2013年高考数学试题精编：14.1复数

【考点阐述】

复数的概念．复数的加法和减法．复数的乘法和除法．数系的扩充． 【考试要求】

（1）了解复数的有关概念及复数的代数表示和几何意义．

（2）掌握复数代数形式的运算法则，能进行复数代数形式的加法、减法、乘法、除法运算． （3）了解从自然数系到复数系的关系及扩充的基本思想． 【考题分类】

（一）选择题（共21题）

1.（安徽卷理1）i

=

A、1412i −

B、1412i +

C、126i +

D、126−

【答案】B

3)313912412i i i

−+===++，选B.

，然后利用复数的代数运算，结合2

1i =−得结论. 2.（安徽卷文2）已知2

1i =−，则

i(1−)=

i −

i +

(C)i −

(D)i + 【答案】B

【解析】(1)i i =+，选B.

【方法总结】直接乘开，用2

1i =−代换即可.

3.（北京卷文2）在复平面内，复数6+5i, -2+3i 对应的点分别为A,B.若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是

（A）4+8i (B)8+2i （C）2+4i (D)4+i 答案C

【命题意图】本题考查复平面的基本知识及中点坐标公式.求解此类问题要能够灵活准确的对复平面内的点的坐标与复数进行相互转化.

【解析】两个复数对应的点的坐标分别为A(6,5),B(-2,3)，则其中点的坐标为C(2,4)，故 其对应的复数为2+4i.

4.（福建卷理9）对于复数a b c d ，，若集合{}S a b c d =，，具有性质“对任意

x y S ∈，必有xy S ∈”，则当

2

211a b c b =⎧⎪=⎨⎪=⎩

，时，b c d ++等于

A．1

B．-1

C．0

D．i

【答案】B

【解析】由题意，可取a=1,b=-1,c=i,d=-i ，所以b+c+d=-1+i+-i 1=−，选B。 【命题意图】本题属创新题，考查复数与集合的基础知识。

5.（福建卷文4）i 是虚数单位，

4

1i (

)1-i +等于 A.i B.-i C.1 D.-1

【答案】C

【解析】41i ()1-i +=244

(1i)[]=i =12+,故选C.

【命题意图】本题考查复数的基本运算,考查同学们的计算能力.

6.（广东卷理2）若复数z1=1+i，z2=3-i，则z1·z2= A．4+2 i B. 2+ i C. 2+2 i D.3+ i 【答案】A．

12(1)(3)1311(31)42z z i i i i ⋅=+⋅−=×+×+−=+

7.（湖北卷理1）若i 为虚数单位，图中复平面内点Z 表示复数

Z，则表示复数1z

i +的点是

A．E B.F C.G D.H 【答案】D 【

解

析

】

由

图

知

z=

2+i

，所以

1z i =+21i i +=

+(2)(1-i)422(1+)(1-i)2i i i i +−==−，故选D。

8.（湖南卷文1）复数2

1i −等于

A. 1+i

B. 1-i

C. -1+i

D. -1-i 【答案】A.

9.（江西卷理1）已知()(1)x i i y +−=，则实数x ，y 分别为 A．1x =−，1y = B．1x =−，2y =

C．1x =，1y =

D．1x =，2y =

【解析】考查复数的乘法运算。可采用展开计算的方法，得

2

()(1)

x i x i y

−+−=，没有虚

部，x=1,y=2.

10.（辽宁卷理2）设a,b为实数，若复数

1

1+2i

i

a bi

=+

+，则

（A）

31

,

22

a b

==

(B)

3,1

a b

==

(C)

13

,

22

a b

==

(D)

1,3

a b

==

11.（全国Ⅰ卷理1）复数32 23

i

i +

=−

(A)i (B)i− (C)12-13i (D) 12+13i

【答案】A【命题意图】本小题主要考查复数的基本运算,重点考查分母实数化的转化技巧.

【解析】32(32)(23)6946

23(23)(23)13

i i i i i

i

i i i

+++++−

===

−−+.

