讲义DIY-抽象函数-第一讲-抽象函数的概念和性质

§1.1 抽象函数的概念和性质(部分掌握:注意运用数形结合、换元法)

一.概念:抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一个衔接点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较困难.但由于此类试题即能考查函数的概念和性质,又能考查学生的思维能力,所以备受命题者的青睐,那么,怎样求解抽象函数问题呢,我们可以利用特殊模型法,函数性质法,特殊化方法,联想类比转化法,等多种方法从多角度,多层面去分析研究抽象函数问题.

二.抽象函数的性质 

1.对称性

定理1. 若函数定义域为R,且满足条件：,则函数的图象关于直线对称.(记忆)

推论1. 若函数定义域为R,且满足条件： 

　　　或,则函数的图像关于直线对称.（考虑到

和到直线的距离相等，而函数值又相等即可理解）

推论2. 若函数定义域为R,且满足条件：,又若方程有个根,则此个根的和为.(运用数形结合、中点坐标公式不难理解)

*定理2. 若函数定义域为R,且满足条件：,（, ,为常数）,则函数的图象关于点对称.

*推论1. 若函数定义域为R,且满足条件：,(,为常数),则函数的图象关于点对称.

推论2.若函数定义域为R,且满足条件：,（为常数）,则函数的图象关于点对称. （考虑到两个函数和的图像关于对称，再都向左（或向右）平移个单位即可理解）.

定理3.若函数定义域为R,则函数与两函数的图象关于直线对称. (考虑到两个函数和的图像关于直线对称，再分别向左平移个单位和向右平移个单位即可理解）.

推论1. 若函数定义域为R,则函数与两函数的图象关于直线对称. （考虑到两个函数和的图像关于直线对称，分别向左和向右平移个单位即可理解）.

推论2. 若函数定义域为R, 则函数与两函数的图象关于直线对称. （考虑到两个函数和的图像关于直线对称，再都向左（或向右）平移个单位即可理解）.

*定理4.若函数定义域为R,则函数与两函数的图象关于点对称.

*推论1. 若函数定义域为R,则函数与两函数的图象关于点对称.

*推论2.若函数定义域为R,则函数与两函数的图象关于点对称.

注:对定理1和定理2中的, ,赋值为0,则可得偶函数(关于对称), 奇函数(关于点.对称).

2. 周期性

定理5.若函数定义域为R,且满足条件,则是以为周期的周期函数.（换元法：设，则即知）

定理6.若函数定义域为R,且满足条件,则是以为周期的周期函数. （换元法：设，则，那么即知）

定理7.若函数的图象关于直线与（)对称,则是以为周期的周期函数.（条件意味着和，那么，设，则）

性质1：若函数满足及(,),则函数f(x)有周期；

特别地：若函数f(x)满足, （）且是偶函数,则函数f(x)有周期2.（理解:即）

*定理8.若函数的图象关于点与点, ()对称,则是以为周期的周期函数.

*定理9.若函数的图象关于直线与 点,()对称,

则是以为周期的周期函数.

性质2：若函数满足及, (,),则函数有周期.

特别地：若函数满足,（）且是奇函数,则函数有周期4.（即），那么

讨论:

3. 单调性

一般地,设函数的定义域为I： 

　　如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值, ,当时都有.那么就说在这个区间上是增函数. 

如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值, ,当时都有.那么就是)在这个区间上是减函数.

如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值,时都有,那么就说在这个区间上是增函数.（联系）

如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值,时都有,那么就说在这个区间上是减函数. （联系）

抽象函数的周期问题

——由一道高考题引出的几点思考

    2001年高考数学（文科）第22题：设是定义在上的偶函数，其图象关于直线对称。对任意都有。(注: 05年广东高考第19题也类似)

