2020-2021学年广西南宁三中初中部五象校区九年级(下)开学数学试卷

一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分。）

1．（3分）（2020秋•天河区期末）如果气温升高2℃时气温变化记作+2℃，那么气温下降4℃时气温变化记作（　　）

A．+4℃ B．﹣4℃ C．+6℃ D．﹣6℃

2．（3分）（2020•泸州）下列正多边形中，不是中心对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

3．（3分）（2020•青岛）2020年6月23日，中国第55颗北斗导航卫星成功发射，顺利完成全球组网．其中支持北斗三号新信号的22纳米工艺射频基带一体化导航定位芯片，已实现规模化应用．22纳米＝0.000000022米，将0.000000022用科学记数法表示为（　　）

A．2.2×108 B．2.2×10﹣8 C．0.22×10﹣7 D．22×10﹣9

4．（3分）（2020•甘孜州）函数y中，自变量x的取值范围是（　　）

A．x＞﹣3 B．x＜3 C．x≠﹣3 D．x≠3

5．（3分）（2020•凉山州）已知一组数据1，0，3，﹣1，x，2，3的平均数是1，则这组数据的众数是（　　）

A．﹣1 B．3 C．﹣1和3 D．1和3

6．（3分）（2020•凉山州）一元二次方程x2＝2x的根为（　　）

A．x＝0 B．x＝2 C．x＝0或x＝2 D．x＝0或x＝﹣2

7．（3分）（2020•达州）图2是图1中长方体的三视图，用S表示面积，S主＝x2+3x，S左＝x2+x，则S俯＝（　　）

A．x2+3x+2 B．x2+2x+1 C．x2+4x+3 D．2x2+4x

8．（3分）（2020•内江）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺．则符合题意的方程是（　　）

A．x＝（x﹣5）﹣5 B．x＝（x+5）+5

C．2x＝（x﹣5）﹣5 D．2x＝（x+5）+5

9．（3分）（2020•南充）如图，点A，B，C在正方形网格的格点上，则sin∠BAC＝（　　）

A． B． C． D．

10．（3分）（2020•凉山州）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有如下结论：

①abc＞0；

②2a+b＝0；

③3b﹣2c＜0；

④am2+bm≥a+b（m为实数）．

其中正确结论的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

11．（3分）（2020•凉山州）如图，等边三角形ABC和正方形ADEF都内接于⊙O，则AD：AB＝（　　）

A．2： B．： C．： D．：2

12．（3分）（2020•乐山）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x与双曲线y交于A、B两点，P是以点C（2，2）为圆心，半径长1的圆上一动点，连接AP，Q为AP的中点．若线段OQ长度的最大值为2，则k的值为（　　）

A． B． C．﹣2 D．

二、填空題（本大題共6小題，每小题3分，共18分）

13．（3分）（2020•潍坊）因式分解：x2y﹣9y＝　            　．

14．（3分）（2020•南宁）计算：　           　．

15．（3分）（2021春•兴宁区校级月考）点P（﹣2，1）与点Q（a，b）关于原点对称，则a+b＝　 　．

16．（3分）（2020•黑龙江）小明在手工制作课上，用面积为150πcm2，半径为15cm的扇形卡纸，围成一个圆锥侧面，则这个圆锥的底面半径为　   　cm．

17．（3分）（2020•达州）已知△ABC的三边a、b、c满足b+|c﹣3|+a2﹣8a＝419，则△ABC的内切圆半径＝　 　．

18．（3分）（2019•黄冈）如图，AC，BD在AB的同侧，AC＝2，BD＝8，AB＝8，点M为AB的中点，若∠CMD＝120°，则CD的最大值是　   　．

三、解答题（本大题共8小题，共66分，解答应写出必要的文字说明或推演步骤）

19．（6分）（2021春•兴宁区校级月考）计算：（﹣2）2×3+2×[1﹣（﹣2）2]．

20．（6分）（2020•潍坊）先化简，再求值：（1），其中x是16的算术平方根．

21．（8分）（2020•青岛）已知：△ABC．

求作：⊙O，使它经过点B和点C，并且圆心O在∠A的平分线上．

22．（8分）（2020•威海）小伟和小梅两位同学玩掷骰子的游戏，两人各掷一次均匀的骰子．以掷出的点数之差的绝对值判断输赢．若所得数值等于0，1，2，则小伟胜；若所得数值等于3，4，5，则小梅胜．