12.（全国Ⅰ新卷理

2）已知复数

z=

，z是z的共轭复数，则z z•=

A. 1

4 B.

1

2 C.1 D.2

【答案】A

解析：

1

44 z i

===+

，

所以

22

11

()()

444

z z⋅=−+=

．

另解：

1

44 z i

===+

，下略． 13.（全国Ⅰ新卷文

3）已知复数

z=

，则

1

z=

(A)

1

4 （B）

1

2 （C）1 （D）2

【答案】D

解析：

1

44 z i

===+

。 14.（全国Ⅱ卷理1）复数

2

3

1

i

i

−

⎛⎞

=

⎜⎟

+

⎝⎠

（A）34i

−− （B）34i

−+ （C）34i

− （D）34i

+

【答案】A

【命题意图】本试题主要考查复数的运算.

【解析】

2

3

1

i

i

−

⎛⎞

=

⎜⎟

+

⎝⎠

2

2

(3)(1)

(12)34

2

i i

i i

−−

⎡⎤

=−=−−

⎢⎥

⎣⎦.

15.（山东卷理2文2）已知

2

a i

i

+

=b i+（.a b R

∈）,其中i为虚数单位，则a b

+=（A）1− （B）1 （C）2 （D）3

【答案】B

【解析】由

a+2i

=b+i

i得a+2i=bi-1,所以由复数相等的意义知:a=-1,b=2,

所以a+b=1,故选B.

【命题意图】本题考查复数相等的意义、复数的基本运算，属保分题。

16.（陕西卷理2文2）复数1

i

z

i

=

+在复平面上对应的点位于 【 】

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

【答案】A

【解析】∵

()

i

i

i

i

i

i

z

2

1

2

1

1

1

12

+

=

−

−

=

+

=

，∴复数z在复平面上对应的点位于第一象限.故选A.

17.（四川卷理1）i是虚数单位，计算23

i i i

++=（A）－1 （B）1 （C）i− （D）i

解析：由复数性质知：i2＝－1故i＋i2＋i3＝i＋(－1)＋(－i)＝－1 答案：A

18.（天津卷理1）i 是虚数单位，复数

13 12

i

i −+

= +

(A)1＋i (B)5＋5i (C)-5-5i (D)-1－i 【答案】A

【解析】

13

12

i

i

−+

=

+

(13)(12)

5

i i

−+−

=

55

1

5

i

i

+

=+

，故选A。

【命题意图】本小题考查复数的基本运算，属保分题。

19.（天津卷文1）)i是虚数单位，复数3

1

i

i

+

−=

(A)1+2i (B)2+4i (C)-1-2i (D)2-i 【答案】A

【解析】3

1

i

i

+

−=

(3)(1)

2

i i

++

=

24

12

2

i

i

+

=+

，故选A。

【命题意图】本小题考查复数的基本运算，属保分题。

20.（浙江卷理5）对任意复数

()

i,R

z x y x y

=+∈

，i为虚数单位，则下列结论正确的是

（A）

2

z z y

−=

（B）

222

z x y

=+

（C）

2

z z x

−≥

（D）

z x y

≤+

解析：可对选项逐个检查，A项，

y

z

z2

≥

−

，故A错，B项，

xyi

y

x

z2

2

2

2+

−

=，故B

错，C项，

y

z

z2

≥

−

，故C错，D项正确。本题主要考察了复数的四则运算、共轭复数及

其几何意义，属中档题

21.（浙江卷文5）设i为虚数单位，则5

1

i

i −

= +

(A)-2-3i (B)-2+3i (C)2-3i (D)2+3i 解析：选C，本题主要考察了复数代数形式的四则运算，属容易题

（二）填空题（共5题）

1.（北京卷理9）在复平面内，复数

2

1

i

i−对应的点的坐标为 。

【答案】（-1，1）.

解析：22(1)(1)11(1)(1)

i i i i i i

i i i +==+=−+−−+ 2.（江苏卷2）设复数z 满足z(2-3i)=6+4i（其中i 为虚数单位），则z 的模为_______.

【答案】2

[解析] 考查复数运算、模的性质。z(2-3i)=2(3+2 i), 2-3i 与3+2 i 的模相等，z 的模为2。

3.（上海卷理2文4）若复数12z i =−（i 为虚数单位），则z z z ⋅+= 。 解析：考查复数基本运算z z z ⋅+=i i i i 2621)21)(21(−=−++−

4. （重庆卷理11）已知复数z=1+I ，则2z

z

−=____________. 【答案】-2i

解析：i i i i i 211112

−=−−−=−−+

5. （上海春卷3）计算：i i

+12=_______________（i 为虚数单位）。

答案：1i +

解析：22(1)2211(1)(1)2i i i i i

i i i −+===+++−。