相似三角形基础题

一、选择题（共8小题）

1、已知：，那么下列式子成立的是（　　）

    A、3x=2y        B、xy=6

    C、        D、

2、已知线段a=4，b=16，线段c是a、b的比例中项，那么c等于（　　）

    A、10        B、8

    C、﹣8        D、±8

3、已知线段AB=10cm，点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），则AC的长为（　　）

    A、        B、

    C、        D、

4、如图所示：△ABC中，DE∥BC，AD=5，BD=10，AE=3．则CE的值为（　　）

A、9        B、6      C、3        D、4

5、在▱ABCD中，点E为AD的中点，连接BE，交AC于点F，则AF：CF=（　　）

    A、1：2        B、1：3

    C、2：3        D、2：5

6、若△ABC∽△DEF，它们的面积比为4：1，则△ABC与△DEF的相似比为（　　）

    A、2：1        B、1：2

    C、4：1        D、1：4

7、如图，△ABC中，点D在线段BC上，且△ABC∽△DBA，

则下列结论一定正确的是（　　）

    A、AB2=BC•BD        B、AB2=AC•BD

    C、AB•AD=BD•BC        D、AB•AD=AD•CD

8、平面直角坐标中，已知点O（0，0），A（0，2），B（1，0），点P是反比例函数y=﹣图象上的一个动点，过点P作PQ⊥x轴，垂足为Q．若以点O、P、Q为顶点的三角形与△OAB相似，则相应的点P共有（　　）

    A、1个        B、2个

    C、3个        D、4个

二、填空题（共5小题）

9、△ABC与△DEF的相似比为3：4，则△ABC与△DEF的周长比为　_________　．

10、已知△ABC∽△A'B'C'，且S△ABC：S△A'B''C'=16：9，若AB=2，则A'B'=　_________　．

11、在△ABC中，AB=8，AC=6，在△DEF中，DE=4，DF=3，要使△ABC与△DEF相似，则需添加的一个条件是　_________　（写出一种情况即可）．

12、如图，要使△ADB∽△ABC，还需要增添的条件是　_________　（写出一个即可）．                                             

13、如图所示，某班上体育课，甲、乙两名同学分别站在C、D的位置时，乙的影子恰好在甲的影子里边，已知甲身高1.8米，乙身高1.5米，甲的影长是6米，则甲、乙同学相距　_________　米．

三、解答题（共4小题）

14、如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC．

15、如图，四边形ABCD是矩形，直线l垂直平分线段AC，垂足为O，直线l分别与线段AD、CB的延长线交于点E、F．

（1）△ABC与△FOA相似吗？为什么？

（2）试判定四边形AFCE的形状，并说明理由．

16、如图，在△ABC中，∠ABC=80°，∠BAC=40°，AB的垂直平分线分别与AC、AB交于点D、E．

（1）用圆规和直尺在图中作出AB的垂直平分线DE，并连接BD；

（2）证明：△ABC∽△BDC．

17、如图，在△ABC和△ADE中，∠BAD=∠CAE，∠ABC=∠ADE．

（1）写出图中两对相似三角形（不得添加字母和线）；

（2）请分别说明两对三角形相似的理由．

四、解答填空题（共4小题）

18、如图，AB=3AC，BD=3AE，又BD∥AC，点B，A，E在同一条直线上．

（1）求证：△ABD∽△CAE；

（2）如果AC=BD，AD=2BD，设BD=a，则BC=　_________　．

19、如图所示，Rt△ABC中，已知∠BAC=90°，AB=AC=2，点D在BC上运动（不能到达点B，C），过点D作∠ADE=45°，DE交AC于点E．

（1）则△ABD　_________　△DCE；

（2）当△ADE是等腰三角形时，则AE的长为　_________　．

20、有一棵松树在某一时刻的影子如图所示，小凡站在A处发现他的影子顶端恰好与树的影子顶端重合．

（1）请你在图中表示出小凡的身高（用线段表示）；

（2）在上题的情景中，测得小凡的影长AB是2m，他与树之间的距离AC是4m，若小凡的身高为1.6m，则树高约是　_________　m．

21、如图所示，已知∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，CE与AB相交于F．

（1）求证：△CEB≌△ADC；

（2）若AD=9cm，DE=6cm，则BE=　_________　cm，EF=　_________　cm．

答案与评分标准

一、选择题（共8小题）

1、（2000•金华）已知：，那么下列式子成立的是（　　）

    A、3x=2y        B、xy=6

    C、        D、

考点：比例的性质。

专题：计算题。

分析：根据比例的基本性质逐项判断．

故选D．

点评：熟练掌握比例的性质．

2、（2002•广西）已知线段a=4，b=16，线段c是a、b的比例中项，那么c等于（　　）

    A、10        B、8

    C、﹣8        D、±8

考点：比例线段。

专题：计算题。

分析：根据线段比例中项的概念，a：b=b：c，可得c2=ab=，故c的值可求．

故选B．

点评：考查了比例中项的概念．注意线段不能是负数．

3、（2011•雅安）已知线段AB=10cm，点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），则AC的长为（　　）

