最新版2019-2020年北京市海淀区八年级数学上学期期末模拟综合测试及答案解析-精编试题

一．选择题（本大题共30分，每小题3分）在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的．请将正确选项前的字母填在表格中相应的位置．

1．第24届冬季奥林匹克运动会，将于2022年02月04日～2022年02月20日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行．在会徽的图案设计中，设计者常常利用对称性进行设计，下列四个图案是历届会徽图案上的一部份图形，其中不是轴对称图形的是（　　）

A．    B．    C．    D．

2．下列运算中正确的是（　　）

A．x2÷x8=x﹣4    B．a•a2=a2    C．（a3）2=a6    D．（3a）3=9a3

3．石墨烯是从石墨材料中剥离出来，由碳原子组成的只有一层原子厚度的二维晶体．石墨烯（Graphene）是人类已知强度最高的物质，据科学家们测算，要施加55牛顿的压力才能使0.000001米长的石墨烯断裂．其中0.000001用科学记数法表示为（　　）

A．1×10﹣6    B．10×10﹣7    C．0.1×10﹣5    D．1×106

4．在分式中x的取值范围是（　　）

A．x＞﹣2    B．x＜﹣2    C．x≠0    D．x≠﹣2

5．下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　）

A．2a2﹣2a+1=2a（a﹣1）+1    B．（x+y）（x﹣y）=x2﹣y2

C．x2﹣6x+5=（x﹣5）（x﹣1）    D．x2+y2=（x﹣y）2+2xy

6．如图，已知△ABE≌△ACD，下列选项中不能被证明的等式是（　　）

A．AD=AE    B．DB=AE    C．DF=EF    D．DB=EC

7．下列各式中，计算正确的是（　　）

A．（15x2y﹣5xy2）÷5xy=3x﹣5y    B．98×102==9996

C．    D．（3x+1）（x﹣2）=3x2+x﹣2

8．如图，∠D=∠C=90°，E是DC的中点，AE平分∠DAB，∠DEA=28°，则∠ABE的度数是（　　）

A．62    B．31    C．28    D．25

9．在等边三角形ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，点P是线段AD上的一个动点，当△PCE的周长最小时，P点的位置在（　　）

A．△ABC的重心处    B．AD的中点处    C．A点处    D．D点处

10．定义运算=，若a≠﹣1，b≠﹣1，则下列等式中不正确的是（　　）

A．×=1    B． +=

C．（）2=    D． =1

二．填空题（本大题共24分，每小题3分）

11．如图△ABC，在图中作出边AB上的高CD．

12．分解因式：x2y﹣4xy+4y=　　．

13．写出点M（﹣2，3）关于x轴对称的点N的坐标　　．

14．如果等腰三角形的两边长分别是4、8，那么它的周长是　　．

15．计算：﹣4（a2b﹣1）2÷8ab2=　　．

16．如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线MN交AC于D点．若BD平分∠ABC，则∠A=　　°．

17．教材中有如下一段文字：

思考

如图，把一长一短的两根木棍的一端固定在一起，摆出△ABC，固定住长木棍，转动短木棍，得到△ABD，这个实验说明了什么？

如图中的△ABC与△ABD满足两边和其中一边的对角分别相等，即AB=AB，AC=AD，∠B=∠B，但△ABC与△ABD不全等．这说明，有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等．

小明通过对上述问题的再思考，提出：两边分别相等且这两边中较大边所对的角相等的两个三角形全等．请你判断小明的说法　　．（填“正确”或“不正确”）

18．如图1，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，若AB=AC+CD，那么∠ACB与∠ABC有怎样的数量关系？小明通过观察分析，形成了如下解题思路：

如图2，延长AC到E，使CE=CD，连接DE．由AB=AC+CD，可得AE=AB．又因为AD是∠BAC的平分线，可得△ABD≌△AED，进一步分析就可以得到∠ACB与∠ABC的数量关系．