（1）请利用表格分别求出小伟、小梅获胜的概率；

（2）判断上述游戏是否公平．如果公平，请说明理由；如果不公平，请利用表格修改游戏规则，以确保游戏的公平性．

23．（8分）（2020•菏泽）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E．

（1）求证：DE⊥AC；

（2）若⊙O的半径为5，BC＝16，求DE的长．

24．（10分）（2020•泰安）中国是最早发现并利用茶的国家，形成了具有独特魅力的茶文化．2020年5月21日以“茶和世界 共品共享”为主题的第一届国际茶日在中国召开．某茶店用4000元购进了A种茶叶若干盒，用8400元购进B种茶叶若干盒，所购B种茶叶比A种茶叶多10盒，且B种茶叶每盒进价是A种茶叶每盒进价的1.4倍．

（1）A，B两种茶叶每盒进价分别为多少元？

（2）第一次所购茶叶全部售完后，第二次购进A，B两种茶叶共100盒（进价不变），A种茶叶的售价是每盒300元，B种茶叶的售价是每盒400元．两种茶叶各售出一半后，为庆祝国际茶日，两种茶叶均打七折销售，全部售出后，第二次所购茶叶的利润为5800元（不考虑其他因素），求本次购进A，B两种茶叶各多少盒？

25．（10分）（2020•聊城）如图，二次函数y＝ax2+bx+4的图象与x轴交于点A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，其对称轴与线段BC交于点E，垂直于x轴的动直线l分别交抛物线和线段BC于点P和点F，动直线l在抛物线的对称轴的右侧（不含对称轴）沿x轴正方向移动到B点．

（1）求出二次函数y＝ax2+bx+4和BC所在直线的表达式；

（2）在动直线l移动的过程中，试求使四边形DEFP为平行四边形的点P的坐标；

（3）连接CP，CD，在动直线l移动的过程中，抛物线上是否存在点P，使得以点P，C，F为顶点的三角形与△DCE相似？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

26．（10分）（2019•咸宁）定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形．

理解：

（1）如图1，点A，B，C在⊙O上，∠ABC的平分线交⊙O于点D，连接AD，CD．

求证：四边形ABCD是等补四边形；

探究：

（2）如图2，在等补四边形ABCD中，AB＝AD，连接AC，AC是否平分∠BCD？请说明理由．

运用：

（3）如图3，在等补四边形ABCD中，AB＝AD，其外角∠EAD的平分线交CD的延长线于点F，CD＝10，AF＝5，求DF的长．

2020-2021学年广西南宁三中初中部五象校区九年级（下）开学数学试卷

参与试题解析

一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分。）

1．（3分）（2020秋•天河区期末）如果气温升高2℃时气温变化记作+2℃，那么气温下降4℃时气温变化记作（　　）

A．+4℃ B．﹣4℃ C．+6℃ D．﹣6℃

【解答】解：如果气温升高2℃时气温变化记作+2℃，那么气温下降4℃时气温变化记作﹣4℃．

故选：B．

2．（3分）（2020•泸州）下列正多边形中，不是中心对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：A．正方形是中心对称图形，故本选项不合题意；

B．正五边形不是中心对称图形，故本选项符合题意；

C．正六边形是中心对称图形，故本选项不合题意；

D．正八边形是中心对称图形，故本选项不合题意；

故选：B．

3．（3分）（2020•青岛）2020年6月23日，中国第55颗北斗导航卫星成功发射，顺利完成全球组网．其中支持北斗三号新信号的22纳米工艺射频基带一体化导航定位芯片，已实现规模化应用．22纳米＝0.000000022米，将0.000000022用科学记数法表示为（　　）