    A、        B、

    C、        D、

考点：黄金分割。

专题：计算题。

分析：根据黄金分割的定义得到AC=AB，把AB=10cm代入计算即可．

解答：解：∵点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），

∴AC=AB，

而AB=10cm，

∴AC=×10=（5﹣5）cm．

故选C．

点评：本题考查了黄金分割的定义：线段上一点把线段分为较长线段和较短，若较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，即较长线段是整个线段的倍，则这个点叫这条线段的黄金分割点．

4、（2011•怀化）如图所示：△ABC中，DE∥BC，AD=5，BD=10，AE=3．则CE的值为（　　）

    A、9        B、6

    C、3        D、4

考点：平行线分线段成比例。

分析：由DE∥BC，用平行线分线段成比例定理即可得到，又由AD=5，BD=10，AE=3，代入即可求得答案．

解答：解：∵DE∥BC，

∴，

∵AD=5，BD=10，AE=3，

∴，

∴CE=6．

故选B．

点评：此题考查了平行线分线段成比例定理．解题的关键是数形结合思想的应用．

5、（2011•威海）在▱ABCD中，点E为AD的中点，连接BE，交AC于点F，则AF：CF=（　　）

    A、1：2        B、1：3

    C、2：3        D、2：5

考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质。

专题：证明题。

分析：根据四边形ABCD是平行四边，求证△AEF∽△△BCF，然后利用其对应边成比例即可求得答案．

解答：解：∵四边形ABCD是平行四边，

∴△AEF∽△△BCF，

∴=，

∵点E为AD的中点，

∴==，

故选A．

点评：此题主要考查学生对相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质等知识点，难度不大，属于基础题．

6、（2011•潼南县）若△ABC∽△DEF，它们的面积比为4：1，则△ABC与△DEF的相似比为（　　）

    A、2：1        B、1：2

    C、4：1        D、1：4

考点：相似三角形的性质。

分析：由△ABC∽△DEF与它们的面积比为4：1，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可求得△ABC与△DEF的相似比．

解答：解：∵△ABC∽△DEF，它们的面积比为4：1，

∴△ABC与△DEF的相似比为2：1．

故选A．

点评：本题考查了相似三角形性质．注意相似三角形面积的比等于相似比的平方．

7、（2010•烟台）如图，△ABC中，点D在线段BC上，且△ABC∽△DBA，则下列结论一定正确的是（　　）

    A、AB2=BC•BD        B、AB2=AC•BD

    C、AB•AD=BD•BC        D、AB•AD=AD•CD

考点：相似三角形的性质。

分析：可根据相似三角形的对应边成比例进行判断，要注意相似三角形的对应边和对应角．

解答：解：∵△ABC∽△DBA，

∴；

∴AB2=BC•BD，AB•AD=BD•AC；

故选A．

点评：此题主要考查的是相似三角形的性质，正确的判断出相似三角形的对应边和对应角是解答此题的关键．

8、（2011•徐州）平面直角坐标中，已知点O（0，0），A（0，2），B（1，0），点P是反比例函数y=﹣图象上的一个动点，过点P作PQ⊥x轴，垂足为Q．若以点O、P、Q为顶点的三角形与△OAB相似，则相应的点P共有（　　）

    A、1个        B、2个

    C、3个        D、4个

考点：相似三角形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征。

分析：可以分别从△PQO∽△AOB与△PQO∽△BOA去分析，首先设点P（x，y），根据相似三角形的对应边成比例与反比例函数的解析式，联立可得方程组，解方程组即可求得点P的坐标，即可求得答案．

