上海市杨浦区2021年中考数学三模考试试卷附答案

一、单选题（共6题；共12分）

1.在实数|﹣3|，﹣2，0，π中，最小的数是（   ）

A. |﹣3|                                        B. ﹣2                                        C. 0                                        D. π

2.下列各式的变形中，正确是(    )            

A. (－x－y)(－x＋y)＝x2－y2

B. －x＝ 

C. x2－4x＋3＝(x－2)2＋1

D. x÷(x2＋x)＝ ＋1

3.将样本容量为100的样本编制成组号①～⑧的八个组，简况如表所示：

A. 14                                       B. 15                                       C. 0.14                                       D. 0.15

4.在平面直角坐标系中，点A的坐标是(﹣1，2)，将点A向右平移4个单位，得到点A′，再作点A′关于y轴的对称点，得到点A″，则点A″的坐标是(   )            

A. (3，2)                            B. (3，﹣2)                            C. (﹣3，﹣2)                            D. (﹣3，2)

5.下列说法中正确是(   )            

A. 三角形三条角平分线的交点到三个顶点的距离相等

B. 三角形三条角平分线的交点到三边的距离相等

C. 三角形三条中线的交点到三个顶点的距离相等

D. 三角形三条中线的交点到三边的距离相等

6.如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O  ， ∠BAD＝90°，BO＝DO  ， 那么添加下列一个条件后，仍不能判定四边形ABCD是矩形的是(   )  

A. ∠ABC＝90°                         B. ∠BCD＝90°                         C. AB＝CD                         D. AB∥CD

二、填空题（共12题；共13分）

7.计算：(﹣2)9÷27＝________．    

8.计算： ＝________．    

9.如果关于x的一元二次方程x2﹣6x+m﹣1＝0有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是________．    

10.函数y= 中自变量x的取值范围是________．    

11.一次函数y＝kx+b(k≠0)的图象如图所示，如果y≤0，那么x的取值范围________．  

12.某班10名学生校服尺寸与对应人数如图所示，那么这10名学生校服尺寸的中位数为________cm ．   

13.在“石头、剪刀、布”的游戏中，两人打出相同标识手势的概率是________．    

14.某大型超市从生产基地以每千克a元的价格购进一种水果m千克，运输过程中重量损失了10%，超市在进价的基础上増加了30%作为售价，假定不计超市其他费用，那么售完这种水果，超市获得的利润是________元(用含m、a的代数式表示)    

15.如图，已知在▱ABCD中，E是边AB的中点，DE与对角线AC相交于点F ． 如果 ， ，那么 ＝________(用含 、 的式子表示)．  

16.小明在空中距地面30米的热气球上看向地面上的一个雕塑，如果此时热气球与雕塑相距50米，那么小明看雕塑时的俯角约等于________度(备用数据：sin37°＝cos53°≈0.6)    

17.如图，正五边形ABCDE的边长为2，分别以点C、D为圆心，CD长为半径画弧，两弧交于点F，则 的长为________.  

18.如图，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12，将矩形绕着点D顺时针旋转，当点C落在对角线BD上的点E处时，点A、B分别落在点G、F处，那么AG：BF：CE＝________．  

三、解答题（共7题；共60分）

19.先化简，再计算： ，其中x＝ ．    

20.已知：二次函数y＝2x2+bx+c的图象经过点A(1，0)，B(2，3)．求：这个二次函数的解析式，及这个函数图象的对称轴．    

21.如图，已知某船向正东方向航行，在点A处测得某岛C在其北偏东60°方向上，前进8海里处到达点B处，测得岛C在其北偏东30°方向上．已知岛C周围6海里内有一暗礁，问：如果该船继续向东航行，有无触礁危险？请说明你的理由．  

22.在女子800米耐力测试中，某考点同时起跑的小莹和小梅所跑的路程S(米)与所用时间t(秒)之间的函数关系分別如图中线段OA和折线OBCD所示．  

（1）谁先到终点，当她到终点时，另一位同学离终点多少米？(请直接写出答案)    