A．2.2×108 B．2.2×10﹣8 C．0.22×10﹣7 D．22×10﹣9

【解答】解：将0.000000022用科学记数法表示为2.2×10﹣8．

故选：B．

4．（3分）（2020•甘孜州）函数y中，自变量x的取值范围是（　　）

A．x＞﹣3 B．x＜3 C．x≠﹣3 D．x≠3

【解答】解：由题意得，x+3≠0，

解得，x≠﹣3．

故选：C．

5．（3分）（2020•凉山州）已知一组数据1，0，3，﹣1，x，2，3的平均数是1，则这组数据的众数是（　　）

A．﹣1 B．3 C．﹣1和3 D．1和3

【解答】解：∵数据1，0，3，﹣1，x，2，3的平均数是1，

∴1+0+3﹣1+x+2+3＝7×1，

解得x＝﹣1，

则这组数据为1，0，3，﹣1，﹣1，2，3，

∴这组数据的众数为﹣1和3，

故选：C．

6．（3分）（2020•凉山州）一元二次方程x2＝2x的根为（　　）

A．x＝0 B．x＝2 C．x＝0或x＝2 D．x＝0或x＝﹣2

【解答】解：∵x2＝2x，

∴x2﹣2x＝0，

则x（x﹣2）＝0，

∴x＝0或x﹣2＝0，

解得x1＝0，x2＝2，

故选：C．

7．（3分）（2020•达州）图2是图1中长方体的三视图，用S表示面积，S主＝x2+3x，S左＝x2+x，则S俯＝（　　）

A．x2+3x+2 B．x2+2x+1 C．x2+4x+3 D．2x2+4x

【解答】解：∵S主＝x2+3x＝x（x+3），S左＝x2+x＝x（x+1），

∴俯视图的长为x+3，宽为x+1，

则俯视图的面积S俯＝（x+3）（x+1）＝x2+4x+3，

故选：C．

8．（3分）（2020•内江）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺．则符合题意的方程是（　　）

A．x＝（x﹣5）﹣5 B．x＝（x+5）+5

C．2x＝（x﹣5）﹣5 D．2x＝（x+5）+5

【解答】解：设绳索长x尺，则竿长（x﹣5）尺，

依题意，得：x＝（x﹣5）﹣5．

故选：A．

9．（3分）（2020•南充）如图，点A，B，C在正方形网格的格点上，则sin∠BAC＝（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：如图，过点B作BD⊥AC于D，

由勾股定理得，AB，AC3，

∵S△ABCAC•BD3•BD1×3，

∴BD，

∴sin∠BAC．

故选：B．

10．（3分）（2020•凉山州）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有如下结论：

①abc＞0；

②2a+b＝0；

③3b﹣2c＜0；

④am2+bm≥a+b（m为实数）．

其中正确结论的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【解答】解：①∵对称轴在y轴右侧，

∴a、b异号，

∴ab＜0，

∵c＜0，

∴abc＞0，

故①正确；

②∵对称轴x1，

∴2a+b＝0；

故②正确；

③∵2a+b＝0，

∴ab，

∵当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，

∴b﹣b+c＞0，

∴3b﹣2c＜0，

故③正确；

④根据图象知，当x＝1时，y有最小值；

当m为实数时，有am2+bm+c≥a+b+c，

所以am2+bm≥a+b（m为实数）．

故④正确．

本题正确的结论有：①②③④，4个；

故选：D．

11．（3分）（2020•凉山州）如图，等边三角形ABC和正方形ADEF都内接于⊙O，则AD：AB＝（　　）

A．2： B．： C．： D．：2

【解答】解：连接OA、OB、OD，过O作OH⊥AB于H，如图所示：

则AH＝BHAB，

∵等边三角形ABC和正方形ADEF，都内接于⊙O，

∴∠AOB＝120°，∠AOD＝90°，

∵OA＝OD＝OB，

∴△AOD是等腰直角三角形，∠AOH＝∠BOH120°＝60°，

∴ADOA，AH＝OA•sin60°OA，

∴AB＝2AH＝2OAOA，

∴，

故选：B．

12．（3分）（2020•乐山）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x与双曲线y交于A、B两点，P是以点C（2，2）为圆心，半径长1的圆上一动点，连接AP，Q为AP的中点．若线段OQ长度的最大值为2，则k的值为（　　）