    （I）设求；

    （II）证明是周期函数。

    解析：（I）解略。

    （II）证明：依题设关于直线对称

    故

    又由是偶函数知

    将上式中以代换，得

    这表明是上的周期函数，且2是它的一个周期

    是偶函数的实质是的图象关于直线对称

    又的图象关于对称，可得是周期函数

    且2是它的一个周期

    由此进行一般化推广，我们得到

    思考一：设是定义在上的偶函数，其图象关于直线对称，证明是周期函数，且是它的一个周期。

    证明：关于直线对称

    又由是偶函数知

    将上式中以代换，得

    是上的周期函数

    且是它的一个周期

    思考二：设是定义在上的函数，其图象关于直线和对称。证明是周期函数，且是它的一个周期。

    证明：关于直线对称

    将上式的以代换得

    是上的周期函数

    且是它的一个周期

    若把这道高考题中的“偶函数”换成“奇函数”，还是不是周期函数？经过探索，我们得到

    思考三：设是定义在上的奇函数，其图象关于直线对称。证明是周期函数，且4是它的一个周期。，

    证明：关于对称

    又由是奇函数知

    将上式的以代换，得

    是上的周期函数

    且4是它的一个周期

    是奇函数的实质是的图象关于原点（0，0）中心对称，又的图象关于直线对称，可得是周期函数，且4是它的一个周期。由此进行一般化推广，我们得到

    思考四：设是定义在上的函数，其图象关于点中心对称，且其图象关于直线对称。证明是周期函数，且是它的一个周期。

    证明：关于点对称

    关于直线对称

    将上式中的以代换，得

    是上的周期函数

    且是它的一个周期

    由上我们发现，定义在上的函数，其图象若有两条对称轴或一个对称中心和一条对称轴，则是上的周期函数。进一步我们想到，定义在上的函数，其图象如果有两个对称中心，那么是否为周期函数呢？经过探索，我们得到

    思考五：设是定义在上的函数，其图象关于点和对称。证明是周期函数，且是它的一个周期。

    证明：关于对称

    将上式中的以代换，得

    是周期函数

    且是它的一个周期

练习

1.设,求f(x+1)关于直线x=2对称的曲线方程。

2．函数y=f(x)在(0,2)上是增函数，函数y=f(x+2)是偶函数，则下列结论中正确的是（  ）

A．f(1)B．C. f()3. 若函数f (x)=x2+bx+c 对一切实数都有f (2＋x) = f (2－x)则（        ）

  （A） f (2) (C) f (2)4.设函数y= f (x)定义在实数集R上，则函数y= f (x－1)与y= f (1－x)的图象关于（ ）对称。

（A）直线y=0   (B) 直线 x=0   (C)  直线  y=1    (D)直线 x=1

5.设函数f (x)=(x＋a)3 对任意实数x 都有 f (2+x) =－f (2－x) ,则 f (－3)+f (3) = (   )

 (A) －124        (B) 124      (C)   －56       (D)  56

6.已知实系数多项式函数f (x) 满足f (1－x) = f (3＋x) , 并且方程 f (x)=0有四个根，求这四个根之和。

7.函数 f(x)的定义域为R，且满足 f (12－x) = f (x) ,方程f (x) =0 有n个实数根，这n个实数根的和为1992，那么n为（      ）

（A） 996     （B）   498    （C）  332      （D）   116

8.设f (x) 是定义在实数集R上的函数，且满足 f (10+x) = f (10－x)与 f (20－x)= －f (20+x)，则f (x)是  （     ）

（A）偶函数，又是周期函数，     （B）偶函数，但不是周期函数

（C）奇函数，又是周期函数，     （D）奇函数，但不是周期函数

9.设y=f (x) 是定义在实数集R上的函数，且满足 f (－x) = f (x)与f (4－x)=f (x)，若当x∈[0,2]时，f (x) =-－x2 +1 ,则当x∈[－6 , －4 ]时f (x)= （     ）

 （A）－x2 +1 (B) －(x－2)2 +1 (C)－(x+4)2 +1  (D) － (x+2)2 +1

10.设f (x)= x2 +1 , 若g (x)的图象与y= f (x+2) 的图象关于点 （1，1）对称，求g (x).