2020年上海市静安区初三二模数学试卷(含答案和解析)

C

A

B

D

O 图2

A

B

C

D

E

........................优质文档..........................

静安区2019学年第二学期期中教学质量调研

九年级数学试卷2020.5

（满分150分，100分钟完成）

考生注意：

1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本调研卷上答题一律无效．

2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）

[每小题只有一个正确选项，在答题纸相应题号的选项上用2B 铅笔正确填涂]1．下列二次根式中，是最简二次根式的为

（A）a 3；

（B）3a ；

（C）a 27；

（D）

3

a

．2．一天有800秒，将这个数用科学记数法表示为

（A）2108⨯；（B）3104.86⨯；（C）410.8⨯；（D）5108.0⨯．3．如果关于x 的方程022=++m x x 有实数根，那么m 的取值范围是

（A）1（B）1≤m ；

（C）1>m ；

（D）1≥m ．

4．体育课上，甲同学练习双手头上前掷实心球，测得他5次投掷的成绩为：8，8.5，9.2，8.5，8.8（单位：米），

那么这组数据的平均数、中位数分别是（A）8.5，8.6；（B）8.5，8.5；

（C）8.6，9.2；

（D）8.6，8.5．

5．如图1，□ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，那么下列条件中，能判断□ABCD 是菱形的为

（A）AO =CO ；（B）AO =BO ；（C）∠AOB =∠BOC ；

（D）∠BAD =∠ABC ．

6．如图2，将△ABC 绕点A 逆时针旋转得到△ADE ，其中点B 、C 分别与点D 、E 对应，如果B 、D 、C 三点恰好在同一直线上，那么下列结论错误的是（A）∠ACB =∠AED ；（B）∠BAD =∠CAE ；（C）∠ADE =∠ACE ；

（D）∠DAC =∠CDE ．

二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）

[在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案]7．计算：=÷711a a ▲．8．因式分解：=

-92x ▲

．

120

100

人数图3

时间（小时）

0.501 1.5220

9．不等式组⎩

⎨

⎧<->+01,

23x x x 的解集是

▲．10．方程024=+⋅-x x 的根为▲

．

11．如果反比例函数x

k

y =

（k 是常数，0≠k ）的图像经过点（-5，-1），那么在这个函数图像所在的每个象限内，y 的值随x 的值增大而▲

（填“增大”或“减小”）．

12．在四张完全相同的卡片上，分别画有：正三角形、正八边形、圆和矩形．如果从中任意抽取1张卡片，那么这

张卡片上所画图形既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是

▲

．

13．为了解某区24000名初中生平均每天的体锻时间，随机调查了该

区300名初中生．图3是根据调查结果绘制成的频数分布直方图（每小组数据含最小值，不含最大值），由此可估计该区初中生平均每天的体锻时间不少于1.5小时的人数大约为

▲

人．

14．运输两批救援物资：第一批220吨，用4节火车皮和5辆货车正

好装完；第二批158吨，用3节火车皮和2辆货车正好装完．如果每节火车皮的运载量相同，每辆货车的运载量相同，那么一节火车皮和一辆货车共装救援物资

▲

吨．

15．如图4，在△ABC 中，点D 在边AB 上，AB =4AD ，设a AB =，

b AC =，那么向量DC 用向量a 、b 表示为

▲．

16．如图5，已知AB 是⊙O 的直径，弦CD 交AB 于点E ，∠CEA =30°，

OF ⊥CD ，垂足为点F ，DE =5，OF =1，那么CD =▲．

17．已知矩形ABCD ，对角线AC 与BD 相交于点O ，AB =6，BC =8，分别

以点O 、D 为圆心画圆，如果⊙O 与直线AD 相交、与直线CD 相离，且⊙D 与⊙O 内切，那么⊙D 的半径长r 的取值范围是

▲

．

18．如果一条直线把一个四边形分成两部分，这两部分图形的周长相等，那么这条直线称为这个四边形的“等分周

长线”．在直角梯形ABCD 中，AB //CD ，∠A =90°，DC =AD ，∠B 是锐角，12

5

cot =B ，AB =17．如果点E 在梯形的边上，CE 是梯形ABCD 的“等分周长线”，那么△BCE 的周长为

▲

．

三、解答题：（本大题共7题，满分78分）[将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上]19．（本题满分10分）

计算：

21

22

81

21

)21(12-+++--）（．20．（本题满分10分）

A

D

图5

B

C O F E 图4

A B

C

D

图7

0.8

x （吨）

10

O

y （万元）

20.3

图8

E

D

C

A

B

G

F

H

解方程：

11

2112=-++x x ．21．（本题满分10分，每小题满分5分）

已知：如图6，在Rt△ABC 中，∠ACB =90°，BC =12，3

2

cos =B ，D 、E 分别是AB 、BC 边上的中点，AE 与CD 相交于点G ．（1）求CG 的长；（2）求tan∠BAE 的值．

22．（本题满分10分，每小题满分5分）

疫情期间，甲厂欲购买某种无纺布生产口罩，A 、B 两家无纺布公司各自给出了该种无纺布的销售方案．A 公司方案：无纺布的价格y （万元）与其重量x （吨）是如图7所示的函数关系；