A． B． C．﹣2 D．

【解答】解：连接BP，点O是AB的中点，则OQ是△ABP的中位线，

当B、C、P三点共线时，PB最大，则OQBP最大，

而OQ的最大值为2，故BP的最大值为4，

则BC＝BP﹣PC＝4﹣1＝3，

设点B（m，﹣m），则（m﹣2）2+（﹣m﹣2）2＝32，

解得：m2，

∴k＝m（﹣m），

故选：A．

二、填空題（本大題共6小題，每小题3分，共18分）

13．（3分）（2020•潍坊）因式分解：x2y﹣9y＝　y（x+3）（x﹣3）　．

【解答】解：x2y﹣9y，

＝y（x2﹣9），

＝y（x+3）（x﹣3）．

14．（3分）（2020•南宁）计算：　　．

【解答】解：2．

故答案为：．

15．（3分）（2021春•兴宁区校级月考）点P（﹣2，1）与点Q（a，b）关于原点对称，则a+b＝　1　．

【解答】解：由点P（﹣2，1）与点Q（a，b）关于原点对称，得

a＝2，b＝﹣1，

则a+b＝2+（﹣1）＝1，

故答案为：1．

16．（3分）（2020•黑龙江）小明在手工制作课上，用面积为150πcm2，半径为15cm的扇形卡纸，围成一个圆锥侧面，则这个圆锥的底面半径为　10　cm．

【解答】解：∵Sl•R，

∴•l•15＝150π，解得l＝20π，

设圆锥的底面半径为rcm，

∴2π•r＝20π，

∴r＝10（cm）．

故答案为：10．

17．（3分）（2020•达州）已知△ABC的三边a、b、c满足b+|c﹣3|+a2﹣8a＝419，则△ABC的内切圆半径＝　1　．

【解答】解：∵b+|c﹣3|+a2﹣8a＝419，

∴|c﹣3|+（a﹣4）2+（）2＝0，

∴c＝3，a＝4，b＝5，

∵32+42＝25＝52，

∴c2+a2＝b2，

∴△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°，

设内切圆的半径为r，

根据题意，得S△ABC3×43×r4×rr×5，

∴r＝1，

故答案为：1．

18．（3分）（2019•黄冈）如图，AC，BD在AB的同侧，AC＝2，BD＝8，AB＝8，点M为AB的中点，若∠CMD＝120°，则CD的最大值是　14　．

【解答】解：如图，作点A关于CM的对称点A′，点B关于DM的对称点B′，连接CA'、MA'、MB'、A'B'、B'D，

∵∠CMD＝120°，

∴∠AMC+∠DMB＝60°，

∴∠CMA′+∠DMB′＝60°，

∴∠A′MB′＝60°，

∵MA′＝MB′，

∴△A′MB′为等边三角形

∵CD≤CA′+A′B′+B′D＝CA+AM+BD＝2+4+8＝14，

∴CD的最大值为14，

故答案为14．

三、解答题（本大题共8小题，共66分，解答应写出必要的文字说明或推演步骤）

19．（6分）（2021春•兴宁区校级月考）计算：（﹣2）2×3+2×[1﹣（﹣2）2]．

【解答】解：（﹣2）2×3+2×[1﹣（﹣2）2]

＝4×3+2×（1﹣4）

＝12+2×（﹣3）

＝12+（﹣6）

＝6．

20．（6分）（2020•潍坊）先化简，再求值：（1），其中x是16的算术平方根．

【解答】解：原式，

，

，

．

∵x是16的算术平方根，

∴x＝4，

当x＝4时，原式．

21．（8分）（2020•青岛）已知：△ABC．

求作：⊙O，使它经过点B和点C，并且圆心O在∠A的平分线上．

【解答】解：如图所示：⊙O即为所求．

22．（8分）（2020•威海）小伟和小梅两位同学玩掷骰子的游戏，两人各掷一次均匀的骰子．以掷出的点数之差的绝对值判断输赢．若所得数值等于0，1，2，则小伟胜；若所得数值等于3，4，5，则小梅胜．