（1）判定△ABD与△AED全等的依据是　　；

（2）∠ACB与∠ABC的数量关系为：　　．

三．解答题（本大题共18分，第19题4分，第20题4分，第21题10分）

19．分解因式：（a﹣4b）（a+b）+3ab．

20．如图，DE∥BC，点A为DC的中点，点B，A，E共线，求证：DE=CB．

21．解下列方程：

（1）=；

（2）﹣1=．

四．解答题（本大题共14分，第22题4分，第23、24题各5分）

22．已知a+b=2，求（+）•的值．

23．如图，在等边三角形ABC的三边上，分别取点D，E，F，使得△DEF为等边三角形，求证：AD=BE=CF．

24．列方程解应用题：

老舍先生曾说“天堂是什么样子，我不晓得，但从我的生活经验去判断，北平之秋便是天堂．”（摘自《住的梦》）金黄色的银杏叶为北京的秋增色不少．

小宇家附近新修了一段公路，他想给市政写信，建议在路的两边种上银杏树．他先让爸爸开车驶过这段公路，发现速度为60千米/小时，走了约3分钟，由此估算这段路长约　　千米．

然后小宇查阅资料，得知银杏为落叶大乔木，成年银杏树树冠直径可达8米．小宇计划从路的起点开始，每a米种一棵树，绘制示意图如下：

考虑到投入资金的，他设计了另一种方案，将原计划的a扩大一倍，则路的两侧共计减少200棵树，请你求出a的值．

五．解答题（本大题共14分，第25、26题各7分）

25．在我们认识的多边形中，有很多轴对称图形．有些多边形，边数不同对称轴的条数也不同；有些多边形，边数相同但却有不同数目的对称轴．回答下列问题：

（1）非等边的等腰三角形有　　条对称轴，非正方形的长方形有　　条对称轴，等边三角形有　　条对称轴；

（2）观察下列一组凸多边形（实线画出），它们的共同点是只有1条对称轴，其中图1﹣2和图1﹣3都可以看作由图1﹣1修改得到的，仿照类似的修改方式，请你在图1﹣4和图1﹣5中，分别修改图1﹣2和图1﹣3，得到一个只有1条对称轴的凸五边形，并用实线画出所得的凸五边形；

（3）小明希望构造出一个恰好有2条对称轴的凸六边形，于是他选择修改长方形，图2中是他没有完成的图形，请用实线帮他补完整个图形；

（4）请你画一个恰好有3条对称轴的凸六边形，并用虚线标出对称轴．

26．钝角三角形ABC中，∠BAC＞90°，∠ACB=α，∠ABC=β，过点A的直线l交BC边于点D．点E在直线l上，且BC=BE．

（1）若AB=AC，点E在AD延长线上．

①当α=30°，点D恰好为BE中点时，补全图1，直接写出∠BAE=　　°，∠BEA=　　°；

②如图2，若∠BAE=2α，求∠BEA的度数（用含α的代数式表示）；

（2）如图3，若AB＜AC，∠BEA的度数与（1）中②的结论相同，直接写出∠BAE，α，β满足的数量关系．

附加题：（本题最高10分，可计入总分，但全卷总分不超过100分）

27．一个多边形如果是轴对称图形，那么它的边数与对称轴的条数之间存在联系吗？

（1）以凸六边形为例，如果这个凸六边形是轴对称图形，那么它可能有　　条对称轴；

（2）凸五边形可以恰好有两条对称轴吗？如果存在请画出图形，并用虚线标出两条对称轴；否则，请说明理由；

（3）通过对（1）中凸六边形的研究，请大胆猜想，一个凸多边形如果是轴对称图形，那么它的边数与对称轴的条数之间的联系是：　　．

 参与试题解析

一．选择题（本大题共30分，每小题3分）在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的．请将正确选项前的字母填在表格中相应的位置．

1．第24届冬季奥林匹克运动会，将于2022年02月04日～2022年02月20日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行．在会徽的图案设计中，设计者常常利用对称性进行设计，下列四个图案是历届会徽图案上的一部份图形，其中不是轴对称图形的是（　　）

A．    B．    C．    D．

【考点】利用轴对称设计图案．

【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．

【解答】解：A、是轴对称图形，故此选项错误；

B、是轴对称图形，故此选项错误；

C、是轴对称图形，故此选项错误；

D、不是轴对称图形，故此选项正确；

故选：D．

2．下列运算中正确的是（　　）

A．x2÷x8=x﹣4    B．a•a2=a2    C．（a3）2=a6    D．（3a）3=9a3

【考点】同底数幂的除法；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；负整数指数幂．

【分析】根据同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘；同底数幂相除，底数不变指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解．

