二次根式题型知识总结(1)

一、本章知识内容归纳

1.概念：

①二次根式——形如        的式子；当    时有意义，当    时无意义；

②最简二次根式——根号中不含               和       的二次根式；

③同类二次根式——                                  的二次根式；

2.性质：①非负性;     ②;

③                        (字母从根号中开出来时要带绝对值

再根据具体情况判断是否需要讨论)

3.运算: 运算结果每一项都是最简二次根式，且无可合并的同类二次根式.

①乘法和积的算术平方根可互相转化:;

②除法和商的算术平方根可互相转化: 

③加减法：先化为最简二次根式，然后合并同类二次根式；

④混合运算：有理式中的运算顺序，运算律和乘法公式等仍然适用；

⑤乘法公式的推广：

二、本章常用方法归纳

方法1.开方

①偶数次方：；      ②奇数次方： 

方法2.分母有理化：

①概念：分母有理化就是通过                    使得              

其中                    叫做该分母的有理化因式；

②常用的有理化因式：

与、与、与互为有理化因式；

③分母有理化步骤：

先将二次根式尽量化简，找分母最简有理化因式；

将计算结果化为最简二次根式的形式。

方法3. 非0的二次根式的倒数

①的倒数：（a>0）;   ②的倒数：（a>0, b>0）;

③※因为                  ，

所以的倒数为                        ；

方法4. 利用“”外的因数化简“”

①；           ②；

三、本章典型题型归纳

（一）二次根式的概念和性质

1．x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？

（1）－；                              

（2）－；                            

（3）；                                

2．若x、y为实数，y＝＋＋3．则=                 

3．根据下列条件，求字母x的取值范围：

（1）；                 

（2）；                 

（3）＝1－x  ；                

（4）※＝1 ；                 

4．已知＋＋＝0．

则a=           , b=           , c=           .

5.已知，则=______________

6．在实数范围内因式分解：x4－4＝______________．

7．已知a,b,c为三角形的三边，

则=              

8.若最简二次根式与最简二次根式可以合并，则的取值为              

※9．已知a<0，化简二次根式=              

※10．把根号外的因式移到根号内，得                

（二）二次根式的运算

11．乘除法口算： 

（1）=      （2）=       （3）=          （4）=     

（5）=    （6）=      （7）=    （8）=

（9）=     （10）=      （11）=         （12）=

（13）=        （14）=  

（15）=

12. 计算：（能简算的要简算）

（1）．                     （2）＋(－1)3－2×

(3)                    (4) 

(5)                   （6)                                  

(7)       (8)）

(9)－―＋（a＞0，b＞0）   （10） 

※（11）       ※(12) 

13. 若的整数部分是a，小数部分是b，则      

14．在数轴上与表示的点的距离最近的整数点所表示的数是___________

15．若一个正方体的长为，宽为，高为，则它的体积为      .

※16．的关系是          

17．甲、乙两人对题目“化简并求值：，其中”有不同的解答：

甲的解答：，

乙的解答：。

谁的解答是错误的？为什么？

  ※18. 先观察下列分母有理化：， 从计算结果中找出规律，再利用这一规律计算下列式子的值:

19. 观察下列各式的特点：

，，，……

(1)请根据以上规律填空     

(2)请根据以上规律写出第个不等式，并证明你的结论.

※(3)计算下列算式：

    =

（三）二次根式的化简求值

20．若，求的值。 

21．若求的值。      

22．已知，求的值。

23.已知，，求下列各式的近似值(精确到0.01)：

(1)；       (2)；      (3).

（四）二次根式的比较大小

24.比较下列个数的大小

（1）3与（平方法）            （2）－5与－6（被开方数） 

（3）与（分母有理化）    

（4）－与－（倒数法）

(5)与（设参数比较）

 (6) 与（分子有理化）  （7）已知：是正数，求证： 

（五）二次根式的应用

25．在交通事故的处理中，交通往往用公式来判断该车是否超速，其中表示车速（单位km/s）,表示刹车后车轮划过的距离（单位：）,表示摩擦系数；某日，在一段限速60km/s的公路上，发生了一起两车追尾的事故，赶到后，经过测量，得出其中一辆车的，，请问该车超速了吗？

26．我们人体含有多少脂肪才算适当？据科学研究表明，可以利用身体的体重（，单位：千克）和身高（，单位：米）来计算身体脂肪水平，也称为身体质量指数（BMI）.计算公式是BMI=，而且男性的BMI指数范围是24~27，如果一位男生体重是70千克，身体脂肪属于正常，那么请你估计他的身高大约在哪个范围内？（精确到0.01米）. 

27．谈祥柏是中国人民军医大学数学教授，有一次他将我国近代著名作家徐志摩《再别康桥》中的两句组成了如下的等式组：

，这里相同的汉字表示０，１，……，９中相同的数字，不同的汉字表示不同数字，你能利用所学知识破解它吗？

28．某人用一架不等臂天平称一块铁的质量，把铁块放在天平左盘时，称得它的质量为300克；把铁块放在天平右盘时，称得它的质量为900克，利用所学知识，求这块铁的实际质量

 29．有一块木板，如图，请你把它切成三块，

然后拼成一个正方形的桌面。

30．设等腰三角形的腰长为a，底边长为b，底边上的高为h．

（1）如果a＝2，b＝，求h；       （2）如果b＝，h＝2，求a．

31.某市为方便相距2km的A、B两处居民区的交往，修筑一条笔直的公路（如图：AB）,经测量，在A处的北偏东60°方向，B处北偏西45°方向的C处有一半径为0.7km的圆形公园，问计划修筑的公路会不会穿过公园？请说明理由。

※32．设三所学校A，B，C分别位于一个等边三角形的三个顶点处，现值网络时代，要在三个学校之间铺设通讯电缆，小张同学设计了三种连接方案，如图所示，方案甲：AB+BC；方案乙：AD+BC（D为BC中点）；方案丙：AO+BO+CO（O为三角形三条高的交点），请你帮助计算一下哪种方案线路最短？

※33.一艘渔船正以30海里/时的速度由西向东追赶鱼群，在A处看见小岛C在船的北偏东60°方向，40分钟后，渔船行至B处，此时看见小岛C在船的北偏东30°方向，已知以小岛C为中心周围10海里以内为我军导弹军事演习的着弹危险区，问这艘渔船继续向东追赶鱼群，是否有进入危险区域的可能？