（1）请利用表格分别求出小伟、小梅获胜的概率；

（2）判断上述游戏是否公平．如果公平，请说明理由；如果不公平，请利用表格修改游戏规则，以确保游戏的公平性．

【解答】解（1）用列表法表示所有可能出现的结果如下：

表中总共有36种可能的结果，每一种结果出现的可能性相同，“差的绝对值”为0，1，2共有24种，“差的绝对值”为3，4，5的共有12种，

所以，P（小伟胜），P（小梅胜），

答：P（小伟胜），P（小梅胜）；

（2）∵，

∴游戏不公平；

根据表格中“差的绝对值”的不同情况，要使游戏公平，即两人获胜的概率相等，

于是修改为：两人掷的点数之差的绝对值为1，2，则小伟胜；否则小梅胜．

这样小伟、小梅获胜的概率均为．

23．（8分）（2020•菏泽）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E．

（1）求证：DE⊥AC；

（2）若⊙O的半径为5，BC＝16，求DE的长．

【解答】（1）证明：连接AD、OD．

∵AB是圆O的直径，

∴∠ADB＝90°．

∴∠ADO+∠ODB＝90°．

∵DE是圆O的切线，

∴OD⊥DE．

∴∠EDA+∠ADO＝90°．

∴∠EDA＝∠ODB．

∵OD＝OB，

∴∠ODB＝∠OBD．

∴∠EDA＝∠OBD．

∵AC＝AB，AD⊥BC，

∴∠CAD＝∠BAD．

∵∠DBA+∠DAB＝90°，

∴∠EAD+∠EDA＝90°．

∴∠DEA＝90°．

∴DE⊥AC．

（2）解：∵∠ADB＝90°，AB＝AC，

∴BD＝CD，

∵⊙O的半径为5，BC＝16，

∴AC＝10，CD＝8，

∴AD6，

∵S△ADCAC•DE，

∴DE．

24．（10分）（2020•泰安）中国是最早发现并利用茶的国家，形成了具有独特魅力的茶文化．2020年5月21日以“茶和世界 共品共享”为主题的第一届国际茶日在中国召开．某茶店用4000元购进了A种茶叶若干盒，用8400元购进B种茶叶若干盒，所购B种茶叶比A种茶叶多10盒，且B种茶叶每盒进价是A种茶叶每盒进价的1.4倍．

（1）A，B两种茶叶每盒进价分别为多少元？

（2）第一次所购茶叶全部售完后，第二次购进A，B两种茶叶共100盒（进价不变），A种茶叶的售价是每盒300元，B种茶叶的售价是每盒400元．两种茶叶各售出一半后，为庆祝国际茶日，两种茶叶均打七折销售，全部售出后，第二次所购茶叶的利润为5800元（不考虑其他因素），求本次购进A，B两种茶叶各多少盒？

【解答】解：（1）设A种茶叶每盒进价为x元，则B种茶叶每盒进价为1.4x元，

依题意，得：10，

解得：x＝200，

经检验，x＝200是原方程的解，且符合题意，

∴1.4x＝280．

答：A种茶叶每盒进价为200元，B种茶叶每盒进价为280元．

（2）设第二次购进A种茶叶m盒，则购进B种茶叶（100﹣m）盒，

依题意，得：（300﹣200）（300×0.7﹣200）（400﹣280）（400×0.7﹣280）5800，

解得：m＝40，

∴100﹣m＝60．

答：第二次购进A种茶叶40盒，B种茶叶60盒．

25．（10分）（2020•聊城）如图，二次函数y＝ax2+bx+4的图象与x轴交于点A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，其对称轴与线段BC交于点E，垂直于x轴的动直线l分别交抛物线和线段BC于点P和点F，动直线l在抛物线的对称轴的右侧（不含对称轴）沿x轴正方向移动到B点．

