云南省部分名校2014届高三12月统一考试 理科数学

（昆明三中、玉溪一中）

理科数学

命题：玉溪一中高2014届数学备课组

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 若复数的实部与虚部相等，则实数b等于(    )

   A．3       B. 1       C.         D. 

2. 设全集U＝R，集合A＝｛x｜｝，B＝｛x｜1＜＜8｝，则（CUA）∩B等于（    ）

    A．[－1，3）        B．（0，2]             C．（1，2]              D．（2，3）

3.已知某随机变量X的概率密度函数为P(x)=,则随机变量X落在区间(1,2)内的概率为(     )

   A．e2+e      B．      C．e2-e      D． 

4.我校在模块考试中约有1000人参加考试，其数学考试成绩ξ～N(90，a2)(a>0,试卷满分150分)，统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的，则此次数学考试成绩不低于110分的学生人数约为(    )

A．600    B．400    C．300     D．200 

5. 若函数f(x)=(k-1)ax-a-x(a>0，且a≠1)在R上既是奇函数，又是减函数，则g(x)=loga(x+k)的图象是(    )

A                 B                C                D

6. 设向量=（sinα，）的模为，则cos2α=（　　）

　    A．    B．     C．﹣           D．﹣

7. 已知正数x,y满足，则的最小值为(    )

   A．1           B．       C．         D． 

8. 一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是菱形，则该几何体的侧面积为（　　）

　 A．      B．  C．       D． 

9. 函数y=sin（ωx+φ）在区间上单调递减，且函数值从1减小到﹣1，那么此函数图象与y轴交点的纵坐标为（　　）

　A．     B．       C．            D．

10. P是双曲线上的点，F1、F2是其焦点，且，若△F1PF2的面积是9，a+b=7，则双曲线的离心率为（　　）

　 A．         B．      C．           D． 

11．已知正四棱锥的各棱棱长都为，则正四棱锥的外接球的表面积为(    )

    A．    B．    C．     D． 

12.设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，，且，则不等式的解集是(  ）

A．(－3，0)∪(3，+∞)   B．(－3，0)∪(0，3)

C．(－∞，－3)∪(3，+∞)  D．(－∞，－3)∪(0，3)

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 如右图所示的程序框图的输出值，则输入值               。

14. P为抛物线上任意一点，P在轴上的射影为Q，点M（4，5），则PQ与PM长度之和的最小值为          ．

15．已知AD是ΔABC的中线，若∠A=120°，，则的最小值是______.

16. 在中，BC=，AC=2，的面积为4，则AB的长为                 。

三、解答题:本大题共5小题，共计70分。解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤

17．（12分）等比数列{an}的各项均为正数，且2a1＋3a2＝1，a＝9a2a6.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列的前n项和．

18. （12分）在一次抢险救灾中，某救援队的50名队员被分别分派到四个不同的区域参加救援工作，其分布的情况如下表，从这50名队员中随机抽出2人去完成一项特殊任务．

（2）若这2人来自区域A，D，并记来自区域A队员中的人数为X，求随机变量X的分布列及数学期望．

19.（12分）如图,正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直,AD丄CD,AB//CD,AB=AD=CD=2,点M在线段EC上。

(I)当点M为EC中点时，求证:BM//平面 ADEF；

(II)求证:平面BDE丄平面BEC；

(III)若平面说BDM与平面ABF所成二面角为锐角,且该二面角的余弦值为时，求三棱锥M-BDE的体积.

20.（12分）已知两点及，点在以、为焦点的椭圆上，且、、构成等差数列．

(Ⅰ)求椭圆的方程；

(Ⅱ)如图，动直线与椭圆有且仅有一个公共点，点是直线上的两点，且，． 求四边形面积的最大值．

21.（12分）已知函数.

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）若函数上是减函数，求实数a的最小值；

（Ⅲ）若，使（）成立，求实数a的取值范围. 

请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分

22.（10分）已知曲线C的极坐标方程为，直线的参数方程为( t为参数，0≤＜).