【解答】解：A、底数不变指数相减，故A错误；

B、底数不变指数相加，故B错误；

C、底数不变指数相乘，故C正确；

D、积的乘方等于乘方的积，故D错误；

故选：C．

3．石墨烯是从石墨材料中剥离出来，由碳原子组成的只有一层原子厚度的二维晶体．石墨烯（Graphene）是人类已知强度最高的物质，据科学家们测算，要施加55牛顿的压力才能使0.000001米长的石墨烯断裂．其中0.000001用科学记数法表示为（　　）

A．1×10﹣6    B．10×10﹣7    C．0.1×10﹣5    D．1×106

【考点】科学记数法—表示较小的数．

【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

【解答】解：0.000 001=1×10﹣6，

故选A．

4．在分式中x的取值范围是（　　）

A．x＞﹣2    B．x＜﹣2    C．x≠0    D．x≠﹣2

【考点】分式有意义的条件．

【分析】根据分式有意义的条件可得x+2≠0，再解即可．

【解答】解：由题意得：x+2≠0，

解得：x≠﹣2，

故选：D．

5．下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　）

A．2a2﹣2a+1=2a（a﹣1）+1    B．（x+y）（x﹣y）=x2﹣y2

C．x2﹣6x+5=（x﹣5）（x﹣1）    D．x2+y2=（x﹣y）2+2xy

【考点】因式分解的意义．

【分析】根据因式分解是将一个多项式转化为几个整式的乘积的形式，根据定义，逐项分析即可．

【解答】解：A、2a2﹣2a+1=2a（a﹣1）+1，等号的右边不是整式的积的形式，故此选项不符合题意；B、（x+y）（x﹣y）=x2﹣y2，这是整式的乘法，故此选项不符合题意；C、x2﹣6x+5=（x﹣5）（x﹣1），是因式分解，故此选项符合题意；D、x2+y2=（x﹣y）2+2xy，等号的右边不是整式的积的形式，故此选项不符合题意；故选C．

6．如图，已知△ABE≌△ACD，下列选项中不能被证明的等式是（　　）

A．AD=AE    B．DB=AE    C．DF=EF    D．DB=EC

【考点】全等三角形的性质．

【分析】根据全等三角形的性质可得到AD=AE、AB=AC，则可得到BD=CE，∠B=∠C，则可证明△BDF≌△CEF，可得DF=EF，可求得答案．

【解答】解：

∵△ABE≌△ACD，

∴AB=AC，AD=AE，∠B=∠C，故A正确；

∴AB﹣AD=AC﹣AE，即BD=EC，故D正确；

在△BDF和△CEF中

∴△BDF≌△CEF（ASA），

∴DF=EF，故C正确；

故选B．

7．下列各式中，计算正确的是（　　）

A．（15x2y﹣5xy2）÷5xy=3x﹣5y    B．98×102==9996

C．    D．（3x+1）（x﹣2）=3x2+x﹣2

【考点】分式的加减法；多项式乘多项式；平方差公式；整式的除法．

【分析】根据分式的加减法，整式的除法，多项式乘多项式的运算方法和平方差公式，逐项判断即可．

【解答】解：∵（15x2y﹣5xy2）÷5xy=3x﹣y，

∴选项A不正确；

∵98×102==9996，

∴选项B正确；

∵﹣1=﹣，

∴选项C不正确；

∵（3x+1）（x﹣2）=3x2﹣5x﹣2，

∴选项D不正确．

故选：B．

8．如图，∠D=∠C=90°，E是DC的中点，AE平分∠DAB，∠DEA=28°，则∠ABE的度数是（　　）

A．62    B．31    C．28    D．25

【考点】平行线的判定与性质；角平分线的定义．

【分析】过点E作EF⊥AB于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=EF，根据线段中点的定义可得DE=CE，然后求出CE=EF，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明即可得出BE平分∠ABC，最后求得∠ABE的度数．

