线性代数习题 行列式

1.利用对角线法则计算下列三阶行列式：

（1）；         （2）

（3）；          （4）.

解 （1）

=

=

（2）

（3）

（4）

2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：

（1）1  2  3  4；             （2）4  1  3  2；

（3）3  4  2  1；             （4）2  4  1  3；

（5）1  3  …    2  4 …  ；

（6）1  3  …        …  2.

解（1）逆序数为0

（2）逆序数为4：4  1，4  3，4  2，3  2

（3）逆序数为5：3  2，3  1，4  2，4  1,2 1

（4）逆序数为3：2  1，4  1，4  3

（5）逆序数为：

3  2                                                 1个

5  2，5  4                                           2个

7  2，7  4，7  6                                     3个

………………                                          …

2， 4， 6，…， 

    个

（6）逆序数为

3  2                                                 1个

5  2，5  4                                           2个

………………                                          …

2， 4， 6，…， 

   个

4  2                                                1个

6  2，6  4                                          2个

………………                                         …

2， 4， 6，…，        个

3.写出四阶行列式中含有因子的项.

解  由定义知，四阶行列式的一般项为

，其中为的逆序数．由于

已固定，只能形如□□，即1324或1342.对应的分别为

或

和为所求.

4.计算下列各行列式：

（1）；     （2）；

（3）； （4）

解

(1) 

=

==0

(2) 

 =0

(3) = 

==

(4) 

= 

==

5.证明:

(1) =;

(2) =;

(3);

(4) 

;

(5) .

证明

(1) 

(2) 

(3) 

(4) 

=

=

=

=

=

(5) 用数学归纳法证明

假设对于阶行列式命题成立，即

所以，对于阶行列式命题成立.

6.设阶行列式,把上下翻转、或逆时针旋转、或依

副对角线翻转，依次得

，  ，，

证明.

证明　

同理可证

7.计算下列各行列式（）：

(1),其中对角线上元素都是，未写出的元素都是0；

(2);

(3);

提示：利用范德蒙德行列式的结果．

(4);

(5);

(6),.

解

(1) 

()

(2)将第一行乘分别加到其余各行，得

再将各列都加到第一列上，得

(3)从第行开始，第行经过次相邻对换，换到第1行，第

行经次对换换到第2行…，经次行

交换，得

此行列式为范德蒙德行列式

(4) 

由此得递推公式：

即                

而                

得               

(5) 

=

(6) 

8.用克莱姆法则解下列方程组：

解　(1) 

(2) 

()

．

9. 有非零解？

解  ，

齐次线性方程组有非零解，则

即             

得             

不难验证，当该齐次线性方程组确有非零解.

10. 

有非零解？

解

齐次线性方程组有非零解，则

得             

  不难验证，当时，该齐次线性方程组确有非零解.