解答：解：∵点P是反比例函数y=﹣图象上，

∴设点P（x，y），

若△PQO∽△AOB，

则，

即，

∵xy=﹣1，

∴x=±，

∴点P为（，﹣）或（﹣，）；

同理，当△PQO∽△BOA时，

求得P（﹣，）或（，﹣）；

故相应的点P共有4个．

故选D．

点评：此题考查了相似三角形的性质与反比例函数的性质．注意数形结合思想与方程思想的应用是解此题的关键．

二、填空题（共5小题）

9、（2010•潼南县）△ABC与△DEF的相似比为3：4，则△ABC与△DEF的周长比为　3：4　．

考点：相似三角形的性质。

分析：根据相似三角形的周长比等于相似比，即可得出结果．

解答：解：∵△ABC∽△DEF，且相似比为3：4，

又∵相似三角形的周长比等于相似比，

∴它们的周长比为3：4．

点评：此题主要考查的是相似三角形的性质：相似三角形的周长比等于相似比．

10、（2010•宁洱县）已知△ABC∽△A'B'C'，且S△ABC：S△A'B''C'=16：9，若AB=2，则A'B'=　1.5　．

考点：相似三角形的性质。

分析：已知两个相似三角形的面积比，由相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求出AB、A′B′的比例关系，AB的长已知，由此得解．

解答：解：∵△ABC∽△A'B'C'，且S△ABC：S△A'B''C'=16：9，

∴AB：A′B′=4：3，

∵AB=2，

∴A′B′=1.5．

点评：此题主要考查的是相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，对应边的比等于相似比．

11、（2011•张家界）在△ABC中，AB=8，AC=6，在△DEF中，DE=4，DF=3，要使△ABC与△DEF相似，则需添加的一个条件是　BC：EF=2：1　（写出一种情况即可）．

考点：相似三角形的判定。

专题：开放型。

分析：因为两三角形三边对应成比例，那么这两个三角形就相似，从题目知道有两组个对应边的比为2：1，所以第三组也满足这个比例即可．

解答：解：则需添加的一个条件是：BC：EF=2：1．

∵在△ABC中，AB=8，AC=6，在△DEF中，DE=4，DF=3，

∴AB：DE=2：1，AC：DF=2：1，

∵BC：EF=2：1．

∴△ABC∽△DEF．

故答案为：BC：EF=2：1．

点评：本题考查相似三角形的判定定理，关键知道两三角形三边对应成比例的话，两三角形相似．

12、（2010•永州）如图，要使△ADB∽△ABC，还需要增添的条件是　此题答案不唯一：如∠ADB=∠ACB或∠ADB=∠ABC或　（写出一个即可）．

考点：相似三角形的判定。

专题：开放型。

分析：根据相似三角形的判定定理（1）两角对应相等两三角形相似，（2）两边对应成比例且夹角相等两三角形相似，（3）三边对应成比例两三角形相似．此题有个公共角∠A，所以应该应用（1），（2）两个判定方法，可补充∠ABD=∠ACB或∠ADB=∠ABC或．

解答：解：此题答案不唯一：

∵∠A=∠A，

∴可以添加：∠ABD=∠ACB或∠ADB=∠ABC或．

点评：此题考查了相似三角形的判定．此题属于开放题，答案不唯一．解题的关键是熟练应用相似三角形的判定定理．

13、（2011•昭通）如图所示，某班上体育课，甲、乙两名同学分别站在C、D的位置时，乙的影子恰好在甲的影子里边，已知甲身高1.8米，乙身高1.5米，甲的影长是6米，则甲、乙同学相距　1　米．

考点：相似三角形的应用。

专题：应用题。

分析：根据甲的身高与影长构成的三角形与乙的身高和影长构成的三角形相似，列出比例式解答．

解答：解：设两个同学相距x米，

∵△ADE∽ACB，

∴，

∴，

解得：x=1．

故答案为1．

点评：本题考查了相似三角形的应用，根据身高与影长的比例不变，得出三角形相似，运用相似比即可解答．

三、解答题（共4小题）

14、（2009•湘西州）如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC．

考点：相似三角形的判定；平行线的性质。

专题：证明题。

分析：根据平行线的性质可知∠AED=∠C，∠A=∠FEC，根据相似三角形的判定定理可知△ADE∽△EFC．

解答：证明：∵DE∥BC，

∴DE∥FC，

∴∠AED=∠C．

又∵EF∥AB，

∴EF∥AD，

∴∠A=∠FEC．

∴△ADE∽△EFC．

点评：本题考查的是平行线的性质及相似三角形的判定定理．

15、（2011•泰州）如图，四边形ABCD是矩形，直线l垂直平分线段AC，垂足为O，直线l分别与线段AD、CB的延长线交于点E、F．

（1）△ABC与△FOA相似吗？为什么？

（2）试判定四边形AFCE的形状，并说明理由．

考点：相似三角形的判定；线段垂直平分线的性质；菱形的判定；矩形的性质。

专题：证明题；综合题。

分析：（1）根据角平分线的定义，同角的余角相等可知∠AFO=∠CAB，根据垂直的定义，矩形的性质可知∠ABC=∠FOA，由相似三角形的判定可证△ABC与△FOA相似；

