[首发]江苏省徐州市2015-2016学年高二下学期期末考试数学(理)试题(图片...

2015~2016学年度第二学期期末抽测

高二数学（理）参与评分标准

一、填空题

1 2．24 3．a ，b 都不能被5整除 4．3

2 5．32n - 6．13

7．3 8．

112125

9．16 101 11．1 12 13．43 14．35

二、解答题

15．（1）女生甲排在中间，其余6人有6

6A 种排法，

因此不同排法种数为6

6A 720=． …………………………………… 3分

（2）将5名男生排成一排，有5

5A 种排法；

2名女生可以在每2名男生之间及两端共6个位置中选出2个排，有26A 种排法，

因此不同排法种数为5

256A A 3600=． ……………………………… 6分 （3）先排2名女生，从7个位置中选出2个位置，有27C 种排法；

再排5名男生，将5名男生在剩下的5个位置上进行排列的方法数有5

5A 种，

因此不同的排法种数为2575C A 2520=． …………………………… 9分

（4）选1名男生排在2名女生中间，有1

5C 种排法，将这3人看成1个元素，与4名男

生共5个元素排成一排，不同的排法有5

5A 种，又因为2名女生有22A 种排法，

因此不同的排法种数为1

25525C A A 1200=． ………………………… 13分

答：分别有720，3600，2520和1200种不同的排法． ………………… 14分

16．（1）圆C 的极坐标方程即22sin 2cos 40ρρθρθ++-=，

则圆C 的直角坐标方程为222240x y x y +++-=， ………………… 4分 即22(1)(1)6x y +++=，

所以圆C …………………………………………… 7分

（2）直线l 的普通方程为220x y +-=， ………………………… 10分

由（1）知，圆C 的圆心为(1,1)C --，

所以2AB ==，即AB 的长为2． ………… 14分 17．（1）由已知，得2=-ααA ，即1112012x x y y --+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦

， 即12,2,x y +=⎧⎨-=-⎩ 即1,2,x y =⎧⎨=⎩

所以矩阵1120-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ． ……………………… 4分 从而矩阵A 的特征多项式11()(1)(2)2f λλλλλ

+-==-+-， 所以矩阵A 的另一个特征值为1． ………………………………… 7分

（2）设00(,)P x y 为曲线F 上任意一点，在矩阵A 对应的变换下变为点00'(',')P x y ，

则0000'11'20x x y y -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即00000','2,x y x y x =-⎧⎨=⎩ 所以0000

0'',2'2y y x y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩

， …… 11分 又点P 在曲线F 上，所以220

000921x x y y -+=， 故有22000000''''9()2(')(')12222

y y y y x x -+++=，整理得，2200(')2(')1x y +=， 所以曲线'F 的方程为2221x y +=． ………………………………… 14分

18．（1）12133639C C C 9()C 14

P A ==． ………………………………………………… 4分 （2）随机变量X 的所有可能的取值为0，1，2，3．

49C 5(0)C 42P X ===；1339

C C 10(1)C 21P X ===； 2239C C 5(2)C 14P X ===；3139C C 1(3)C 21

P X ===．……………………… 12分

510514()0123422114213

E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． ……………………… 16分 19．（1）当1n =时，{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,4),(2,1)}C =，所以(1)7f =； 当2n =时，{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(1,7),(1,8),(2,2),(2,4),(2,6),C =

(2,8),(2,1)}，所以(2)13f =；

当3n =时，{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(1,7),(1,8),(1,9),(1,10),(1,11),C =

(1,12),(2,2),(2,4),(2,6),(2,8),(2,10),(2,12),(2,1)}，

所以(3)19f =． ………………………………… 6分

（2）由（1）可猜想()61f n n =+． ……………………………… 8分

下面用数学归纳法证明：

①当1n =时，由（1）知(1)7611f ==⨯+，结论成立； …………… 9分 ②假设当*(1,)n k k k =∈N ≥时，结论成立，即()61f k k =+， 那么当1n k =+时，C 中新增加的元素为(1,41)k +，(1,42)k +，(1,43)k +，(1,44)k +，(2,42)k +，(2,44)k +，

所以(1)()426166(1)1f k f k k k +=++=++=++，

所以当1n k =+时，结论也成立．

根据①和②可知，()61f n n =+

当*n ∈N 时都成立． …………………… 16分

20．（1）当2m

=时，2

22C 2180n a =⨯=，即(1)452

n n -=，解得10n =或9n =-（舍）， 所以n 的值为10．

……………………………………………… 4分

（2）当m =8n =时，

令1x =，则80

12345

678(1a a a a a a a a a =++++++++，

令1x =-，则8012345678(1a a a a a a a a a =-+-+-+-+，

所以2288024681357()()(1(11a a a a a a a a a ++++-+++=+=．

………………………………………… 8分

（3）当1m =-，2016n =时，2012(1)n n n x a a x a x a x -=++++，

则2016C (1)k k k a =-，0,1

,2,,2016k =， 所以012320152016201620162016201620162016

111111C C C C C C S =-+-+-+． …………… 10分 考虑120172017

11!(2017)!(1)!(2016)!C C 2017!2017!k k k k k k +-+-+=+ !(2016)!20182017!

k k -⨯=2016201812017C k =⨯， 即1201620172017

1201711()C 2018C C k k k +=+，0,1,2,,2016k =． …………… 14分 所以011223201720172017201720172017

2017111111[()()()2018C C C C C C S =+-+++- 20152016201620172017201720172017

1111()()]C C C C -+++ 02017201720172017112017()2018C C 1009

=+=． 故201601k k S a ==∑的值为20171009． ……………………………………… 16分