江苏省南京市2020-2021学年第一学期高二期中数学模拟试卷 含答案

高 二 数 学 2020.10

一、单选题（本大题共8小题，每小题 4分，共32分） 1．已知(cos ,sin )P αα，(cos ,sin )Q ββ，则||PQ 的最大值为（ ▲ ）

A B ．2 C ．4 D ．2．若△ABC 中，2sin()sin()sin A B A B C +−=，则此三角形的形状是（ ▲ ） A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等边三角形

D ．等腰直角三角形 3．设m ，n 是不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，有以下四个命题： ①若m α⊥，n β⊥，则//m n ；

②若m α

γ=，n βγ=，//m n ，则//αβ； ③若γα⊥，γβ⊥，则//αβ．

④若//αβ，//βγ，m α⊥，则m γ⊥；其中正确命题的序号是（ ▲ ） A ．①③

B ．②③

C ．③④

D ．①④ 4．已知双曲线C ：22

221x y a b

−=（0a >，0b >），过C 的右焦点F 作垂直于渐近线的直线l 交两渐近线于A ，B 两点，A ，B 两点分别在一、四象限，若513

AF BF =，则双曲线C 的离心率为（ ▲ ）

A ．1312

B

C

D 5．已知直线0(0)x y a a +−=>与圆224x y +=交于不同的两点,,A B O 是坐标原点，且有||||OA OB AB +≥，那么a 的取值范围是（ ▲ ）

A ．)+∞

B ．(2,)+∞

C ．

D ． 6．在菱形ABCD 中，4,60AB A ︒=∠=，将ABD △沿对角线BD 折起使得二面角A BD C −−的大小为60°，则折叠后所得四面体ABCD 的外接球的半径为（ ▲ ）

A B C D 7．已知点G 是ABC ∆的重心，(,)AG AB AC R λμλμ=+∈，若120A ∠=，2AB AC ⋅=−，则AG 的最小值是（ ▲ ）

A B ．2 C ．23 D ．34 8．过抛物线216y x =焦点F 的直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，若以线段AB 为直径的圆与直线13x =相切，则直线l 的方程为（ ▲ ）

A

．y =−

或y =−+B ．416y x =−或416y x =−+

C ．28y x =−或28y x =−+

D ．4y x =−或4y x =−+

二、多选题（本大题共4 小题，每小题5分，共 20 分）

9．已知2sin 3θ=−

，且cos 0θ>，则（ ▲ ） A ．tan 0θ<

B ．24tan 9θ>

C ．22sin cos θθ>

D ．sin 20θ>

10．如图所示，某探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 变轨

进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道I 绕月飞行，之后卫星在点P 第二次

变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道II 绕月飞行，最终卫星在点P 第三次变

轨进入以F 为圆心的圆形轨道III 绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭圆轨道I

和II 的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道I 和II 的长轴长，则下列式子正确

的是（ ▲ ）

A ．1122a c a c +=+

B ．1122a c a c −=−

C ．1212c a a c >

D ．

1212c c a a < 11．如图，在四棱锥E ABCD −中，底面ABCD 是边长为2的正方形，CDE △是正三角形，M 为线段DE 的中点，点N 为底面ABCD 内的动点，则下列结论正确的是（ ▲ ）

A ．若BC DE ⊥，则平面CDE ⊥平面ABCD

B ．若B

C DE ⊥，则直线EA 与平面ABC

D 所成的角的

正弦值为4

C ．若直线BM 和EN 异面，则点N 不可能为底面

ABCD 的中心

D ．若平面CD

E ⊥平面ABCD ，且点N 为底面ABCD

的中心，则BM EN =

12．泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互了望的星星，却没有交会的轨迹；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交会，却在转瞬间无处寻

觅．已知点()1

0M ，直线l ：2x =−，若某直线上存在点P ，使得点P 到点M 的距离比到直线l 的距离小1，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论正确的是（ ▲ ）

A ．点P 的轨迹曲线是一条线段

B ．点P 的轨迹与直线'l ：1x =−是没有交会的轨迹(即两个轨迹没有交点)

C ．26y x =+不是“最远距离直线”

D ．112

y x =+是“最远距离直线”

三、填空题（本大题共4 小题，每小题5分，共 20 分）

13．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2cos A sin B =sin A +2sin C ．则B = ▲ .