【解答】解：如图，过点E作EF⊥AB于F，

∵∠D=∠C=90°，AE平分∠DAB，

∴DE=EF，

∵E是DC的中点，

∴DE=CE，

∴CE=EF，

又∵∠C=90°，

∴点E在∠ABC的平分线上，

∴BE平分∠ABC，

又∵AD∥BC，

∴∠ABC+∠BAD=180°，

∴∠AEB=90°，

∴∠BEC=90°﹣∠AED=62°，

∴Rt△BCE中，∠CBE=28°，

∴∠ABE=28°．

故选：C．

9．在等边三角形ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，点P是线段AD上的一个动点，当△PCE的周长最小时，P点的位置在（　　）

A．△ABC的重心处    B．AD的中点处    C．A点处    D．D点处

【考点】三角形的重心；等边三角形的性质；轴对称﹣最短路线问题．

【分析】连接BP，根据等边三角形的性质得到AD是BC的垂直平分线，根据三角形的周长公式、两点之间线段最短解答即可．

【解答】解：连接BP，

∵△ABC是等边三角形，D是BC的中点，

∴AD是BC的垂直平分线，

∴PB=PC，

△PCE的周长=EC+EP+PC=EC+EP+BP，

当B、E、E在同一直线上时，

△PCE的周长最小，

∵BE为中线，

∴点P为△ABC的重心，

故选：A．

10．定义运算=，若a≠﹣1，b≠﹣1，则下列等式中不正确的是（　　）

A．×=1    B． +=

C．（）2=    D． =1

【考点】分式的混合运算．

【分析】根据定义： =，一一计算即可判断．

【解答】解：A、正确．∵=， =．

∴×=×=1．

B、错误． +=+=．

C、正确．∵（）2=（）2==．

D、正确． ==1．

故选B．

二．填空题（本大题共24分，每小题3分）

11．如图△ABC，在图中作出边AB上的高CD．

【考点】作图—基本作图．

【分析】过点C作BA的延长线于点D即可．

【解答】解：如图所示，CD即为所求．

12．分解因式：x2y﹣4xy+4y=　y（x﹣2）2　．

【考点】提公因式法与公式法的综合运用．

【分析】先提取公因式y，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．

【解答】解：x2y﹣4xy+4y，

=y（x2﹣4x+4），

=y（x﹣2）2．

13．写出点M（﹣2，3）关于x轴对称的点N的坐标　（﹣2，﹣3）　．

【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．

【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可以直接写出答案．

【解答】解：∵M（﹣2，3），

∴关于x轴对称的点N的坐标（﹣2，﹣3）．

故答案为：（﹣2，﹣3）

14．如果等腰三角形的两边长分别是4、8，那么它的周长是　20　．

【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．

【分析】解决本题要注意分为两种情况4为底或8为底，还要考虑到各种情况是否满足三角形的三边关系来进行解答．

【解答】解：∵等腰三角形有两边分别分别是4和8，

∴此题有两种情况：

①4为底边，那么8就是腰，则等腰三角形的周长为4+8+8=20，

②8底边，那么4是腰，4+4=8，所以不能围成三角形应舍去．

∴该等腰三角形的周长为20，

故答案为：20

15．计算：﹣4（a2b﹣1）2÷8ab2=　﹣　．

【考点】整式的除法；幂的乘方与积的乘方；负整数指数幂．

【分析】原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则，以及整式的除法法则计算即可得到结果．

【解答】解：原式=﹣4a4b﹣2÷8ab2=﹣2a3b﹣4=﹣，

故答案为：﹣

16．如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线MN交AC于D点．若BD平分∠ABC，则∠A=　36　°．

【考点】等腰三角形的性质；线段垂直平分线的性质．

【分析】根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AD=BD，根据等边对等角可得∠A=∠ABD，然后表示出∠ABC，再根据等腰三角形两底角相等可得∠C=∠ABC，然后根据三角形的内角和定理列出方程求解即可．

【解答】解：∵AB=AC，

∴∠C=∠ABC，

∵AB的垂直平分线MN交AC于D点．

∴∠A=∠ABD，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠DBC，

∴∠C=2∠A=∠ABC，

设∠A为x，

可得：x+x+x+2x=180°，

解得：x=36°，

故答案为：36

17．教材中有如下一段文字：

思考

如图，把一长一短的两根木棍的一端固定在一起，摆出△ABC，固定住长木棍，转动短木棍，得到△ABD，这个实验说明了什么？

如图中的△ABC与△ABD满足两边和其中一边的对角分别相等，即AB=AB，AC=AD，∠B=∠B，但△ABC与△ABD不全等．这说明，有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等．

