《高等代数》期末考试题A

1、设  ， ，则==_____________。

2、四阶方阵，已知=，且，则=_____________。

3、三阶方阵的特征值为1，-1，2，且，则的特征值为_____________。

4、若n阶方阵满足关系式，若其中是单位阵，那么=_____________。

5、设，，线性相关，则t=_____________。

二、单项选择题  （每小题仅有一个正确答案，将正确答案的填入下表内，每小题2分，共20分）

（A）-2或3；                       （B）-3或2；

（C）-2或-3；                       （D）3或2；

2、设A、B均为n阶方阵，则下列正确的公式为

（A）；          （B）；

（C）；                      （D）

3、设A为可逆n阶方阵，则=

（A）；                       （B）A；

（C）；                       （D）；

4、下列矩阵中哪一个是初等矩阵

（A）；                       （B）；

（C）；                       （D）；

5、下列命题正确的是

（A）如果有全为零的数   使，则，，  线性无关；

（B）向量组，，  若其中有一个向量可由向量组线性表示，则，，线性相关；

（C）向量组，， 的一个部分组线性相关，则原向量组本身线性相关；

（D）向量组，，线性相关，则每一个向量都可由其余向量线性表示。

6、，，和，，，为两个n维向量组，且

 =+++

=+++

=+++

则下列结论正确的是

（A）

（B）

（C）

（D）无法判定

7、设A为n阶实对称方阵且为正交矩阵，则有

（A）A=E      （B）A相似于E   （C）    （D）A合同于E

8、若是线性方程组的基础解系，则+++是的

（A）解向量    （B）基础解系     （C）通解；      （D）A的行向量；

9、 都是n阶矩阵A的特征值，，且和分别是对应于和的特征向量，当 满足什么条件时，必是矩阵A的特征向量。

（A）且；       （B），

（C）                （D）而

10、下列哪一个二次型的矩阵是

（A）； （B）;

(C);   (D);

三、计算题（每小题9分，共63分）

1、设3阶矩阵，， ，其中均是3维行向量，且已知行列式，，求

2、解矩阵方程，其中

 ，

3、设有三维列向量组

， ， ，

为何值时：

（1）可由，，线性表示，且表示式是唯一的；

（2）不能由，，线性表示；

（3）可由，，线性表示，且有无穷种表示式，并写出表示式。

4、已知四元非齐次线性方程组满足，是的三个解向量，其中

，   

求的通解。

5、已知A=B，且，

求a , b

6、齐次线性方程组

中当a为何值时，有非零解，并求出通解。

7、用正交变换法化二次型为标准型，并求出正交变换。

四、证明题（7分）

设A为m×n矩阵，B为n 阶矩阵，已知

证明：若，则

《高等代数》期末考试题A题参与评分标准

一、填空题

1、-10；    2、81；    3、4，6，12；  4、；    5、5；

二、单项选择题(每小题2分，共20分)

1、                                                （2分）

          =+                                                 （4分）

          =+                                                  （7分）

         =2×18+12×2=60                                                （9分）

2、                                         （2分）

                                              （3分）

                                                         （5分）

                                               （7分）

                                     （9分）

3、设

且时，方程组有唯一解

即可由，，唯一线性表示，

（2）当时

          无解

即当时，不能由，，线性表示                             （6分）

（3）当时

       有无穷组解

基础解系为：，  

 通解为      

当时  可由，，线性表示为无穷多种形式

                 ，为任意常数             （9分）

4、的基础解系含一个解                            （2分）

     （i=1，2，3）

设                     （4分）

 为基础解系                                                   （6分）

   为特解                                        （8分）                                           

故的通解为       c为任意常数             （9分）

5、   

          （2分）

               （4分）

                       （6分）

比较同次幂系数有

                                                (8分)

解之，  得                                                       （9分）

6、                                      （3分）

当时，     有非零解                                     （5分）

基础解系为                                                      （8分）

通解为       c为任意常数                                          （9分）

7、                     （3分）

特征值为，                                               （4分）

特征向量为  ，，                             （6分）

正交单位化为 ，，                 （7分）

标准型为                                            （8分）

正交变换为                                     （9分）

四、证明题（）

                （2分）

B的每一列向量为齐次方程组的解                                 （4分）

由于      只有零解

                                                                （6分）