3，

所以三棱锥P −ABC 的体积V P−ABC =1

3S △APC ×BC =1

3

×√3×2=

2√3

3

. 24．(1)若选f (x )，则f (x )为奇函数；若选g (x )，则g (x )为偶函数. (2)(−1,1) 【解析】 【分析】

（1）根据函数奇偶性的定义即可求解； （2）将原问题等价转化为方程a =1−2e

2x +1有解，求出y =1−

2e

2x +1

的值域即可得答

案. (1)

解：若选f (x )，则f (x )为奇函数，证明如下：因为f (−x )=e −x −e

x

2

=−f (x )且定义域为

R ，所以f (x )为奇函数；

若选g (x )，则g (x )为偶函数，证明如下：因为g (−x )=e

−x +e

x

2

=g (x )且定义域为R ，

所以g (x )为偶函数； (2)

解：因为函数ℎ(x )=f (x )−ag (x )有零点，

所以方程e x −e −x 2

−a ×

e x +e −x 2

=0，即a =

e x −e −x e x +e

−x =

e 2x −1e

2x +1

=1−

2e

2x +1

有解， 因为e 2x >0，所以e 2x +1>1，0<1e

2x +1<1，所以−1<1−

2e

2x +1

<1，

所以−1(3)不唯一，P (a,b )(a,b ∈R ) .

【解析】 【分析】

（1）联立AB 垂直平分线方程与y =-x ，求得圆心和半径即可；

（2）设过P 点的直线方程，与圆C 方程联立，按照两点距离公式计算即可； （3）设点P 的坐标和过点P 的直线方程，与圆C 的方程联立，再用两点距离公式计算即可. (1)

B 两点的中点为(32,3

2) ，斜率为k AB =1−2

2−1=−1 ，∴ AB 垂直平分线的斜率为1，

垂直平分线的方程为：y =x ，

联立方程{y =x

y =−x ，解得x =0，y =0，∴ 圆心为（0,0），半径为r =√12+22=√5 ， 圆C 的方程为：x 2+y 2=5 ； (2) 如图：

若MN 斜率不存在，则|PN |=3−√5 ，|PM |=3+√5 ，|PM |·|PN |=4 ； 若MN 斜率存在，设为k ，则MN 直线方程为y =kx -3，联立方程：{

x 2+y 2=5y =kx −3

， 解得：(1+k 2)x 2−6kx +4=0 ，

设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2) ，则x 1+x 2=6k

1+k 2,x 1·x 2=4

1+k 2 ， |PM |=√x 1

2

+(y 1+3)2=√(1+k 2)x 1

2,|PN |

=√(1+k 2)x 2

2 ，

|PM |·|PN |=(1+k 2)|x 1x 2|=4 ，

即不论MN 斜率是否存在|PM |·|PN |=4 ，为定值4； (3)

x=a

，

解得：y=±√5−a2，|PM|·|PN|=|√5−a2−b|·|−√5−a2−b|= |a2+b2−5|；

若MN斜率存在，设为k，则直线MN的方程为y=kx+(b−ak)，

联立方程：{

x2+y2=5

y=kx+(b−ak)

，解得：(1+k2)x2+2k(b−ak)x+(b−ak)2−5=

0，

x1+x2=−2k(b−ak)

1+k2,x1·x2=(b−ak)2−5

1+k2

，

|PM|·|PN|=√(1+k2)(x1−a)2·√(1+k2)(x2−a)2=(1+k2)·|x1x2−

a(x1+x2)+a2|

=|a2+b2−5|，

即不论P点在何处，MN的斜率是否存在，|PM|·|PN|=|a2+b2−5|，为定值；综上，圆C的方程为x2+y2=5，|PM|·|PN|=4，P点不唯一，其集合为

P(a,b)(a,b∈R).