浙江大学2007-2008学年春夏学期线性代数期末试卷

一、填空题（每空3分）

1．设，则（    ）。

2．设4阶矩阵，则（   ）。

3．设是实数域上的全体反对称矩阵所构成的线性空间，即

。

写出的一组基（                                          ）。的维数是（   ）。设4阶矩阵，写出在上面这组基下的坐标（               ）。

4．设是3阶矩阵，且，则的特征值是（  ），（  ），（  ）。

二、计算题。

1．计算行列式（12分）。

2．已知齐次线性方程组

问(1) a,b,c满足何种关系时，方程组仅有零解。

  (2) a,b,c满足何种关系时，方程组有无穷多解，并用基础解系表示他的全部解。

3．已知向量组与向量组有相同的秩，且可以由线性表示。求的值，并写出由线性表示的一个表达式。

4．设A,B都是3阶实可逆矩阵，A的特征值是，这里是互不相同的正整数，若B的特征值是-5，1，7，，求，并分别写出与相似的对角形矩阵。

5．已知二次型。

（1）写出二次型的矩阵。

（2）用正交线性替换化二次型为标准形。

（3）求实对称矩阵B使得。

三、证明题。

1．设A是实对称矩阵，B是正定矩阵。求证AB的特征值全是实数。

2．设A是矩阵，B是矩阵，令为齐次线性方程组的一个基础解系，设，这里为的前n个元素。求证线性无关。