（2）起跑后的60秒内谁领先？她在起跑后几秒时被追及？请通过计算说明．    

23.已知，在△ACB和△DCE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝BC  ， DC＝EC  ， M为DE的中点，联结BE ．   

（1）如图1，当点A、D、E在同一直线上，联结CM  ， 求证：CM＝ ；    

（2）如图2，当点D在边AB上时，联结BM  ， 求证：BM2＝( )2+( )2 ．    

24.在平面直角坐标系xOy中，第一象限内的点P在直线y＝ x上，过点P的直线交x轴正半轴于点A  ， 交直线y＝3x于点B  ， 点B在第一象限内．  

（1）如图1，当∠OAB＝90°时，求 的值；    

（2）当点A的坐标为(6，0)，且BP＝2AP时，将过点A的抛物线y＝﹣x2+mx上下方平移，使它过点B  ， 求平移的方向和距离．    

25.△ABC中，∠ACB＝90°，tanB＝ ，AB＝5，点O为边AB上一动点，以O为圆心，OB为半径的圆交射线BC于点E  ， 以A为圆心，OB为半径的圆交射线AC于点G ．   

（1）如图1，当点E、G分别在边BC、AC上，且CE＝CG时，请判断圆A与圆O的位置关系，并证明你的结论；    

（2）当圆O与圆A存在公共弦MN时(如图2)，设OB＝x  ， MN＝y  ， 求y关于x的函数解析式，并写出定义域；    

（3）设圆A与边AB的交点为F  ， 联结OE、EF  ， 当△OEF为以OE为腰的等腰三角形时，求圆O的半径长．    

答案解析部分

一、单选题

1.【解析】【解答】解：在实数|﹣3|，﹣2，0，π中，

|﹣3|=3，则﹣2＜0＜|﹣3|＜π，

故最小的数是：﹣2．

故答案为：B．

【分析】|﹣3|=3，由负数比正数和0都小，可得出答案。

2.【解析】【解答】根据平方差公式可得A符合题意；根据分式的减法法则可得：B= ；根据完全平方公式可得：C= －1；根据单项式除以多项式的法则可得：D= ．

 【分析】根据平方差公式、分式的加减、完全平方公式及整式的除法分别计算，然后判断即可.