小明通过对上述问题的再思考，提出：两边分别相等且这两边中较大边所对的角相等的两个三角形全等．请你判断小明的说法　正确　．（填“正确”或“不正确”）

【考点】全等三角形的判定．

【分析】小明的说法正确．如图，△ABC和△DEF中，AB＞AC，ED＞DF，AB=DE，AC=DF，∠ACB=∠DFE，作AG⊥BC于G，DH⊥EF于H．首先证明△ACG≌△DFH，推出AG=DH，再证明△ABG≌△DEH，推出∠B=∠E，由此即可证明△ABC≌△DEF．

【解答】解：小明的说法正确．

理由：如图，△ABC和△DEF中，AB＞AC，ED＞DF，AB=DE，AC=DF，∠ACB=∠DFE，作AG⊥BC于G，DH⊥EF于H．

∵∠ACB=∠DFE，

∴∠ACG=∠DFH，

在△ACG和△DFH中，

，

∴△ACG≌△DFH，

∴AG=DH，

在Rt△ABG和Rt△DEH中，

，

∴△ABG≌△DEH，

∴∠B=∠E，

在△ABC和△DEF中，

，

∴△ABC≌△DEF．

（当△ABC和△DEF是锐角三角形时，证明方法类似）．

故答案为正确．

18．如图1，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，若AB=AC+CD，那么∠ACB与∠ABC有怎样的数量关系？小明通过观察分析，形成了如下解题思路：

如图2，延长AC到E，使CE=CD，连接DE．由AB=AC+CD，可得AE=AB．又因为AD是∠BAC的平分线，可得△ABD≌△AED，进一步分析就可以得到∠ACB与∠ABC的数量关系．