（2）先证明四边形AFCE是平行四边形，再根据对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形作出判断．

解答：解：（1）∵直线l垂直平分线段AC，

∴∠AFO=∠CFO，

∵∠CFO+∠FCO=∠CAB+∠FCO=90°，

∴∠AFO=∠CAB，

∵∠AOF=∠CBA=90°，

∴△ABC∽△FOA．

（2）∵直线l垂直平分线段AC，

∴AF=CF，

可证△AOF≌△AOE，

∴AE=CF，FO=EO．

∵四边形ABCD是矩形，

∴四边形AFCE是平行四边形，

∴四边形AFCE是菱形．

点评：考查了线段垂直平分线的性质，相似三角形的判定，矩形的性质，菱形的判定，综合性较强，有一定的难度．

16、（2011•来宾）如图，在△ABC中，∠ABC=80°，∠BAC=40°，AB的垂直平分线分别与AC、AB交于点D、E．

（1）用圆规和直尺在图中作出AB的垂直平分线DE，并连接BD；

（2）证明：△ABC∽△BDC．

考点：相似三角形的判定；线段垂直平分线的性质；作图—基本作图。

专题：作图题；证明题。

分析：（1）分别以A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交于两点，过两点作直线，即为AB的垂直平分线；

（2）由线段垂直平分线的性质，得DA=DB，则∠ABD=∠BAC=40°，从而求得∠CBD=40°，即可证出△ABC∽△BDC．

解答：解：（1）

（2）∵DE垂直平分AB，

∴DA=DB，

∵∠ABC=80°，∠BAC=40°，

∴∠ABD=∠BAC=40°，

∴∠CBD=40°，

∴△ABC∽△BDC．

点评：本题考查了相似三角形的判定和性质、线段的垂直平分线的性质和作法，基本作图是难点．

17、（2010•滨州）如图，在△ABC和△ADE中，∠BAD=∠CAE，∠ABC=∠ADE．

（1）写出图中两对相似三角形（不得添加字母和线）；

（2）请分别说明两对三角形相似的理由．

考点：相似三角形的判定。

专题：证明题。

分析：（1）△ABC∽△ADE，△ABD∽△ACE；

（2）∠BAD=∠CAE，在此等式两边各加∠DAC，可证∠BAC=∠DAE，再结合已知中的∠ABC=∠ADE，可证△ABC∽△ADE；利用△ABC∽△ADE，可得AB：AD=AC：AE，再结合∠BAD=∠CAE，也可证△BAD∽△CAE．

解答：解：（1）△ABC∽△ADE，△ABD∽△ACE（2分）

（2）①证△ABC∽△ADE，

∵∠BAD=∠CAE，

∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC，

即∠BAC=∠DAE．（4分）

又∵∠ABC=∠ADE，

∴△ABC∽△ADE．（5分）

②证△ABD∽△ACE，

∵△ABC∽△ADE，

∴．（7分）

又∵∠BAD=∠CAE，

∴△ABD∽△ACE．（8分）

点评：本题利用了等量加等量和相等、相似三角形的判定和性质．

四、解答填空题（共4小题）

18、（2010•杭州）如图，AB=3AC，BD=3AE，又BD∥AC，点B，A，E在同一条直线上．

（1）求证：△ABD∽△CAE；

（2）如果AC=BD，AD=2BD，设BD=a，则BC=　　．

考点：相似三角形的判定；勾股定理。

分析：（1）由BD∥AC，得∠EAC=∠B；根据已知条件，易证得AB：AC和BD：AE的值相等，由此可根据SAS判定两个三角形相似．

（2）首先根据已知条件表示出AB、AD、AC的值，进而可由勾股定理判定∠D=∠E=90°；根据（1）得出的相似三角形的相似比，可表示出EC、AE的长，进而可在Rt△BEC中，根据勾股定理求出BC的长．