B 公司方案：无纺布不超过30吨时，每吨收费2万元；超过30吨时，超过的部分每吨收费1.9万元．（1）求图7所示的y 与x 的函数解析式；（不要求写出定义域）

（2）如果甲厂所需购买的无纺布是40吨，试通过计算说明选择哪家公司费用较少．

23.（本题满分12分，每小题满分6分）

已知：如图8，四边形ABCD 是平行四边形，延长BA 至点E ，使得AE=AB ，联结DE 、AC ．点F 在线段DE 上，联结BF ，分别交AC 、AD 于点G 、H ．

（1）求证：BG =GF ；

（2）如果AC =2AB ，点F 是DE 的中点，求证：BH GH AH

⋅=2

．

E

图6

C

B

A

D

G

图9

1

1O

x

y

G

图10

A B

D

C

E

F

24．（本题满分12分，第（1）小题满分4分，第（2）①小题满分4分，第（2）②小题满分4分）

在平面直角坐标系xOy 中（如图9），已知抛物线c bx x y ++-=2

2

1（其中b 、c 是常数）经过点A （-2，-2）与点B （0，4），顶点为M ．

（1）求该抛物线的表达式与点M 的坐标；

（2）平移这条抛物线，得到的新抛物线与y 轴交于点C （点C 在点B 的下方），且△BCM 的面积为3．新抛物线的对称轴l 经过点A ，直线l 与x 轴交于点D ．

①求点A 随抛物线平移后的对应点坐标；

②点E 、G 在新抛物线上，且关于直线l 对称，如果正方形DEFG 的顶点F 在第二象限内，求点F 的坐标．

25．（本题满分14分，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分4分，第（3）小题满分5分）

在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC =15，5

4

sin =

∠BAC ．点D 在边AB 上（不与点A 、B 重合），以AD 为半径的⊙A 与射线AC 相交于点E ，射线DE 与射线BC 相交于点F ，射线AF 与⊙A 交于点G ．

（1）如图10，设AD =x ，用x 的代数式表示DE 的长；（2）如果点E 是

的中点，求∠DFA 的余切值；

（3）如果△AFD 为直角三角形，求DE 的长．

静安区质量调研九年级数学试卷参及评分标准2020.5

一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）

1．A；

2．C ；

3．B；

4．D ；

5．C ；

6．D .

二．填空题：（本大题共12题，满分48分）7．4a ；8．)3)(3(+-x x ；9．11<<-x ；

10．x =4；11．减小；12．3

4；13．4800；14．54；15．b a +-4

1

；

16．10-17．98<18．42．

三、（本大题共7题,第19~22题每题10分,第23、24题每题12分,第25题14分,满分78分）19.解：原式=22)12(4223--++-）（·················································（8分）

=236-．············································································（2分）

20.解：1212-=+-x x ············································································（4分）

022=--x x ···············································································（2分）

解得11-=x ，22=x ········································································（2分）

经检验：11-=x 是增根，舍去；22=x 是原方程的根.························（1分）∴原方程的根是2=x ．·····································································（1分）

21.解：（1）在Rt△ABC 中，12

182

cos 3

BC AB B =

==.········································（1分）∵D 是边上的中点，∴1

92

CD AB ==.················································（1分）

又∵点E 是BC 边上的中点，∴点G 是△ABC 的重心．····························（1分）

∴22

963

3

CG CD ==

⨯=.·································································（2分）（2）∵点E 是BC 边上的中点，∴1

62

CE BE BC ===.···································（1分）

过点E 作EF ⊥AB ，垂足为F .

在Rt△BEF 中，BF =BE ·cos B =2

3

⨯

=，···········································（1分）

∴EF ===··············································（1分）

AF =AB -BF =18-4=14.·········································································（1分）

∴tan∠BAE =

EF AF =··························································（1分）22.解：（1）设一次函数的解析式为y=kx+b （k 、b 为常数，k ≠0）．····················（1分）

由一次函数的图像可知，其经过点（0,0.8）、（10,20.3），代入得

⎩

⎨

⎧=+=+.3.20108.00b k b ，

···············································································（2分）解得⎩⎨

⎧==.

8.095.1b k ，

·················································································（1分）

∴这个一次函数的解析式为y=1.95x+0.8．···········································（1分）

（2）如果在A 公司购买，所需的费用为：y=1.95×40+0.8=78.8万元；··············（2分）

如果在B 公司购买，所需的费用为：2×30+1.9×（40-30）=79万元；········（2分）∵78.8＜79，

∴在A 公司购买费用较少．·······································（1分）

23.证明：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，

∴AB =CD ，AB //CD ．·········································································（1分）∵AB =AE ，∴AE =CD ．·········································································（1分）∴四边形ACDE 是平行四边形．·····························································（1分）∴AC//DE ．·······················································································（1分）∴

1==AE

AB

GF BG ．··············································································（1分）∴BG =GF ．························································································（1分）（2）∵AB =AE ，∴BE =2AE ．∵AC =2AB ，∴BE =AC ．

