高中数学(导数)学案

一．导数的概念

1.函数y=f(x)，如果自变量x在x0处有增量Δx，那么函数y相应地有增量=f(x0+Δx)－f(x0)，比值叫做函数y=f(x)在x0到x0+Δx之间的平均变化率，即=。

2.如果当Δx→0时，有极限，我们就说函数y=f(x)在点x0处可导，并把这个极限叫做f(x)在点x0处的导数，记作f’(x0)或y’|。即f(x0)= =。

说明：

(1)函数f(x)在点x0处可导，是指Δx→0时，有极限。如果不存在极限，就说函数在点x0处不可导，或说无导数。

(2) Δx是自变量x在x0处的改变量，Δx≠0时，而Δy是函数值的改变量，可以是零。

二．导数的几何意义

1.函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义是曲线y=f(x)在点p(x0,f(x0))处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f(x)在点p(x0,f(x0))处的切线的斜率是f’(x0)。相应地，切线方程为y－y0= f’(x0)(x－x0)。

三．常见函数的导出公式．

（C 为常数）；      

.

四．两个函数的和、差、积的求导法则

法则1： 

法则2： 

法则3：.

5．复合函数的导数

复合函数的导数和函数的导数之间的关系为，即y对x的导数等于的导数与的导数的乘积。

六．导数的应用

1. 一般地，设函数y=f(x)在某个区间可导，如果f’(x)>0，则f(x)为增函数；如果f’(x)<0，则f(x)为减函数；如果在某区间内恒有f’(x)=0，则f(x)为常数；

2. 曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；

3. 一般地，在区间[a,b]上连续的函数f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值。

   ①求函数f(x)在(a,b)内的极值； 

   ②求函数f(x)在区间端点的值ƒ(a)、ƒ(b)； 

   ③将函数f(x)的各极值与ƒ(a)、ƒ(b)比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。

练习

1.导数的概念

例题：

1.求曲线y＝x2在点(2，4)处的切线方程·

2.利用导数的定义求函数y=在x=1处的导数。

3.已知函数f(x)=, 判断f(x)在x＝1处是否可导？

练习

1.已知函数 y＝2x3＋3，求 y’．已知曲线上一点P，P点横坐标为x＝1，求点P处的切线方程和法线方程．

2．几种常见函数的导数

0.八个基本求导公式

＝       ；  ＝        ；(n∈Q)  ＝      ，   ＝        ；

＝       ，  ＝       ；         ＝        ， ＝          

基础例题

1.利用导数定义和导数公式两种方法求曲线y=在点P(1，1)处的切线倾斜角及该点处的法线方程．

2.已知曲线y=上的一点P(0，0)，求过点P的切线方程. 

3.函数和、差、积、商的导数

导数的四则运算 ＝        ＝        ＝           ，＝        

习题    

① y=3x2＋xcosx；② y=； ③ y=xtanx－；④ y=.

2.曲线y＝x3＋x－1上求一点P，使过P点切线与直线y=4x－7平行．

.

3.证明：过抛物线y＝a(x－x1)(x－x2), (a≠0，x1＜x2)上两点A(x1，0)，B(x2，0)的切线倾斜角互补．

4.复合函数的导数、对数函数与指数函数的导数

设在点x处可导，在点处可导，则复合函数在点x处可导， 且.

练习

1．函数y＝(sinx2)是由函数y＝       ，u＝         ，v=        三个函数复合而成．

2．求下列函数的导数：

① y=(x2+2x)3                           ② y=

③ y=                       ④ y＝(sinx2) 

    y＝ln(x＋)                       y＝x3lig3x

    y=                              y=xn, (x∈R+, n∈R). 

3.若f(x)=x＋ln(x－5)，g(x)＝ln(x－1),解不等式f ’(x)>g’(x).

5．函数的单调性和极值

1．求函数y＝ex－x＋1的单调区间。

2.讨论函数y=x－2sinx在(0，2π)内的单调性.

3.已知函数f(x)＝(a＞0且a≠1)在定义域(0，1)上是减函数，求a的取值范围．

4.当x＞0时，证明不等式

5．设函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx，在x＝1与x＝－1处有极值，且f(1)＝－1，求f(x)表达式.