3.【解析】【解答】解：第⑤组的频数为100﹣14﹣11﹣12﹣13﹣13﹣12﹣10=15，

所以第⑤组的频率=15÷100=0.15．

故选D．

【分析】先用样本容量分别减去其它7组的频数得到第⑤组的频数，然后根据频率的定义计算第⑤组的频率．

4.【解析】【解答】∵点A的坐标是(﹣1，2)， 

∴将点A向右平移4个单位，得到点A′(3，2)，

∵作点A'关于y轴的对称点，得到点A“，

∴点A″的坐标是：(﹣3，2)．

故答案为：D ． 

【分析】直接利用平移规律得出点A'坐标，再根据关于y轴对称点的性质得出点A“坐标即可．

5.【解析】【解答】A、三角形三条角平分线的交点到三边的距离相等，故不符合题意； 

B、三角形三条角平分线的交点到三边的距离相等，故符合题意；

C、三角形三条垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，故不符合题意；

D、三角形三条角平分线的交点到三边的距离相等，故不符合题意；

故答案为：B ． 

【分析】根据三角形角平分线的性质和线段垂直平分线的性质判断即可．

6.【解析】【解答】A、∵∠BAD＝90°，BO＝DO  ，  

∴OA＝OB＝OD  ， 

∵∠ABC＝90°，

∴AO＝OB＝OD＝OC  ， 

即对角线平分且相等，

∴四边形ABCD为矩形，不符合题意；

B、∵∠BAD＝90°，BO＝DO  ， 

∴OA＝OB＝OD  ， ∵∠BCD＝90°，

∴AO＝OB＝OD＝OC  ， 

即对角线平分且相等，

∴四边形ABCD为矩形，不符合题意；

C、∵∠BAD＝90°，BO＝DO  ， AB＝CD  ， 

无法得出△ABO≌△DCO  ， 

故无法得出四边形ABCD是平行四边形，

进而无法得出四边形ABCD是矩形，不符合题意；

D、∵AB||CD  ， ∠BAD＝90°，

∴∠ADC＝90°，

∵BO＝DO  ， 

∴OA＝OB＝OD  ， 

∴∠DAO＝∠ADO  ， 

∴∠BAO＝∠ODC  ， 

∵∠AOB＝∠DOC  ， 

∴△AOB≌△DOC  ， 

∴AB＝CD  ， 

∴四边形ABCD是平行四边形，

∵∠BAD＝90°，

∴▱ABCD是矩形，不符合题意；

故答案为：C ． 

【分析】根据矩形的判定定理：有一个角是直角的平行四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形分别进行分析即可．

二、填空题

7.【解析】【解答】原式＝﹣29÷27＝﹣22＝﹣4． 

故答案为：﹣4．

【分析】首先确定符号，再利用同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减进行计算即可．

8.【解析】【解答】原式＝ 

故答案为7 

【分析】原式两项化为最简二次根式，合并即可得到结果．

9.【解析】【解答】∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+m﹣1＝0有两个不相等的实数根， 

∴△＝62﹣4m+4＞0，

解得m＜10

故答案为m＜10．

【分析】根据判别式的意义得到△＝62﹣4m+4＞0，然后解不等式即可．

10.【解析】【解答】由题意得，2−x⩾0且x+1≠0， 

解得x⩽2且x≠−1.

故答案为：x⩽2且x≠−1.

【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．

11.【解析】【解答】根据图象和数据可知，当y≤0即图象在x轴下侧，x≥3． 

故答案为：x≥3．

【分析】根据图象的性质，当y≤0即图象在x轴下侧，x≥3．

12.【解析】【解答】∵某班10名学生校服尺寸分别是160cm、165cm、165cm、165cm、170cm、170cm、175cm、175cm、180cm、180cm  ，  

∴这10名学生校服尺寸的中位数为：

(170+170)÷2

＝340÷2

＝170(cm)

答：这10名学生校服尺寸的中位数为170cm ． 

故答案为170．

【分析】根据图示，可得：某班10名学生校服尺寸分别是160cm、165cm、165cm、165cm、170cm、170cm、175cm、175cm、180cm、180cm  ， 据此判断出这10名学生校服尺寸的中位数为多少即可．

13.【解析】【解答】解：画树状图得： 

∵共有9种等可能的结果，两人打出相同标识手势的有3种情况，

∴两人打出相同标识手势的概率是： 

故答案为： 

【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两人打出相同标识手势的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．

14.【解析】【解答】由题意可得， 

超市获得的利润是：a(1+30%)×[m(1﹣10%)]﹣am＝0.17am(元)，

故答案为0.17am ． 

【分析】根据题意可以用含a的代数式表示出超市获得的利润，本题得以解决．

15.【解析】【解答】∵DF：EF＝DC：AE＝2：1， 

故答案为 ．

【分析】先求出DF：EF的值，从而可得DF：DE  ， 表示出 ，即可得出 

16.【解析】【解答】如图所示： 

由题意可得出：小明看见雕塑时的俯角为∠DAB＝∠B  ， AC＝30m  ， AB＝50m  ， 

sinB＝ ＝0.6，

故∠B＝37°．

故答案为37．

【分析】根据题意画出图形，进而得出∠DAB＝∠B  ， AC＝30m  ， BC＝40m  ， 利用锐角三角函数关系求出即可．

17.【解析】【解答】连接CF，DF， 

则△CFD是等边三角形，

∴∠FCD=60°，

∵在正五边形ABCDE中，∠BCD=108°，

∴∠BCF=48°，

∴ 的长= ，

故答案为： .

 【分析】连接CF，DF，可得△CFD是等边三角形，即得∠FCD=60°，利用正五边形的性质可求出∠BCD=108°，从而求出∠BCF的度数，利用弧长公式即可求出结论.

