2015高考理科数学《古典概型》练习题

[A组　基础演练·能力提升]

一、选择题

1．甲、乙两人各写一张贺年卡随意送给丙、丁两人中的一人，则甲、乙将贺年卡送给同一人的概率是(　　)

A. 　　　　    B. 　　　　

C. 　　　　    D. 

解析：(甲送给丙、乙送给丁)、(甲送给丁，乙送给丙)、(甲、乙都送给丙)、(甲、乙都送给丁)共四种情况，其中甲、乙将贺年卡送给同一人的情况有两种，所以选A.

答案：A

2．从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是(　　)

A.       B.   

C.       D. 

解析：从1,2,3,4中任取2个不同的数，共有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)6种不同的结果，取出的2个数之差的绝对值为2有(1,3)，(2,4)2种结果，概率为，故选B.

答案：B

3．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6)，骰子朝上的面的点数分别为x，y，则满足log2xy＝1的概率为(　　)

A.       B.   

C.       D. 

解析：由log2xy＝1得2x＝y.又x∈{1,2,3,4,5,6}，y∈{1,2,3,4,5,6}，所以满足题意的有x＝1，y＝2或x＝2，y＝4或x＝3，y＝6，共3种情况．所以所求的概率为＝，故选C.

答案：C

4．(2014年合肥模拟)将号码分别为1,2,3,4的四个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同，甲从袋中摸出一个小球，其号码为a，放回后，乙从此口袋中再摸出一个小球，其号码为b，则使不等式a－2b＋4<0成立的事件发生的概率为(　　)

A.       B.   

C.       D. 

解析：由题意知(a，b)的所有可能结果有4×4＝16个．其中满足a－2b＋4<0的有(1,3)，(1,4)，(2,4)，(3,4)，共4个，所以所求概率为.

答案：C

5．(2013年高考安徽卷)若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为(　　)

A.       B.   

C.       D. 

解析：记事件A：甲或乙被录用．从五人中录用三人，基本事件有(甲，乙，丙)、(甲，乙，丁)、(甲，乙，戊)、(甲，丙，丁)、(甲，丙，戊)、(甲，丁，戊)、(乙，丙，丁)、(乙，丙，戊)、(乙，丁，戊)、(丙，丁，戊)，共10种可能，而A的对立事件仅有(丙，丁，戊)一种可能，∴A的对立事件的概率为P()＝，

∴P(A)＝1－P()＝.选D.

答案：D

6．有一个奇数列，1,3,5,7,9，…，现在进行如下分组，第一组有1个数为1，第二组有2个数为3、5，第三组有3个数为7、9、11，…，依此类推，则从第十组中随机抽取一个数恰为3的倍数的概率为(　　)

A.       B.   

C.       D. 

解析：由已知可得前九组共有1＋2＋3＋…＋9＝45个奇数，第十组共有10个奇数，分别是91,93,95,97,99,101,103,105,107,109这10个数字，其中恰为3的倍数的数有93,99,105三个，故所求概率为P＝.

答案：B

二、填空题

7．沿田字型的路线从A往N走，且只能向右或向下走，随机地选一种走法，则经过点C的概率是________．

解析：解法一　按规定要求从A往N走只能向右或向下，所有可能走法有；A→D→S→J→N，A→D→C→J→N，A→D→C→M→N，A→B→C→J→N，A→B→C→M→N，A→B→F→M→N共6种，其中经过C点的走法有4种，

∴所求概率P＝＝.

解法二　由于从A点出发后只允许向右或向下走，记向右走为1，向下走为2，欲到达N点必须两次向右，两次向下即有两个2两个1.

∴基本事件空间Ω＝{(1122)，(1212)，(1221)，(2112)，(2121)，(2211)}共6种不同结果，而只有先右再下或先下再右两类情形经过C点，即前两个数字必须一个1一个2，∴事件A＝“经过C点”含有的基本事件的(1212)，(1221)，(2112)，(2121)共4个，

∴P(A)＝＝.

答案：

8．一个袋子中装有六个大小形状完全相同的小球，其中一个编号为1，两个编号为2，三个编号为3.现从中任取一球，记下编号后放回，再任取一球，则两次取出的球的编号之和等于4的概率是________．

解析：如图，列举可知，共有36种情况，和为4的情况有10种，所以所求概率P＝＝.

答案：

9．(2014年温州第一次适应性测试)将一颗骰子投掷两次分别得到点数a，b，则直线ax－by＝0与圆(x－2)2＋y2＝2相交的概率为________．

解析：圆心(2,0)到直线ax－by＝0的距离d＝，当d<时，直线与圆相交，则有d＝<，得b>a，满足题意的b>a共有15种情况，因此直线ax－by＝0与圆(x－2)2＋y2＝2相交的概率为＝.