解答：解：（1）∵BD∥AC，点B，A，E在同一条直线上，

∴∠DBA=∠CAE，

又∵==3，∴△ABD∽△CAE；（4分）

（2）∵AB=3AC=3BD，AD=2BD，

∴AD2+BD2=8BD2+BD2=9BD2=AB2，

∴∠D=90°，

由（1）得∠E=∠D=90°，

∵AE=BD，EC=AD=BD，AB=3BD，

∴在Rt△BCE中，BC2=（AB+AE）2+EC2

=（3BD+BD）2+（BD）2=BD2=12a2，

∴BC=2a．（6分）

点评：此题主要考查了相似三角形的判定和性质，以及勾股定理的应用．能够由勾股定理判断出△ABD和△AEC是直角三角形，是解答（2）题的关键．

19、如图所示，Rt△ABC中，已知∠BAC=90°，AB=AC=2，点D在BC上运动（不能到达点B，C），过点D作∠ADE=45°，DE交AC于点E．

（1）则△ABD　∽　△DCE；

（2）当△ADE是等腰三角形时，则AE的长为　1或4﹣2

　．

考点：相似三角形的判定；等腰三角形的性质。

分析：（1）首先根据等腰直角三角形的两个底角都是45°，得到一对对应角相等；再根据三角形的外角的性质得到∠ADE+∠EDC=∠B+∠BAD，从而证明∠EDC=∠BAD，根据两个角对应相等，得到两个三角形相似；

（2）根据等腰三角形的定义，此题要分三种情况进行分析讨论．根据等腰三角形的性质进行计算．

解答：（1）证明：Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2

∴∠B=∠C=45°

∵∠ADE=∠B+∠BAD，∠ADC=∠ADE+∠EDC

∴∠ADE+∠EDC=∠B+∠BAD

又∵∠ADE=45°

∴45°+∠EDC=45°+∠BAD

∴∠EDC=∠BAD

∴△ABD∽△DCE

（2）讨论：①若AD=AE时，∠DAE=90°，此时D点与点B重合，不合题意．

②若AD=DE时，△ABD与△DCE的相似比为1，此时△ABD≌△DCE，

于是AB=AD=2，BC=2，AE=AC﹣EC=2﹣BD=2﹣（2﹣2）=4﹣2

③若AE=DE，此时∠DAE=∠ADE=45°，

如下图所示易知AD⊥BC，DE⊥AC，且AD=DC．由等腰三角形的三线合一可知：AE=CE=AC=1．

点评：熟练运用等腰直角三角形的性质，特别注意第二问要能够分情况进行讨论解题．

20、有一棵松树在某一时刻的影子如图所示，小凡站在A处发现他的影子顶端恰好与树的影子顶端重合．

（1）请你在图中表示出小凡的身高（用线段表示）；

（2）在上题的情景中，测得小凡的影长AB是2m，他与树之间的距离AC是4m，若小凡的身高为1.6m，则树高约是　4.8　m．

考点：相似三角形的应用。

专题：应用题。

分析：（1）连接树的顶端即BE，过A作BC的垂线交BE与D，则AD即为小凡的身高．

（2）因为小凡和树均和地面垂直，所以构成两个相似三角形，根据其对应边成比例即可解答．

解答：解：（1）如图，线段AD表示小凡的身高．

（2）设树高xm，则有，即，

解得x=4.8m，所以树高为4.8m．

点评：本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．

21、（2010•肇庆）如图所示，已知∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，CE与AB相交于F．

（1）求证：△CEB≌△ADC；

（2）若AD=9cm，DE=6cm，则BE=　3　cm，EF=　　cm．

考点：相似三角形的判定与性质；直角三角形全等的判定。

分析：（1）由同角的余角相等可得∠BCE=∠CAD，而BC=AC，∠E=∠CDA=90°，故有△CEB≌△ADC；

（2）由（1）知BE=DC，CE=AD，有CE=AD=9，DC=CE﹣DE==3，BE=DC=3，可证得△BFE∽△AFD，有故可求得EF的值．

解答：证明：（1）∵BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，

∴∠E=∠ADC=90°（1分）

∠BCE=90°﹣∠ACD，∠CAD=90°∠ACD，

∴∠BCE=∠CAD（3分）

在△BCE与△CAD中，

∠E=∠ADC，∠BCE=∠CAD，BC=AC

∴△CEB≌△ADC（4分）

解：（2）∵△CEB≌△ADC

∴BE=DC，CE=AD

又AD=9

∴CE=AD=9，DC=CE﹣DE=9﹣6=3，

∴BE=DC=3（cm）（5分）

∵∠E=∠ADF=90°，∠BFE=∠AFD，

∴△BFE∽△AFD（6分）

∴即有（7分）

解得：EF=（cm）（8分）

点评：本题考查了全等三角形的判定和性质．