13常微分方程试卷A及答案

2014 - 2015 学年 第 一 学期

数学科学学院 金融数学专业《常微分方程》试卷A

班级               学号               姓名          

一、单项选择题（在每小题的4个备选答案中，选出一个最佳答案，共5小题；每小题3分，共15分）

1. 方程不是                                           （  ）

（A）齐次微分方程.                    （B）贝努利微分方程.   

（C）变量分离方程.                    （D）非线性微分方程.

2. 微分方程满足条件的解有                   （  ）

（A）1个.         （B）2个.      （C）3个.       （D）无穷多个.

3. 微分方程的基本解组的朗斯基行列式的值为    （  ）

（A）.       （B）.       （C）.       （D）.

4. 微分方程的一个特解应具有形式                     （  ）

（A）.    （B）.   （C）.   （D）.

5. 可以成为微分方程组的基解矩阵是                    （  ）

（A）.  （B）.  （C）.  （D）.

二、填空题（本大题5空 ,每空3分,共15分）

1. 当____________时，是微分方程的解.

2. 微分方程有积分因子____________________________.

3. 微分方程与直线相切的解是_______________        ______.

4. 通解为的三阶常系数齐线性微分方程为___________________.

5. 证明微分方程组满足初值条件的解的存在唯一性定理时所构造的皮卡逐步逼近向量函数序列为_______________________________。

三、计算题（本大题共5小题,每小题10分,共50分）

1. 设连续，且满足，求.

2. 利用解的存在唯一性定理确定初值问题的解的存在区间，

并求第二次近似解,.

3. 解方程 . 

4．求解方程.

5．解方程组   

四、应用题（本大题共1题，共10分）

求一曲线，使其具有性质：曲线上每一点处的切线，切点到原点的向径以及轴围成一个等腰三角形(以轴为底)，且通过点(1，2).

五、证明题（本大题共1题，共10分）

设为常数矩阵,为微分方程组的定义在上的标准基解矩阵,所谓标准是指还满足，试证明: ,有，其中

盐城师范学院2014—2015学年第一学期期末考查

《常微分方程》试卷A参及评分标准

一、单项选择题(本大题共5题，每题3分，共15分)

    1. 2；   2. ；

3. ;   4. ；     

5.    , .

三、计算题（本大题共5题，每题10分，共50分）

1．解: 所给积分方程两边关于求导,得

   ,                                 (4分)

由积分方程还可以得到.上述方程为一阶线性微分方程,它的通解为

   ,                               (8分)

由，故.                                    (10分)

1．解: 这里. 由解的存在唯

一性定理知该初值问题的解的存在区间为。                      (5分)

我们可以作如下的近似解表达式：

                    (10分)

3．解: 令直接计算可得，代入原方程,得

,                                (4分)

   即，由后一方程积分后得

                          ,                            

即.(8分)

由, 而当. 于是,

                                             (10分)

4．解: 所给方程的特征方程为，解之得特征根为.(3分)

因是特征根,所以可设特解为

        ,                     (5分)

求导得

  ， .

代入所给方程得

                        .

比较系数得 ，，则特解为.                      (7分)

于是原方程通解为     .              (10分)

5．解：所给方程组的特征方程为

        .

解之得特征根为，，.                                (3分)

      解方程组得与对应的特征向量为;

解方程组得与对应的特征向量为;

解方程组得与对应的特征向量为.       (9分)

于是所求方程组的通解为

                           (10分)

四、应用题（本大题共1题，共10分）

解：设所求曲线方程为，为其上的任一点，则过该点曲线的切线方程为

，                      (3分)

它与x轴的交点的坐标为，由题意有

                     ,即.

因所求曲线经过点(1,2), 显然不合题意, 事实上,曲线上过点(1,2)处的切线为和点(1,2)处的向径所在的直线重合, 这与题设相矛盾. 所以有

                             ，                                 （7分）

它的通解为，将条件代入得所求曲线方程为。          （10分）

五、证明题（本大题共1题，共10分）

证明: 因为为所给方程组的解,所以,有

又矩阵为常数矩阵,所以,有

                            ,                      (4分)

且有, 则也是所给方程组的基解矩阵. 因而存在常数方阵使,有

                           .                        （7分）

又, 故在上式中令, 得. 因而有 

,.              （10分）