求函数周期的方法

一、定义法

周期函数的定义： 设函数定义在数集上, 若存在常数T>0,,且f(x+T)=f(x),则为周期函数，称其中最小的正常数T为最小正周期。

例1：求函数y＝｜sinx｜＋｜cosx｜的最小正周期.

例2：求函数的最小正周期

根据定义,因为，即,亦即,由此可得或者

由于的通解为，显然它是依赖于,因此求不出依赖于的非零常数解，即这样的T不能作为周期。

 由，得最小的非零正数解为,即它不依赖于，所以是周期函数，且其周期为.

性质结论：

（1） 若是，∈A的周期，则 T也是的周期．

（2） 若是,∈ A的周期，且，则也是的周期．

（3） 设有最小正周期，那么除外，函数无其他周期。

（4） 若是周期函数，则也是周期函数，反之不正确。

（5）若 是定义在上的周期函数，且，则也是周期函数，且与相同的周期。

（6）若 是定义在上的周期函数，且，则也是周期函数，且与相同的周期。

（7）可导的周期函数的导函数也是周期函数。又若对于原函数存在的连续的周期函数(T是其最小正周期)有， ，则其原函数也是周期函数，且它们的周期相同。

例：，因为而的周期。

（8）设是以为周期的周期函数，是任意函数，则复合函数必也是以为周期的周期函数，此时的最小正周期不一定就是的最小正周期。

例：可看成复合而成，显然的最小正周期 ，而的最小正周期

二、最小公倍数法

若函数与都是定义在上的周期函数，周期分别为与，且，为有理数，则都是D上的周期函数，其周期T为与的最小公倍数。

例3 ： ，因为与都是周期函数，且最小正周期分别为=8，=10，，为有理数，所以也是周期函数，且最小正周期为40。

三、图像法

例4：求函数的最小正周期  （）

四、公式法

例5：求函数的最小正周期 （）

五、单位圆法

例6：求函数的最小正周期（）

六、等周期法

理论依据：若对于任意的，都有且函数的最小正周期为T，则函数的最小正周期也为T。

例7：求函数的最小正周期（）