2009年广东省广州市高二数学竞赛试题(五

                                                       2009.5.10

考生注意：⒈用钢笔、签字笔或圆珠笔作答，答案写在答卷上；

            ⒉不准使用计算器；

            ⒊考试用时120分钟，全卷满分150分．

一、选择题：本大题共4小题，每小题6分，满分24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知复数满足＝3，则复数的实部与虚部之和为

A．          B．             C．              D． 

2．已知，且，则的值为

   A．2              B．1                  C．              D． 

3．已知定义在上的函数为奇函数，且函数的周期为5，若，则

的值为

    A．5              B．1                     C．0               D． 

4．已知表示不超过的最大整数，则的值为

A．18054              B．18044                C．17954           D．17944

二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，满分36分．

5．关于的不等式的解集是                  ．

6．在区间上随机任取两个数，则满足的概率等于          ．

7．设，则的值为        ．

8．计算机执行以下程序：①初始值，；②；③；④若，则进行⑤，否则从②继续执行；⑤打印；⑥结束．那么由语句⑤打印出的数值为         ．

9．在中，已知，，若最长边的长为，则最短边的长为       ．

10．已知定点，点的坐标满足当（为坐标原点）的最小值是时，实数的值是            ． 

三、解答题：本大题共5小题，满分90分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

11．（本小题满分15分）

已知向量，其中．

（1）试判断向量与能否平行，并说明理由？

（2）求函数的最小值．

12．（本小题满分15分）

如图1所示的等边△ABC的边长为2a，CD是AB边上的高，E、F分别是AC、BC边的中点．现将△ABC沿CD折叠成如图2所示的直二面角A—DC—B．

（1）试判断折叠后直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；

（2）求四面体A-DBC的外接球体积与四棱锥D-ABFE的体积之比．

13．（本小题满分20分）

已知直线与椭圆相交于A、B两点，且（其中O为坐标原点）．

（1）若椭圆的离心率为，求椭圆的方程；

（2）求证：不论如何变化，椭圆恒过第一象限内的一个定点P，并求点P的坐标．

14．（本小题满分20分）

定义一种新运算，满足（为非零常数）．

（1）对于任意给定的，设，证明：数列是等差数列；

（2）对于任意给定的，设，证明：数列是等比数列；

（3）设，试求数列的前项和．

15．（本小题满分20分）

定义函数．

（1）令函数的图象为曲线，求与直线垂直的曲线的切线方程；

（2）令函数的图象为曲线，若存在实数b使得曲线在处有斜率为的切线，求实数a的取值范围；

（3）当，且时，证明．

2009年广州市高二数学竞赛试题

参与评分标准

说明：1．参与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．

      2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

      3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．

一、选择题：每小题6分，满分24分。

1．D                   2．A                   3．D                   4．A

二、填空题：每小题6分，满分36分。

5．       6．       7．5       8．21       9．       10．2

简答与提示：

4．根据题意，当时，，于是

．

7．作图比较容易得到．

8．设程序执行次后，的值为，的值为，则，是数列的前项和，由，可得，则．

10．表示向量在上的射影长，画出可行域，知当P点落在直线上时，取得最小值为，故．

三、解答题：满分90分。

11．解：（1）若，则有．

∵，∴．

∴，这与矛盾．                                                              

∴与不能平行．  

（2）∵

， 

∵，∴， 

∴．   

当，即时取等号，

故函数的最小值为．  

12．解：（1）如图所示，∵E、F分别为AC、BC的中点，

∴． 

∵面DEF，面DEF，

∴面．  

（2）以DA，DB，DC为棱补成一个长方体，则四面体

的外接球即为长方体的外接球． 

设球的半径为R，则，

∴． 

于是球的体积．                                                          

又，， 

． 

．  

13．（1）解：由

设，∴    

，

． 

．即．

，∴．                                                    

故椭圆的方程为． 

（2）证明：由（1）有，

∴，即．

则不论a，b如何变化，椭圆恒过第一象限内的定点P． 

14．（1）证明：∵（为非零常数），

∴．

∴．

∵为非零常数，∴数列是等差数列． 

（2）解：∵（为非零常数），

∴．

∴．

∵为非零常数，∴数列是等比数列．                          

 （3）解：∵（为非零常数），

∴．

，     ①  

当时，． 

当时，

．                       ②

①②得：，

∴，

综上可知，   

15．（1）解：， 

由，得． 

又，

由，得。

，．

又，切点为． 

存在与直线垂直的切线，其方程为，

即．                                               

（2）解：．

由，得．                      

由，得． 

在上有解．

在上有解得在上有解，． 

而，当且仅当时取等号， 

．                                                   

（3）证明： 

． 

令，则， 

当时，∵，∴，单调递减，                                       

当时，． 

又当时，， 

当．且时，，即．