高三数学复习圆锥曲线的综合问题

一、基本知识概要：

1知识精讲：

圆锥曲线的综合问题包括：解析法的应用，数形结合的思想，与圆锥曲线有关的定值、最值等问题，主要沿着两条主线，即圆锥曲线科内综合与代数间的科间综合，灵活运用解析几何的常用方法，解决圆锥曲线的综合问题；通过问题的解决，进一步掌握函数与方程、等价转化、分类讨论等数学思想.

2重点难点：正确熟练地运用解析几何的方法解决圆锥曲线的综合问题，从中进一步体会分类讨论、等价转化等数学思想的运用.

3思维方式：数形结合的思想，等价转化，分类讨论，函数与方程思想等.

4特别注意：要能准确地进行数与形的语言转换和运算、推理转换，并在运算过程中注意思维的严密性，以保证结果的完整。

二、例题：

例1.  A，B是抛物线上的两点，且OA（O为坐标原点）求证：

（1）A，B两点的横坐标之积，纵坐标之积分别是定植；

（2）直线AB经过一个定点

证明：（1）设

两式相乘得

        所以直线AB过定点(2p,0)

例2、（2005年春季北京，18）如图，O为坐标原点，直线在轴和轴上的截距分别是和，且交抛物线两点。

（1）写出直线的截距式方程

（2）证明： 

（3）当时，求的大小。（图见教材P135页例1）

解：（1）直线的截距式方程为。　　　　　（1）

（2）、由（1）及消去可得　　　　　（2）

点M，N的坐标为（2）的两个根。故

所以

（3）、设直线OM、ON的斜率分别为

当时，由（2）知， 

因此。

说明：本题主要考查直线、抛物线等基本知识，考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力。

例3、（2005年黄冈高三调研考题）已知椭圆C的方程为，双曲线的两条渐近线为，过椭圆C的右焦点F作直线，使，又与交于P点，设与椭圆C的两个交点由上而下依次为A、B。（图见教材P135页例2）

（1）当夹角为，双曲线的焦距为4时，求椭圆C的方程

（2）当时，求的最大值。

解：（1）双曲线的渐近线为，两渐近线的夹角为，又，

（3）由已知

由得，将A点坐标代入椭圆方程得

说明：本题考查了椭圆、双曲线的基础知识，及向量、定比分点公式、重要不等式的应用。解决本题的难点是通过恒等变形，利用重要不等式解决问题的思想。本题是培养学生分析问题和解决问题能力的一道好题。

例4、A，F分别是椭圆的一个上顶点与上焦点，位于x轴的正半轴上的动点T（t,0）与F的连线交射线OA于Q，求：

（1）点A，F的坐标及直线TQ的方程;

（2）三角形OTQ的面积S与t的函数关系式及该函数的最小值

（3）写出该函数的单调递增区间,并证明.

解:(1)由题意得A(1,3),F(1,1)

直线TQ得方程为x+(t-1)y-t=0

(2)射线OA的方程y=3x

所以S(t)的最小值为

(3)S(t)在上是增函数

所以该函数在

三、课堂小结：

1、解决圆锥曲线的综合问题应根据曲线的几何特征，熟练运用圆锥曲线的知识将曲线的几何特征转化为数量关系，再结合代数等知识来解。

2、对于求曲线方程中参数范围问题，应根据题设条件及曲线的几何性质构造参数满足的不等式，通过解不等式求得参数的范围；或建立关于参数的目标函数，转化为函数的值域来解

四.作业: 教材P136闯关训练。