14．已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为78

，SA 与圆锥底面所成角为45°，若

SAB 的面积为，则该圆锥的侧面积为 ▲ ．

15．阿波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前262-190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k （0k >且1k ≠）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆现有ABC ，6AC =，sin 2sin C A =，则当ABC 的面积最大时，它的内切圆的半径为 ▲ .

16．已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ，直线():0l y kx b k =+≠与抛物线C 交于A ，

B 两点，且6AF BF +=，线段AB 的垂直平分线过点()0,4M ，则抛物线

C 的方程是 ▲ ；若直线l 过点F ，则k = ▲ .

四、解答题（本大题共6 小题，共 78 分）

17．（10分）在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，并且222b c a bc +−=.已知

▲ ，计算ABC 的面积.请①a =2b =，③sin 2sin C B =这三个条件中任选两个，将问题（1）补充完整，并作答.注意，只需选择其中的一种情况作答即可.

18．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，角θ的终边与单位圆交于点P .

（1）若点P 的横坐标为35，求cos 2sin cos θθθ−⋅的值.

（2）若将OP 绕点O 逆时针旋转4

π，得到角α(即4παθ=+)， 若1tan 2

α=

，求tan θ的值.

19．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，点(),P x y 为动点，已知点)A ，()B ，直线PA 与PB 的斜率之积为定值12

−． （1）求动点P 的轨迹E 的方程；

（2）若()1,0F ，过点F 的直线l 交轨迹E 于M 、N 两点，以MN 为对角线的正方形的第三个顶点恰在y 轴上，求直线l 的方程．

20．（14分）如图所示，该几何体是由一个直三棱柱ADE BCF 和一个正四棱锥P ABCD −组

合而成，AD AF ⊥，2AE AD ==．

（Ⅰ）证明：平面PAD ⊥平面ABFE ；

（Ⅱ）求正四棱锥P ABCD −的高h ，使得二面角 C AF P −−

的余弦值是

3

．

21．（14分）已知点P 是抛物线2

1:4C y x =的准线上任意一点，过点P 作抛物线1C 的两条切线PA 、PB ，其中A 、B 为切点.

（1）证明：直线AB 过定点，并求出定点的坐标；

（2）若直线AB 交椭圆22

2:143

x y C +=于C 、D 两点，1S 、2S 分别是PAB △、PCD 的面积，求12

S S 的最小值.

22．（16分）已知圆C 的圆心在直线30x y −=上，与x 轴正半轴相切，且被直线l ：0x y −=截得

的弦长为

（1）求圆C 的方程；

（2）设点A 在圆C 上运动，点()7,6B ，且点M 满足2AM

MB =，记点M 的轨迹为Γ. ①求Γ的方程，并说明Γ是什么图形；

②试探究：在直线l 上是否存在定点T (异于原点O )，使得对于Γ上任意一点P ，都有PO PT

为一常数，若存在，求出所有满足条件的点T 的坐标，若不存在，说明理由.

南京市2020～2021学年度第一学期期中调研模拟卷

高二数学参

1．B 2．A 3．D 4．B 5．C 6．A 7．C 8．B 9．AB

10．BC

11．ABC

12．BCD

13．23

π

14．

151

16．24x y = 2

± 17．答案不唯一，见解析

18．（1）1

5（2）13

− 19．（1）()2

2102

x y y +=≠；（2）10x y −−=或10x y +−=． 20．（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）1h =．

21．（1）定点坐标为()1,0，证明见解析；（2）

43. 22．（1）()()22139x y −+−=；（2）①()()22551x y −+−=，Γ是圆；②存在， 4949,1010D ⎛⎫ ⎪⎝⎭

.