（1）判定△ABD与△AED全等的依据是　SAS　；

（2）∠ACB与∠ABC的数量关系为：　∠ACB=2∠ABC　．

【考点】等腰三角形的性质；全等三角形的判定．

【分析】（1）根据已知条件即可得到结论；

（2）根据全等三角形的性质和等腰三角形的性质即可得到结论．

【解答】解：（1）SAS；

（2）∵△ABD≌△AED，

∴∠B=∠E，

∵CD=CE，

∴∠CDE=∠E，

∴∠ACB=2∠E，

∴∠ACB=2∠ABC．

故答案为：SAS，∠ACB=2∠ABC．

三．解答题（本大题共18分，第19题4分，第20题4分，第21题10分）

19．分解因式：（a﹣4b）（a+b）+3ab．

【考点】因式分解﹣运用公式法．

【分析】原式整理后，利用平方差公式分解即可．

【解答】解：原式=a2﹣3ab﹣4b2+3ab=a2﹣4b2=（a﹣2b）（a+2b）．

20．如图，DE∥BC，点A为DC的中点，点B，A，E共线，求证：DE=CB．

【考点】全等三角形的判定与性质．

【分析】欲证明DE=CB，只要证明△ADE≌△ACB即可．

【解答】证明：∵DE∥BC，

∴∠D=∠C，∠E=∠B．

∵点A为DC的中点，

∴DA=CA．

在△ADE和△ACB中，

，

∴△ADE≌△ACB．

∴DE=CB．

21．解下列方程：

（1）=；

（2）﹣1=．

【考点】解分式方程．

【分析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．

【解答】解：（1）去分母得：5x+2=3x，

解得：x=﹣1，

经检验x=﹣1是增根，原方程无解；

（2）去分母得：x（x﹣2）﹣（x+2）（x﹣2）=x+2，

解得：x=，

经检验x=是分式方程的解．

四．解答题（本大题共14分，第22题4分，第23、24题各5分）

22．已知a+b=2，求（+）•的值．

【考点】分式的化简求值．

【分析】先化简题目中的式子，然后将a+b的值代入化简后的式子即可解答本题．

【解答】解：

=

=

=，

当a+b=2时，原式=．

23．如图，在等边三角形ABC的三边上，分别取点D，E，F，使得△DEF为等边三角形，求证：AD=BE=CF．

【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．

【分析】只要证明△ADF≌△BED，得AD=BE，同理可证：BE=CF，由此即可证明．

【解答】解：在等边三角形ABC中，∠A=∠B=60°．

∴∠AFD+∠ADF=120°．

∵△DEF为等边三角形，

∴∠FDE=60°，DF=ED．

∵∠BDE+∠EDF+∠ADF=180°，

∴∠BDE+∠ADF=120°．

∴∠BDE=∠AFD．

在△ADF和△BED中，

，

∴△ADF≌△BED．

∴AD=BE，同理可证：BE=CF．

∴AD=BE=CF．

24．列方程解应用题：

老舍先生曾说“天堂是什么样子，我不晓得，但从我的生活经验去判断，北平之秋便是天堂．”（摘自《住的梦》）金黄色的银杏叶为北京的秋增色不少．

小宇家附近新修了一段公路，他想给市政写信，建议在路的两边种上银杏树．他先让爸爸开车驶过这段公路，发现速度为60千米/小时，走了约3分钟，由此估算这段路长约　3　千米．

然后小宇查阅资料，得知银杏为落叶大乔木，成年银杏树树冠直径可达8米．小宇计划从路的起点开始，每a米种一棵树，绘制示意图如下：

考虑到投入资金的，他设计了另一种方案，将原计划的a扩大一倍，则路的两侧共计减少200棵树，请你求出a的值．

【考点】分式方程的应用．

【分析】根据题意列出分式方程进行解答即可．

【解答】解：这段路长约60×=3千米；

由题意可得：．

解方程得：a=15．

经检验：a=15满足题意．

答：a的值是15．

故答案为：3

五．解答题（本大题共14分，第25、26题各7分）

25．在我们认识的多边形中，有很多轴对称图形．有些多边形，边数不同对称轴的条数也不同；有些多边形，边数相同但却有不同数目的对称轴．回答下列问题：

（1）非等边的等腰三角形有　1　条对称轴，非正方形的长方形有　2　条对称轴，等边三角形有　3　条对称轴；

（2）观察下列一组凸多边形（实线画出），它们的共同点是只有1条对称轴，其中图1﹣2和图1﹣3都可以看作由图1﹣1修改得到的，仿照类似的修改方式，请你在图1﹣4和图1﹣5中，分别修改图1﹣2和图1﹣3，得到一个只有1条对称轴的凸五边形，并用实线画出所得的凸五边形；

（3）小明希望构造出一个恰好有2条对称轴的凸六边形，于是他选择修改长方形，图2中是他没有完成的图形，请用实线帮他补完整个图形；

（4）请你画一个恰好有3条对称轴的凸六边形，并用虚线标出对称轴．

【考点】四边形综合题；等腰三角形的性质；等边三角形的性质；矩形的性质；轴对称图形．

【分析】（1）根据等腰三角形的性质、矩形的性质以及等边三角形的性质进行判断即可；

（2）中图1﹣2和图1﹣3都可以看作由图1﹣1修改得到的，在图1﹣4和图1﹣5中，分别仿照类似的修改方式进行画图即可；

（3）长方形具有两条对称轴，在长方形的右侧补出与左侧一样的图形，即可构造出一个恰好有2条对称轴的凸六边形；

（4）在等边三角形的基础上加以修改，即可得到恰好有3条对称轴的凸六边形．

【解答】解：（1）非等边的等腰三角形有1条对称轴，非正方形的长方形有2条对称轴，等边三角形有3条对称轴，

故答案为：1，2，3；     

（2）恰好有1条对称轴的凸五边形如图中所示．

（3）恰好有2条对称轴的凸六边形如图所示．

（4）恰好有3条对称轴的凸六边形如图所示．

26．钝角三角形ABC中，∠BAC＞90°，∠ACB=α，∠ABC=β，过点A的直线l交BC边于点D．点E在直线l上，且BC=BE．

（1）若AB=AC，点E在AD延长线上．

①当α=30°，点D恰好为BE中点时，补全图1，直接写出∠BAE=　60　°，∠BEA=　30　°；

②如图2，若∠BAE=2α，求∠BEA的度数（用含α的代数式表示）；

（2）如图3，若AB＜AC，∠BEA的度数与（1）中②的结论相同，直接写出∠BAE，α，β满足的数量关系．

【考点】全等三角形的判定与性质．

【分析】（1）①只要证明AE⊥BC，△BCE是等边三角形即可解决问题．②如图2中，延长CA到F，使得BF=BC，则BF=BE=BC，连接BF，作BM⊥AF于M，BN⊥AE于N．

