2017天津市大学数学竞赛试题解答(经管类)

e

n ++

+12121211n

n

n

n

e e e

e e e e

n n

n n n n

+++++≤++

+

≤++++

11

11110()lim

lim (1)(1)

t t t n

n n t n t n

e

e e

t e e e n e +=+→∞

→++

+--==--0(1)lim 1t t te e e t

→+-==-- 12lim

111n

n

n e n e e e

e n n

→∞++++

+==-+

两边夹法则，即得. ln(1)

1cos x x

+=- 2 .

2

111cos ),02

4

x x x -→（ 200sin ln(1)

4lim 4lim x x x x x

→→-+==2

(1)21

n n -+

++2

(1)2)(21

n x x x n -++

++()

0(n n f x o x n +++（）！

(50)0=49

f （）50！250!=49⋅）. =

⎰-0

()x

tf t dt

显然

()x

f t dt ⎰

为T 周期函数⇔

()=0T

f t dt ⎰

，故选（D ）.

2. 设函数()y f x =满足方程()

(1)

210()()'()()0n n n y

a x y a x y a x y a x -++++=，

若1)000'()=()=()0n f x f x f x -''==（，10000()(()V a x f x a x =+）, 则正确的是

（ ）

（A ）若n 为奇数且0V ≠，则0x 点为极值点; （B ）若n 为奇数且0V =，则0x 点为极小点； （C ）若n 为偶数且0V ≠，则0x 点为极值点; （D ）若n 为偶数且0V >，则0x 点为极小值点. 解:选（C ）.

由条件可得：当n 为偶数，且()

0()V 0n f x =-≠时，()f x 在0x 点取得极

值，特别地，()

0()V 0n f

x =-<，()f x 在0x 点取得极大值.

3. 设()f x 在[0,)+∞上连续，且单调非增，对0b a >>，则一定有（ ）

(A)00

()()b

a

a f x dx

b f x dx ≥⎰⎰

(C)0

()()b

a

a

f x dx b f x dx ≤⎰

⎰

(B) 00

()()b

a

a f x dx

b f x dx >⎰

⎰

(D) 0

()()b

a

a

f x dx b f x dx <⎰

⎰

解：选（C ）

设0

()(),0x

f x dx F x x x

=

>⎰.因为()f x 在[0,)+∞上连续且单调非增,则由积分中值定理，有0

2()()()()

()0,(0,)x

xf x f x dx

f x f F x x x

x

ξξ--'==

≤∈⎰. 当0b a >>时，()()F a F b ≥,即0

()()b

a a

f x dx b f x dx ≤⎰

⎰，故（C ）成立.

4. 设函数()f x 在闭区间[,]a b 上可导，且()()0f a f b <，'()'()0f a f b <，则

（A ）存在1(,),a b ξ∈ 使1()0f ξ=；不一定存在2(,),a b ξ∈使2'()0f ξ=. （B ）不一定存在1(,),a b ξ∈ 使1()0f ξ=；存在2(,),a b ξ∈使2'()0f ξ=. （C ）不存在1(,),a b ξ∈ 使1()0f ξ=；存在2(,),a b ξ∈使2'()0f ξ=. （D ）存在1(,),a b ξ∈ 使1()0f ξ=；存在2(,),a b ξ∈使2'()0f ξ=.

解：选（D ）

由连续函数的零点定理以及导函数的零点定理即得.

5. 设210

sin x I dx x

π

=

⎰

，220sin x

I dx x π

=⎰，则正确的是（ ）

(A) 121I I >> ； （B ）211I I >>；（C ）211I I >>；（D ）121I I >>. 解： 选（B ）

显然当(0,)2x π∈时，2sin x x x π<<, 2

sin 1x

x π<<，210sin 1x I dx x

π

=>⎰

sin ,x x <则22sin x x <，从而

sin sin x x

x x

<

，则221200sin sin x x I dx I dx x x

π

π

=<=⎰⎰，即有211I I >>，选（B)

三. (6分) 求极限0arcsin(arcsin )arctan(arctan )

lim

arcsin arctan x x x x x

→--.

解：331arcsin ()6x x x o x =+

+ ，331

arctan ()3x x x o x =-+ 331arcsin(arcsin )()3x x x o x =++， 332

arctan(arctan )()3

x x x o x =-+ （4分）

330033

arcsin(arcsin )arctan(arctan )()

lim lim 1arcsin arctan ()2

x x x x x o x x x x o x →→-+=-+=2 （6分） 四. (6分)求常数,a b 之值，使得函数

cos , 0()12(1)lim (1cos cos cos ),0n ax b x x f x x x n x

nx x n

n n n →∞+≤⎧

⎪

=-⎨++++->⎪⎩在=0x 处可导. 解：因为12(1)lim

(1cos cos cos

)n x x

n x

nx n n n

n

→∞-++++- 1

1001sin =lim cos()cos()n n i i x

x x tx dt x x n

n x -→∞=-=-=-∑⎰ (2分)

此时cos , 0

()sin ,0ax b x x f x x x x x

+≤⎧⎪

=⎨->⎪⎩.函数()f x 在0x =处连续，则有1b =.