(Ⅰ)把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线C的形状；

(Ⅱ)若直线经过点(1,0)，求直线被曲线C截得的线段AB的长.

23．（10分）设函数f(x)=|2x-1|+|2x-3|,x∈R

(Ⅰ)解不等式f(x)≤5；

(Ⅱ)若的定义域为R，求实数m的取值范围.

参（理科数学）

一、选择题：

ABDDA  BCCAB  BD

二、填空题：

13.    14.      15.  1       16.    4   

三、解答题：

17.解：(1)设数列{an}的公比为q.

由a＝9a2a6得a＝9a，所以q2＝.

由条件可知q>0，故q＝.

由2a1＋3a2＝1得2a1＋3a1q＝1，所以a1＝.

故数列{an}的通项公式为an＝........................6

(2)bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an＝－(1＋2＋…＋n)＝.

故＝＝－2.

＋＋…＋＝－2＝－.

所以数列的前n项和为－………………………12

18.解：（1）记“这2人来自同一区域”为事件E，那么P（E）==，

所以这2人来自同一区域的概率是．   　…（4分）

（2）随机变量ξ可能取的值为0，1，2，且

P（X=0）==，P（X =1）==

P（X =2）==   …（8分）

所以ξ的分布列是：

19.解：（1）证明  取中点，连结．在△中，分别为的中点，

则∥，且．由已知∥，，

因此，∥，且．所以，四边形为平行四边形． 

于是，∥．又因为平面，且平面，

所以∥平面．       ………..3分

（2）证明  在正方形中，．又平面平面，平面平面，知平面．所以．

在直角梯形中，，，算得．

在△中，，可得．故平面．

又因为平面，所以，平面平面．………..7分

（3）按如图建立空间直角坐标系，点与坐标原点重合.设，则，又，设，则，即.

设是平面的法向量，则

,.

取，得，即得平面的一个法向量为.  ……..10分

由题可知，是平面的一个法向量.

因此，，

即点为中点.此时，，为三棱锥的高，

所以，.   ............. ………..12分

20.解：（1）依题意，设椭圆的方程为．

构成等差数列，

，．

又，．

椭圆的方程为． …………………………………………………4分  

(2) 将直线的方程代入椭圆的方程中，得．                 ……………………5分

由直线与椭圆仅有一个公共点知，，

化简得：．                           

设，，     …………………………8分

（法一）当时，设直线的倾斜角为，则，

，        

，……10分

，当时，，，．

当时，四边形是矩形，．    

所以四边形面积的最大值为．     ……………………………12分

（法二）， 

． 

． 

四边形的面积，   ………10分                       

                                                  ．    …………………………………………12分

当且仅当时，，故． 

所以四边形的面积的最大值为． 

21.解：由已知函数的定义域均为,且. …1分

（Ⅰ）函数

当且时,;当时,.

所以函数的单调减区间是,增区间是.  ………………3分

（Ⅱ）因f(x)在上为减函数，故在上恒成立． 

所以当时，．

又，

故当，即时，．

所以于是，故a的最小值为．       …………………………6分

（Ⅲ）命题“若使成立”等价于

“当时，有”．         

由（Ⅱ），当时，， ．  

问题等价于：“当时，有”．      ………………………8分

当时，由（Ⅱ），在上为减函数，

则=，故．       

当0<时，由于在上为增函数，

故的值域为，即．

由的单调性和值域知，

唯一，使，且满足：

当时，，为减函数；当时，，为增函数；

所以， =，．

所以，，与矛盾，不合题意．

综上，得．                         …………………………12分

22.解：（1）曲线C的直角坐标方程为，故曲线C是顶点为O（0，0），焦点为F(1,0)的抛物线；

（2）直线的参数方程为( t为参数，0≤＜).故l经过点（0，1）；若直线经过点(1,0)，则

直线的参数方程为（t为参数）

代入，得

设A、B对应的参数分别为，则

=8