18.【解析】【解答】作GH⊥AD于H  ， CN⊥DE于N  ， 如图所示： 

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD＝BC＝12，AB＝CD＝5，∠BCD＝90°，

由旋转得：AD＝DG＝EF＝12，CD＝DE＝5，∠BEF＝90°，

∵∠GDE＝∠CDA＝90°，

，

，

同理：CN＝CD×sin∠CDB＝5× ，

∴AG：BF：CE＝12：13：5；

故答案为：12：13：5．

【分析】作GH⊥AD于H  ， CN⊥DE于N  ， 由矩形的性质得出AD＝BC＝12，AB＝CD＝5，∠BCD＝90°，由旋转得：AD＝DG＝EF＝12，CD＝DE＝5，∠BEF＝90°，由勾股定理得出BF＝4 ，由三角函数和勾股定理求出AG＝ ，CE＝ ，即可得出结果．

三、解答题

19.【解析】【分析】原式约分后，利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，将x的值代入计算即可求出值．

20.【解析】【分析】利用待定系数法把点A（1，0）和B（2，3）代入二次函数y＝2x2+bx+c中，可以解得b  ， c的值，从而求得函数关系式，在利用x＝﹣ 求出图象的对称轴；

21.【解析】【分析】作CD⊥AB于点D，求出C到航线的最近的距离CD的长，与5海里比较大小即可

22.【解析】【分析】（1）小莹比小梅先到终点，此时小梅距离终点200米；（2）根据图象可以知道跑后的60秒内小梅领先，根据线段的交点坐标可以求出小梅被追及时

23.【解析】【分析】（1）先证明△ACD≌△BCE  ， 根据全等三角形的性质得出，AD＝BE  ， 得出AE﹣AD＝AE﹣BE＝DE  ， 根据直角三角形斜边上的中线性质求出CM＝ DE  ， 即可得出结论；（2）同（1）得：△ACD≌△BCE  ， 得出AD＝BE  ， ∠DAC＝∠EBC＝45°，得出∠ABE＝∠ABC+∠EBC＝90°，由勾股定理得出DE2＝BE2+BD2  ， 由直角三角形斜边上的中线性质得出DE＝2BM  ， 即可得出结论．

24.【解析】【分析】（1）设点A横坐标为a  ， 由于∠OAB＝90°，即AB⊥x轴，所以P、B横坐标也是a  ， 分别代入直线解析式求P、B纵坐标，相减即能得到用a表示的BP、AP的值．（2）分别过点P、B作x轴垂线，垂足分别为D、C  ， 根据平行线分线段定理可得 ．设直线AB解析式为y＝kx+b  ， 把A坐标代入得y＝kx﹣6k ． 把直线AB解析式分别与直线OP、OB解析式联立方程组，求得点P、B的横坐标（用k表示）即点D、C横坐标，进而得到用k表示CD、DA的式子．根据CD＝2AD为等量关系列方程即求得k的值，即得到点B坐标．把点A代入原抛物线解析式求m  ， 由于上下平移，故可在原抛物线解析式后+n以表示平移后的抛物线，把点B代入即求得n的值．n为负数时即表示向下平移．

25.【解析】【分析】（1）由三角函数得出AC＝3，BC＝4，作OP⊥BE于P  ， 则PB＝PE  ， OP∥AC  ， 得出 ＝ ，设PB＝PE＝x  ， 则CG＝CE＝4﹣2x  ， 得出OB＝ x  ， AG＝AC﹣CG＝2x﹣1，得出方程，得出x＝ ，OB═ ，求出OA＝AB﹣OB＝2OB  ， 即可得出结论；

 （2）连接OM  ， 由相交两圆的性质得出OA与MN垂直平分，∠ODM＝90°，DM＝ MN＝ y  ， AD＝OD＝ （5﹣x），由勾股定理得出方程，整理即可；

 （3）分三种情况：①当圆O与圆A外切，OE＝OF时，圆O与圆A外切，圆O的半径长OB＝ ； 

②当OE＝FE时，圆O与圆A相交，作EH⊥OF于H  ， 则OF＝OH＝ ﹣OB  ， 证明△BEH∽△BAC  ， 得出EH＝ ，在Rt△OEH中，由勾股定理得出方程，解方程即可；

③当O与A重合时，OE＝OF  ， OE＝AB＝5；即可得出结论．