（1）求出二次函数y＝ax2+bx+4和BC所在直线的表达式；

（2）在动直线l移动的过程中，试求使四边形DEFP为平行四边形的点P的坐标；

（3）连接CP，CD，在动直线l移动的过程中，抛物线上是否存在点P，使得以点P，C，F为顶点的三角形与△DCE相似？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）将点A（﹣1，0），B（4，0），代入y＝ax2+bx+4，

得：，

解得：，

∴二次函数的表达式为：y＝﹣x2+3x+4，

当x＝0时，y＝4，

∴C（0，4），

设BC所在直线的表达式为：y＝mx+n，

将C（0，4）、B（4，0）代入y＝mx+n，

得：，

解得：，

∴BC所在直线的表达式为：y＝﹣x+4；

（2）∵DE⊥x轴，PF⊥x轴，

∴DE∥PF，

只要DE＝PF，四边形DEFP即为平行四边形，

∵y＝﹣x2+3x+4＝﹣（x）2，

∴点D的坐标为：（，），

将x代入y＝﹣x+4，即y4，

∴点E的坐标为：（，），

∴DE，

设点P的横坐标为t，

则P的坐标为：（t，﹣t2+3t+4），F的坐标为：（t，﹣t+4），

∴PF＝﹣t2+3t+4﹣（﹣t+4）＝﹣t2+4t，

由DE＝PF得：﹣t2+4t，

解得：t1（不合题意舍去），t2，

当t时，﹣t2+3t+4＝﹣（）2+34，

∴点P的坐标为（，）；

（3）存在，理由如下：

如图2所示：

由（2）得：PF∥DE，

∴∠CED＝∠CFP，

又∵∠PCF与∠DCE有共同的顶点C，且∠PCF在∠DCE的内部，

∴∠PCF≠∠DCE，

∴只有∠PCF＝∠CDE时，△PCF∽△CDE，

∴，

∵C（0，4）、E（，），

∴CE，

由（2）得：DE，PF＝﹣t2+4t，F的坐标为：（t，﹣t+4），

∴CFt，

∴，

∵t≠0，

∴（﹣t+4）＝3，

解得：t，

当t时，﹣t2+3t+4＝﹣（）2+34，

∴点P的坐标为：（，）．

26．（10分）（2019•咸宁）定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形．

理解：

（1）如图1，点A，B，C在⊙O上，∠ABC的平分线交⊙O于点D，连接AD，CD．

求证：四边形ABCD是等补四边形；

探究：

（2）如图2，在等补四边形ABCD中，AB＝AD，连接AC，AC是否平分∠BCD？请说明理由．

运用：

（3）如图3，在等补四边形ABCD中，AB＝AD，其外角∠EAD的平分线交CD的延长线于点F，CD＝10，AF＝5，求DF的长．

【解答】解：（1）证明：∵四边形ABCD为圆内接四边形，

∴∠A+∠C＝180°，∠ABC+∠ADC＝180°，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD＝∠CBD，

∴，

∴AD＝CD，

∴四边形ABCD是等补四边形；

（2）AC平分∠BCD，理由如下：

如图2，过点A分别作AE⊥BC于点E，AF垂直CD的延长线于点F，

则∠AEB＝∠AFD＝90°，

∵四边形ABCD是等补四边形，

∴∠B+∠ADC＝180°，

又∠ADC+∠ADF＝180°，

∴∠B＝∠ADF，

∵AB＝AD，

∴△ABE≌△ADF（AAS），

∴AE＝AF，

∴AC是∠BCF的平分线，即AC平分∠BCD；

（3）如图3，连接AC，

∵四边形ABCD是等补四边形，

∴∠BAD+∠BCD＝180°，

又∠BAD+∠EAD＝180°，

∴∠EAD＝∠BCD，

∵AF平分∠EAD，

∴∠FAD∠EAD，

由（2）知，AC平分∠BCD，

∴∠FCA∠BCD，

∴∠FCA＝∠FAD，

又∠AFC＝∠DFA，

∴△ACF∽△DAF，

∴，

即，

∴DF＝55．