∵四边形ACDE 是平行四边形，∴AC=DE ．

∴DE=BE ．························································································（1分）∵点F 是DE 的中点，∴DE=2EF ．

∴AE=EF ．·······················································································（1分）∵∠E =∠E ，∴△BEF ≌△DEA ．·····························································（1分）∴∠EBF =∠EDA ．···············································································（1分）∵AC //DE ，∴∠GAH =∠EDA ．

∴∠EBF =∠GAH ．

∵∠AHG=∠BHA ，∴△AHG ∽△BHA ．·······················································（1分）∴AH

GH BH AH =．∴BH GH AH ⋅=2．·········································································（1分）

24.解：（1）将A （-2，-2）、B （0，4）代入c bx x y ++-=22

1得，21(2)22200 4.b c c ⎧-⨯--+=-⎪⎨⎪++=⎩

，····························································（2分）解得⎩⎨⎧==.

42c b ，∴该抛物线的表达式为：4221

2++-=x x y ；········································（1分）

顶点M 的坐标是：（2，6）．··································································（1分）

（2）①∵平移后抛物线的对称轴经过点A （-2，-2），∴可设平移后的抛物线表达式为：k x y ++-=2)221（．·····························（1分）∴C （0，-2+k ）．∴32)]2(4[2

1221=⋅+--=⋅=∆k BC S BCM ，···········································（1分）解得k=3．∴3)22

12++-=x y （．······················································（1分）即原抛物线向左平移4个单位，向下平移3个单位可以得到新的抛物线．

∴点A 对应点的坐标为（-6，-5）．························································（1分）②设EG 与DF 的交点为H ．在正方形DEFG 中，EG ⊥DF ，EG =DF =2EH =2DH ．

∵点E 、G 是这条抛物线上的一对对称点，∴EG //x 轴．

∴DF ⊥x 轴，由此可设F （-2，2a ）．

∵点F 在第二象限内，∴a >0．∴EG =DF =2EH =2DH =2a ．

不妨设点E 在点G 的右侧，那么E （-2+a ，a ）．·······································（1分）将点E 代入3)221

2++-=x y （得：a a =+-32

12．···································（1分）解得171-=a ，172--=a （不合题意，舍去）．·······························（1分）∴F （-2，272-）．··········································································（1分）

25.解：（1）过点D 作DH ⊥AC ，垂足为H ．·····················································（1分）

在Rt△AEH 中，4sin 5

DH AD BAC x =⋅∠=，··········································（1分）

x DH AD AH 5

322=

-=．·································································（1分）在⊙A 中，AE =AD=x ，∴x x x AD AE EH 5253=-=-=·······························（1分）

∴5

DE x ==．···························································（1分）（2）∵4sin =5

BC BAC AB ∠=，∴可设BC =4k (k >0)，AB =5k ，则AC

k ．∵AC =15，∴3k =15，∴k =5．∴BC =20，AB =25．

∵点E 是 DG

的中点，由题意可知此时点E 在边AC 上，点F 在BC 的延长线上，∴∠FAC =∠BAC ．

∵∠FCA =∠BCA=90°，AC =AC ，∴△FCA ≌△BCA ．∴FC =BC =20．················（1分）∵45tan 225

x DH AED EH x ∠===，又∵∠AED=∠FEC ，且∠AED 、∠FEC 都为锐角，∴tan∠FEC =2．∴2010tan 2

FC EC FEC ===∠．∴AE =AC -EC =20-10=5．·········（1分）过点A 作AM ⊥DE ，垂足为M

，则11522EM ED =

==∵4255sin 5255

x DH AED ED ∠==

，∴sin 5AM AE AED =⋅∠==．（1分）在Rt△EFC

中，EF =．

∴在Rt△AFM

中，11cot 2FM FE EM AFD AM AM +∠====．···········（1分）（3）当点E 在AC 上时，只有可能∠FAD=90°．

∵FC =CE ·tan∠FEC =2（15-x ）

，∴)EF x =-．

∴25351555

FD EF ED x x x =+=-+=-）．∵5cos 5

EH AED DH ∠==，又∵∠AED=∠ADE ，且∠AED 、∠ADE 都为锐角，

∴cos cos ADE AED ∠=∠=

∴cos5

AD

ADE

DF

∠===.·················································（1分）∴AD=x=

75

8

.∴

75

5584

DE x

==⨯=.·········································（1分）当点E在AC的延长线上时，只有可能∠AFD=90°，此时∠AFC=∠AEF.

∵∠AFC、∠AEF都为锐角，∴tan tan2

AEF AFC

∠=∠=.

∵CE=AE-AC=x-15，∴tan2(15)

CF CE AEF x

=⋅∠=-.································（1分）∴

15

tan2

2(15)

AC

AFC

CF x

∠===

-

.··························································（1分）∴AD=x=

75

4

.∴

75

5542

DE x

==⨯=·········································（1分）综上所述，△AFD为直角三角形时，DE

的长为

4

或

2.