答案：

三、解答题

10．设连续掷两次骰子得到的点数分别为m，n，令平面向量a＝(m，n)，b＝(1，－3)．

(1)求使得事件“a⊥b”发生的概率；

(2)求使得事件“|a|≤|b|”发生的概率．

解析：(1)由题意知，m∈{1,2,3,4,5,6}，n∈{1,2,3,4,5,6}，

故(m，n)所有可能的取法共36种．

使得a⊥b，即m－3n＝0，即m＝3n，共有2种：(3,1)、(6,2)，

所以事件a⊥b的概率为＝.

(2)|a|≤|b|，即m2＋n2≤10，

共有(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,2)、(3,1)6种使得|a|≤|b|，其概率为＝.

11．(2014年深圳第一次模拟)一个袋中有4个大小相同的小球，其中红球1个，白球2个，黑球1个，现从袋中有放回地取球，每次随机取一个．

(1)求连续取两次都是白球的概率；

(2)假设取一个红球记2分，取一个白球记1分，取一个黑球记0分，若连续取三次，则分数之和为4分的概率是多少？

解析：(1)连续取两次的基本事件有：

(红，红)，(红，白1)，(红，白2)，(红，黑)；

(白1，红)，(白1，白1)，(白1，白2)，(白1，黑)；

(白2，红)，(白2，白1)，(白2，白2)，(白2，黑)；

(黑，红)，(黑，白1)，(黑，白2)，(黑，黑)，共16个．

连续取两次都是白球的基本事件有：(白1，白1)，(白1，白2)，(白2，白1)，(白2，白2)共4个，

故所求概率为p1＝＝.

(2)连续取三次的基本事件有：

(红，红，红)，(红，红，白1)，(红，红，白2)，(红，红，黑)，(红，白1，红)，(红，白1，白1)，(红，白1，白2)，(红，白1，黑)，…，共个．

因为取一个红球记2分，取一个白球记1分，取一个黑球记0分，若连续取三次，则分数之和为4分的基本事件如下：

(红，白1，白1)，(红，白1，白2)，(红，白2，白1)，(红，白2，白2)，(白1，红，白1)，(白1，红，白2)，(白2，红，白1)，(白2，红，白2)，(白1，白1，红)，(白1，白2，红)，(白2，白1，红)，(白2，白2，红)，(红，红，黑)，(红，黑，红)，(黑，红，红)，共15个，

故所求概率为＝.

12．(能力提升)(2014年九江一模)一个口袋里有2个红球和4个黄球，从中随机地连取3个球，每次取一个，记事件A＝“恰有一个红球”，事件B＝“第3个是红球”．求

(1)不放回时，事件A，B的概率；

(2)每次取后放回时，A，B的概率．

解析：(1)由不放回抽样可知，第一次从6个球中取一个，第二次只能从5个球中取一个，第三次从4个球中取一个，基本事件共有6×5×4＝120个，又事件A中含有基本事件3×2×4×3＝72个(第1个是红球，则第2、3个是黄球，取法有2×4×3种，第2个是红球和第3个是红球和第1个是红球的取法一样多)，

∴P(A)＝＝.

第3次抽取红球对前两次没有什么要求，因为红球数占总数的，在每一次取到都是随机的等可能事件，

∴P(B)＝.

(2)由放回抽样知，每次都是从6个球中任取一个，有取法63＝216种，事件A包含基本事件3×2×4×4＝96种．

∴P(A)＝＝.

第三次取到红球包括B1＝{红，黄，红}，B2＝{黄，黄，红}，B3＝{黄，红，红}三种两两互斥的情形，P(B1)＝＝，P(B2)＝＝，P(B3)＝＝，

∴P(B)＝P(B1)＋P(B2)＋P(B3)

＝＋＋＝.

[B组　因材施教·备选练习]

1．现有10个数，它们能构成一个以1为首项，－3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是(　　)

A.       B.   

C.       D. 

解析：列出10个数，找出小于8的数是关键．

这10个数分别为1，－3,9，－27,81，…，(－3)8，(－3)9，小于8的数有6个，所以P(＜8)＝＝.

答案：D

2．(2014年晋中名校高三联考)记a，b分别是投掷两次骰子所得的数字，则方程x2－ax＋2b＝0有两个不同实根的概率为(　　)

A.       B.   

C.       D. 

解析：由题意知投掷两次骰子所得的数字分为a，b，则基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，…，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共36种，而方程x2－ax＋2b＝0有两个不同实根的条件是a2－8b>0，因此满足此条件的基本事件有(3,1)，(4,1)，(5,1)，(6,1)，(5,2)，(5,3)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，共9个，故所求的概率为＝.

答案：B