只要证明Rt△BMF≌Rt△BNE，推出∠BEA=∠F，由BF=BC，推出∠F=∠C=α，推出∠BEA=α即可．

（2）如图3中，连接EC，由△ADC∽△BDE，推出=，推出=，由∠ADB=∠CDE，推出△ADB∽△CDE，推出∠BAD=∠DCE，∠ABD=∠DEC=β，由BC=BE，推出∠BCE=∠BEC，推出∠BAE=∠BEC=∠BEA+∠DEC=α+β．

【解答】解：（1）①补全图1，如图所示．

∵AB=AC，BD=DC，

∴AE⊥BC，

∴EB=EC，∠ADB=90°，

∵∠ABC=30°，

∴∠BAE=60°

∵BC=BE，

∴△BCE是等边三角形，∠DEB=∠DEC，

∴∠BEC=60°，∠BEA=30°

故答案为60，30．

②如图2中，延长CA到F，使得BF=BC，则BF=BE=BC，连接BF，作BM⊥AF于M，BN⊥AE于N．

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠C=α，

∴∠MAB=2α，∵∠BAN=2α，

∴∠BAM=∠BAN，

∴BM=BN，

在Rt△BMF和Rt△BNE中，

，

∴Rt△BMF≌Rt△BNE．

∴∠BEA=∠F，

∵BF=BC，

∴∠F=∠C=α，

∴∠BEA=α．

（2）结论：∠BAE=α+β．理由如下，

如图3中，连接EC，

∵∠ACD=∠BED=α，∠ADC=∠BDE，

∴△ADC∽△BDE，

∴=，

∴=，∵∠ADB=∠CDE，

∴△ADB∽△CDE，

∴∠BAD=∠DCE，

∠ABD=∠DEC=β，

∵BC=BE，

∴∠BCE=∠BEC，

∴∠BAE=∠BEC=∠BEA+∠DEC=α+β．

附加题：（本题最高10分，可计入总分，但全卷总分不超过100分）

27．一个多边形如果是轴对称图形，那么它的边数与对称轴的条数之间存在联系吗？

（1）以凸六边形为例，如果这个凸六边形是轴对称图形，那么它可能有　1，2，3或6　条对称轴；

（2）凸五边形可以恰好有两条对称轴吗？如果存在请画出图形，并用虚线标出两条对称轴；否则，请说明理由；

（3）通过对（1）中凸六边形的研究，请大胆猜想，一个凸多边形如果是轴对称图形，那么它的边数与对称轴的条数之间的联系是：　对称轴的条数是多边形边数的约数　．

【考点】作图﹣轴对称变换．

【分析】（1）根据凸六边形进行画图，然后猜想即可；

（2）根据题意画出图形，再结合轴对称图形的定义进行分析即可；

（3）根据（1）中所得的数据可得答案．

【解答】解：（1）凸六边形是轴对称图形，那么它可能有1，2，3或6条对称轴，

故答案为：1，2，3或6；

（2）不可以．

理由如下：

根据轴对称图形的定义，若一个凸多边形是轴对称图形，则对称轴与多边形的交点是多边形的顶点或一条边的中点．若多边形的边数是奇数，则对称轴必经过一个顶点和一条边的中点．

如图1，设凸五边形ABCDE是轴对称图形，恰好有两条对称轴l1，l2，其中l1经过A和CD的中点．

若l2⊥l1，则l2与五边形ABCDE的两个交点关于l1对称，与对称轴必经过一个顶点和一条边的中点矛盾；

若l2不垂直于l1，则l2关于l1的对称直线也是五边形ABCDE的对称轴，与恰好有两条对称轴矛盾．

所以，凸五边形不可以恰好有两条对称轴．

（3）对称轴的条数是多边形边数的约数．

2017年3月17日