二次函数与相似习题

（1）求二次函数的解析式；

（2）在直线（）上有一点（点在第四象限），使得为顶点的三角形与以为顶点的三角形相似，求点坐标（用含的代数式表示）；

（3）在（2）成立的条件下，抛物线上是否存在一点，使得四边形为平行四边形？若存在，请求出的值及四边形的面积；若不存在，请说明理由．

【解析】本题考查二次函数关系式求法、坐标系中有关线段的长度与点的坐标之间的关系，探究三角形相似的条件和判定四边形为平行四边形的条件，涉及到一元二次方程的解法等综合性较强，稍有疏忽就容易失分。

【答案】(1)根据题意，得，解得  ∴。

  (2)当ΔEDB∽ΔAOC时，得或。

∵AO=1，CO=2，BD=m-2，当时，得，

∴。

∵点E在第四象限， ∴，当时，得，∴，∵点E在第四象限， ∴。

(3)假设抛物线上存在一点这P，使得四边形ABEF为平行四边形，则EF=AB=1，点F的横坐标为m-1,当点的坐标为时，点的坐标为，

∵点在抛物线的图象上， ∴，

∴， ∴∴(舍去)

∴， ∴。

当点的坐标为时，点的坐标为，

∵点F2在抛物线的图象 上， ∴

∴   ∴   ∴(舍去)， 

 ∴   ∴

　　点拨：（2）中讨论ΔEDB与ΔAOC相似的条件时，题目中未用相似符号连接应按不同的对应关系分情况讨论，否则易漏解。在由线段的长度求E点坐标时要注意点的坐标的符号。

（3）中在求是否存在点E问题，应先假设存在，列得关系式如果有解，并且符合题意就存在；如果无解或解得的结果不符合题意，就不存在。

2、(2009年安顺)如图，已知抛物线与交于A(－1，0)、E(3，0)两点，与轴交于点B(0，3)。

（1）求抛物线的解析式；

（2）设抛物线顶点为D，求四边形AEDB的面积；

（3）△AOB与△DBE是否相似？如果相似，请给以证明；如果不相似，请说明理由。

【关键词】待定系数法，相似三角形判定和性质

【答案】（1）∵抛物线与轴交于点（0，3），

∴设抛物线解析式为

根据题意，得，解得

∴抛物线的解析式为    (5′)

(2)(5′)由顶点坐标公式得顶点坐标为（1，4）

设对称轴与x轴的交点为F

∴四边形ABDE的面积=

=

==9    

（3）似

如图，BD=；∴BE=

DE= ∴, 

即： ,所以是直角三角形

∴,且,

∴∽